第4天 小题满分练(四)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝，则A∩B＝( )
A． B．
C． D．
B [依题意，B＝{x|2x<4}＝{x|x<2}，而A＝，所以A∩B＝．故选B．]
2．设向量a＝，若a∥b，则实数k的值为( )
A．－2 B．－1
C．2 D．1
D [因为a∥b，故k2－2＝0，解得k＝1．
故选D．]
3．已知点A为抛物线x2＝2py上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则p＝( )
A． B．1
C．2 D．4
C [因为抛物线方程为x2＝2py，
则其焦点在y轴正半轴上，焦点坐标为，
由于点A为抛物线x2＝2py上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，
所以点A到抛物线的焦点F的距离为＝3，解得p＝2．
故选
C．]
4．在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若sin A＝cos B，则A＋B＝或A－B＝，即C＝或A－B＝，
所以在△ABC中，“sin A＝cos B”不是“C＝”的充分条件．
若C＝，则A＋B＝，则sin A＝sin ＝cos B，
所以在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的必要不充分条件．
故选B．]
5．过点E向圆M：＝2作两条切线，切点分别为A，B，若∠AEB＝，则( )
A．a＝2或a＝－1 B．a＝－2或a＝1
C．a＝－3或a＝1 D．a＝3或a＝－1
D [圆M：＝2的圆心M(1，1)，半径r＝，连接AM，ME，
依题意，AM⊥AE，∠AEM＝∠AEB＝，
则|EM|＝2|AM|＝2，于是，整理得a2－2a－3＝0，所以a＝3或a＝－1．故选D．]
6．若函数f (x)＝1＋lg x的值域为( )
A． B．
C． D．
上单调递增，f (x)∈[0，3]，
令t＝[f (x)]2－f (x2)＝[f (x)]2－1－2lg x＝[f (x)]2－2f (x)＋1＝[f (x)－1]2∈[0，4]，
而函数y＝2t在[0，4]上单调递增，则1≤2t≤16，
所以函数F(x)＝．故选D．]
7．随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为( )
A．0.2 B．0.5
C．0.6 D．0.8
D [令事件A：经过的列车为和谐号；事件B：经过的列车为复兴号；事件C：列车未正点到达，
则P(A)＝，P(B)＝＝0.02＝＝0.01＝，
于是P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝，
所以该列车为和谐号的概率为P＝0.8．
故选D．]
8．已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，体积为42，则该正三棱台的外接球表面积为( )
A．20π B．π
C．80π D．π
C [令给定的正三棱台为正三棱台ABC-A1B1C1，A1B1＝2，
令△A1B1C1，△ABC的中心分别为O1，O2，而2＝3，S△ABC＝2＝12，
则V＝·O1O2＝42，解得O1O2＝6．
△A1B1C1的外接圆半径r1＝2＝2，△ABC的外接圆半径r＝4，
显然正三棱台的外接球球心O在直线O1O2上，设外接球半径为R，OO1＝x，则|OO2|＝|6－x|，
因此R2＝x2＋22＝(6－x)2＋42，解得x＝4，R2＝20，
所以该正三棱台的外接球表面积S＝4πR2＝80π．
故选C．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z1，z2，z3满足＋i，若z1在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为( )
A． B．2z1＋z2∈R
C．z1z2＝2＋2i D．i
BC [设复数z1，z2，z3在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，O为坐标原点，
则复数z1，z2，z3在复平面内对应的向量为，且＝2，，
所以四边形OZ1Z3Z2为菱形，且∠Z1OZ3＝，
又OZ3与x轴正半轴所成的角为，
所以OZ1与x轴正半轴所成的角为，所以Z1与Z3关于x轴对称，
所以z1＝－i，则z2＝2i，所以2z1＋z2＝2∈R，故B正确；
因为z1－z2＝－i－2i＝－3i，所以，故A错误；
z1z2＝2ii，故C正确；
i，故D错误．故选BC．]
10．已知函数g(x)＝sin (ωx＋φ)(0<ω<4，0<φ<π)为偶函数，将g(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数f (x)的图象，若f (x)的图象过点，则( )
A．函数f (x)的最小正周期为1
B．函数f (x)图象的一条对称轴为直线x＝
C．函数f (x)在上单调递减
D．函数f (x)在(0，π)上恰有5个零点
AC [由函数g(x)为偶函数，得φ＝＋kπ，k∈Z，而0<φ<π，则φ＝，
因此f (x)＝sin ＝cos ，f (0)＝cos ，
由0<ω<4，得0<<，于是，解得ω＝π，则f (x)＝cos ．
对于A，函数f (x)的最小正周期为T＝＝1，A正确；
对于B，f ＝cos ≠±1，函数f (x)图象不关于直线x＝对称，B错误；
对于C，当1因此函数f (x)在上单调递减，C正确；
对于D，由f (x)＝0，得2πx＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
由0<<π，k∈Z，解得k∈{0，1，2，3，4，5}，因此函数f (x)在(0，π)上恰有6个零点，D错误．故选AC．]
11．已知函数f 若a>b>0，且ab≥1，则下列关系式一定成立的为( )
A．f
B．f
C．f
D．f ACD [对于A，若a>b>0，且ab≥1，
则(i)当a＞1>b>0时，有ab＞1，
则f (ab)＝ln ab＝b ln a，bf (a)＝b ln a，所以f (ab)＝bf (a)．
