第6天 小题满分练(六)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线x2－＝1的离心率为( )
A． B．2
C． D．3
C [由双曲线的方程可得，
a2＝1，b2＝5，c2＝1＋5＝6，
所以e＝＝．
故选C．]
2．已知数列an＝，则数列前9项的下四分位数是( )
A．1 B．－1
C．0 D．
B [根据题意，数列前9项为－1，1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，
对其从小到大排列为－1，－1，－1，－1，－1，1，1，1，1，
因为9×0.25＝2.25，则下四分位数为第3项，为－1．
故选B．]
3．若复数z满足＝4，则复数z的虚部是( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3i
C [设z＝a＋bi，根据题意，可得(a－bi＋i)(1＋i)＝4，
化简为i＝4，
根据复数相等，得解得
所以z＝2＋3i，即复数z的虚部是3．
故选C．]
4．已知集合P＝，M＝．若P∪M＝P，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．且
D．≤1且
D [∵P∪M＝P，∴M P，
∴a∈P，－a∈P且a≠－a，
∴－1≤a≤1，－1≤－a≤1，a≠0，解得－1≤a≤1且a≠0，∴a的取值范围为{a|－1≤a≤1且a≠0}．故选D．]
5．已知四边形ABCD是平行四边形，＝2＝，则＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
A [在 ABCD中，由＝2＝，
得＝＝＝－．故选A．]
6．在母线长为4的圆锥PO中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A．32π B．
C． D．
C [设圆锥底面圆半径为r，依题意，2πr＝×4，解得r＝1，
圆锥的高PO＝＝＝，显然圆锥PO的外接球的球心O1在线段PO上，
设球O1的半径为R，OO1＝x．连接AO1，则由R＝PO1＝AO1，
得－x＝，解得x＝，即R＝－x＝，
所以该圆锥的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝．
故选C．]
7．如图，已知 A，B，C是直线y＝m与函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象的三个交点，其中点A(0，)，B，C两点的横坐标分别为x1，x2，若x2－x1＝，则( )
A．φ＝
B．f ＝－
C．f (x)的图象关于(π，0)中心对称
D．f (x)在上单调递减
B [由f (0)＝2sin φ＝，得sin φ＝，而0<φ<π，且点A在f (x)图象的下降部分，则φ＝，
于是f (x)＝2sin ，显然A，B，C是直线y＝与f 的图象的三个连续的交点，
由A点横坐标xA＝0，即ωxA＋＝，解得ωx1＋＝，ωx2＋＝，
解得x1＝，x2＝，则x2－x1＝，而x2－x1＝，因此ω＝2，所以f (x)＝2sin ．
对于A，φ＝，A错误；
对于B，f ＝2sin ＝－2sin ＝－，B正确；
对于C，f (π)＝2sin ＝2sin ＝≠0，f (x)的图象不关于(π，0)对称，C错误；
对于D，当x∈时，≤2x＋，当2x＋＝，即x＝时，函数f (x)取得最小值，
又∈，因此f (x)在上不单调，D错误．
故选B．]
8．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为( )
A． B．
C． D．
C [设从甲袋中取出2个球，其中白球的个数为i个的事件为Ai，事件Ai的概率为P，从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，事件B的概率为P，
由题意：
P＝＝，P＝＝；
P＝＝，P＝＝；
P＝＝，P＝＝；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为P＝＝＝．故选C．]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数f ＝ex，下列结论正确的是( )
A．若函数f 无极值点，则f 没有零点
B．若函数f 无零点，则f 没有极值点
C．若函数f 恰有一个零点，则f 可能恰有一个极值点
D．若函数f 有两个零点，则f 一定有两个极值点
AD [f ′＝ex，
设g＝x2＋x＋a＋b，
若函数f 无极值点，
则Δ＝－4≤0，
此时a2－4b＋4≤0，即a2－4b≤－4，所以f ＝ex>0，没有零点，如图①；
若函数f 无零点，则有a2－4b<0，此时a2－4b＋4<4，
当a2－4b＋4>0时，f ′先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；
若函数f 恰有一个零点，则a2－4b＝0，
此时a2－4b＋4＝4>0，f ′先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；
若函数f 有两个零点，则a2－4b>0，此时a2－4b＋4>4>0，f ′先正再负再正，
原函数先增再减再增，有两个极值点，如图④．
所以AD正确．故选AD．]
10．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S，若a＝4，A＝60°，则下列说法中正确的是( )
A．2S＝
B．△ABC的外接圆周长为π
C．S的最大值为4
D．若M为线段AB的中点，且CM＝，则S＝4
AC [依题意，2S＝bc sin A＝bc，＝bc cos A＝bc，故A正确；
记△ABC外接圆的半径为R，则2R＝＝＝，则△ABC的外接圆周长为π，故B错误；
由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc≥bc，则bc≤16，
故S＝bc sin A＝bc≤4，当且仅当b＝c＝4时等号成立，故C正确；
由选项C可知，当S＝4时，△ABC为等边三角形，此时CM＝2，故D错误．故选AC．]
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和BD1的中点，则( )
A．C1F∥AE
B．C1F⊥A1D
C．点F到平面ACE的距离为
D．过E作平面α与平面ACE垂直，当α截正方体所得截面为三角形时，其截面面积的取值范围为