(ⅱ)当a＞b≥1时，ab＞1，f (ab)＝ln ab＝b ln a，bf (a)＝b ln a，所以f (ab)＝bf (a)，故A正确；
对于B，举反例：当a＝e，b＝时，
则f (ab)＝f (1)＝0，f (a)＋f (b)＝f ＝1＋0＝1，
此时f (ab)≠f (a)＋f (b)，故B不正确；
对于C，若a>b>0，且ab≥1，则有：
(ⅰ)当a＞1>b>0时，有>1，
则f (a)－f (b)＝ln a－0＝ln a，f ＝ln ＝ln a－ln b，且ln b<0，所以f ＞f (a)－f (b)．
(ⅱ)当a>b≥1时，有＞1，则f (a)－f (b)＝ln a－ln b＝ln ，则f ＝f (a)－f (b)．
综上所述：f ≥f (a)－f (b)，故C正确；
对于D，若x1≤x2，则f (x1)≤f (x2)．若a>b>0，且ab≥1，分类讨论．
(ⅰ)当a＞1>b>0时，有a＋b>1，
从而f (a＋b)＝ln (a＋b)则f (a＋b)＜f (a)＋f (b)＋ln 2．
(ⅱ)当a>b≥1时，则f (a＋b)＝ln (a＋b)，f (a)＋f (b)＋ln 2＝ln a＋ln b＋ln 2＝ln (2ab)，
因为2ab－(a＋b)＝ab－a＋ab－b＝a(b－1)＋b(a－1)＞0，
则2ab＞a＋b，从而f (a＋b)＜f (a)＋f (b)＋ln 2．
综上所述：f (a＋b)＜f (a)＋f (b)＋ln 2，故D正确．故选ACD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知变量x与y的10对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，
则变量x的平均值＝________；x10＝________．
＝10，
13．已知α，β∈，sin (2α＋β)＝2sin β，tan α＝，则tan (α＋β)＝ ________．
2 [由sin (2α＋β)＝2sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]，
即sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α＝2sin (α＋β)cos α－2cos (α＋β)sin α，
整理得sin (α＋β)cos α＝3cos (α＋β)sin α，由α，β∈，得α＋β∈，
则cos α>0，sin (α＋β)>0，cos (α＋β)≠0，于是，又tan α＝，
所以tan (α＋β)＝3tan α＝2．]
14．已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn，a1＝1，a3＝2，且anan＋2＝an＋1an＋3，则S16的最小值为________．
12＋8 [由anan＋2＝an＋1an＋3，得an＋1an＋3＝an＋2an＋4，则an＋4＝an，
即数列是以4为周期的周期数列，而a1＝1，a3＝2，则a2a4＝a1a3＝2，
因此S16＝4(a1＋a2＋a3＋a4)＝12＋4(a2＋a4)≥12＋8，
当且仅当a2＝a4＝时取等号，
所以S16的最小值为12＋8．]
2/2第4天 小题满分练(四)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝，则A∩B＝( )
A． B．
C． D．
2．设向量a＝，若a∥b，则实数k的值为( )
A．－2 B．－1
C．2 D．1
3．已知点A为抛物线x2＝2py上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则p＝( )
A． B．1
C．2 D．4
4．在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．过点E向圆M：＝2作两条切线，切点分别为A，B，若∠AEB＝，则( )
A．a＝2或a＝－1 B．a＝－2或a＝1
C．a＝－3或a＝1 D．a＝3或a＝－1
6．若函数f (x)＝1＋lg x的值域为( )
A． B．
C． D．
7．随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的2倍，和谐号的正点率为0.98，复兴号的正点率为0.99，今有一列车未正点到达该站，则该列车为和谐号的概率为( )
A．0.2 B．0.5
C．0.6 D．0.8
8．已知正三棱台的上、下底面边长分别为2，体积为42，则该正三棱台的外接球表面积为( )
A．20π B．π
C．80π D．π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z1，z2，z3满足＋i，若z1在复平面内对应的点在第四象限，则以下结论正确的为( )
A． B．2z1＋z2∈R
C．z1z2＝2＋2i D．i
10．已知函数g(x)＝sin (ωx＋φ)(0<ω<4，0<φ<π)为偶函数，将g(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数f (x)的图象，若f (x)的图象过点，则( )
A．函数f (x)的最小正周期为1
B．函数f (x)图象的一条对称轴为直线x＝
C．函数f (x)在上单调递减
D．函数f (x)在(0，π)上恰有5个零点
11．已知函数f 若a>b>0，且ab≥1，则下列关系式一定成立的为( )
A．f
B．f
C．f
D．f 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知变量x与y的10对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，
则变量x的平均值＝________；x10＝________．
13．已知α，β∈，sin (2α＋β)＝2sin β，tan α＝，则tan (α＋β)＝ ________．
14．已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn，a1＝1，a3＝2，且anan＋2＝an＋1an＋3，则S16的最小值为________．
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