BCD [在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，C(2，2，0)，A1(0，0，2)，D(0，2，0)，E(0，2，1)，C1(2，2，2)，F(1，1，1)，
对于A，＝(－1，－1，－1)，＝(0，2，1)，显然与不共线，即C1F与AE不平行，A错误；
对于B，＝＝－1×0＋(－1)×2＋(－1)×(－2)＝0，因此C1F⊥A1D，B正确；
对于C，＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，
则令y＝－1，得n＝(1，－1，2)，而＝(1，1，1)，
点F到平面ACE的距离为d＝＝＝，C正确；
对于D，过点E垂直于平面ACE的直线与平面A1B1C1D1相交，令交点为N，
则＝λn＝(λ，－λ，2λ)，点N(λ，2－λ，2λ＋1)，由2λ＋1＝2，得λ＝，即N，
当平面α经过直线EN并绕着直线EN旋转时，平面α与平面A1B1C1D1的交线绕着点N旋转，
当交线与线段A1D1，C1D1都相交时，α截正方体所得截面为三角形，
令平面α与平面A1B1C1D1的交线交A1D1于点G，交C1D1于点H，设GD1＝a，HD1＝b，
G(0，2－a，2)，H(b，2，2)，＝＝，由∥，
得a＋b＝2ab，a，b∈，Rt△D1GH斜边GH上的高h′＝，
则截面△EHG边GH上的高h＝＝，
截面△EHG的面积S△EGH＝＝
＝＝＝，
当a∈时，b＝，ab＝＝∈，
所以S△EGH∈，D正确．
故选BCD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．将函数y＝4sin 9x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝f 的图象，则f 的最小正周期为 ________，f ＝________．
－2 [由题意知，f ＝4sin 3x，
则f 的最小正周期T＝，
f ＝4sin ＝－4sin＝－2．]
13．学校安排甲、乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有A，B，C 3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有 ________种．(用数字作答)
150 [依题意，将5名学生分成3组有2，2，1和3，1，1两种分法，
然后安排这3组去3个项目做志愿者，
所以不同的安排方法有＝150种．]
14．已知直线l：y＝x－3与抛物线C：y2＝4x交于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．
12 [由直线y＝x－3与抛物线y2＝4x，联立方程消元得＝4x，
即x2－10x＋9＝0，Δ＝64＞0，设交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则有x1＋x2＝10，x1x2＝9，
由弦长公式可得，＝＝＝8，设O到直线PQ的距离为d，
由点到直线的距离公式得，d＝＝，
所以S△POQ＝×8＝12．]
2/2第6天 小题满分练(六)
(满分73分 建议用时50分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．双曲线x2－＝1的离心率为( )
A． B．2
C． D．3
2．已知数列an＝，则数列前9项的下四分位数是( )
A．1 B．－1
C．0 D．
3．若复数z满足＝4，则复数z的虚部是( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3i
4．已知集合P＝，M＝．若P∪M＝P，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．且
D．≤1且
5．已知四边形ABCD是平行四边形，＝2＝，则＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
6．在母线长为4的圆锥PO中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A．32π B．
C． D．
7．如图，已知 A，B，C是直线y＝m与函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象的三个交点，其中点A(0，)，B，C两点的横坐标分别为x1，x2，若x2－x1＝，则( )
A．φ＝
B．f ＝－
C．f (x)的图象关于(π，0)中心对称
D．f (x)在上单调递减
8．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为( )
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数f ＝ex，下列结论正确的是( )
A．若函数f 无极值点，则f 没有零点
B．若函数f 无零点，则f 没有极值点
C．若函数f 恰有一个零点，则f 可能恰有一个极值点
D．若函数f 有两个零点，则f 一定有两个极值点
10．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积记为S，若a＝4，A＝60°，则下列说法中正确的是( )
A．2S＝
B．△ABC的外接圆周长为π
C．S的最大值为4
D．若M为线段AB的中点，且CM＝，则S＝4
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和BD1的中点，则( )
A．C1F∥AE
B．C1F⊥A1D
C．点F到平面ACE的距离为
D．过E作平面α与平面ACE垂直，当α截正方体所得截面为三角形时，其截面面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．将函数y＝4sin 9x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝f 的图象，则f 的最小正周期为 ________，f ＝________．
13．学校安排甲、乙等5名学生作为社区组织的“中老年趣味体育大赛”的项目志愿者，已知该比赛有A，B，C 3个项目，每名学生只去1个项目做志愿者，且每个项目的志愿者至少有1人，则不同的安排方法有 ________种．(用数字作答)
14．已知直线l：y＝x－3与抛物线C：y2＝4x交于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．
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