第14天 大题抢分练(四)
(满分77分 建议用时70分钟)
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(13分)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长．某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91．
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89．
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望．
[解] (1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94．
因为20×25%＝5，所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为＝75．
(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；
分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，
所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人．
所以X的所有可能取值为1，2，3．
P＝＝；P＝＝；P＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
E＝1×＋2×＋3×＝．
2．(15分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为S1，S2，S3，且S1－S2－S3＝bc．
(1)求角A的大小；
(2)若＝4，∠CAD＝，求sin ∠ACB．
[解] (1)分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
则S1－S2－S3＝a2－b2－c2＝bc，可得a2－b2－c2＝bc，
由余弦定理的推论得cos A＝＝－，
因为A∈(0，π)，所以A＝．
(2)设∠ACB＝α(其中α为锐角)，
在△ABD和△ACD中，由正弦定理可得＝且＝，
于是＝，
又因为＝4，sin ＝sin ，所以＝＝4，
化简得cos α＝sin α，①
根据同角三角函数的基本关系式，可得cos2α＋sin2α＝1，②
又sinα>0，③
联立①②③，解得sin α＝，即sin ∠ACB＝．
3．(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD∥BC，AD＝4，AB＝BC＝2，M为PA的中点．
(1)证明：DM⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值．
[解] (1)证明：取AD的中点为O，连接PO．因为△PAD为等边三角形，故PO⊥AD，
由题意知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PO 平面PAD，故PO⊥平面ABCD，又AB 平面ABCD，故PO⊥AB，
又PD⊥AB，PO∩PD＝P，PO，PD 平面PAD，
故AB⊥平面PAD，因为DM 平面PAD，故AB⊥DM．
又M为PA的中点，△PAD为等边三角形，则DM⊥PA，
AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
所以DM⊥平面PAB．
(2)由(1)知AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，故AB⊥AD，
连接CO，AO＝AD＝2，则AO∥BC，AO＝BC，
即四边形AOCB为平行四边形，故OC∥AB，所以OC⊥AD，
故以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则P(0，0，2)，B(2，－2，0)，M(0，－1，)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，
＝(2，－2，－2)，＝(2，1，－)，＝(0，3，－)．
设平面MCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即令y＝1，则n＝(1，1，)为平面MCD的一个法向量．
设直线PB与平面MCD所成角为θ，θ∈，
则sin θ＝＝＝＝．
所以直线PB与平面MCD所成角的正弦值为．
4．(17分)已知函数f ＝ex．
(1)求函数f 的单调区间和极值；
(2)讨论关于x的方程f ＝a的解的个数．
[解] (1)函数的定义域为R，f ′＝ex．
令f ′＝0，解得x＝1．
当x<1时，f ′<0，f 在(－∞，1)上单调递减；
当x>1时，f ′>0，f 在(1，＋∞)上单调递增．
所以当x＝1时，f 有极小值，且极小值为f ＝－e．
综上所述，函数f 的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为；
f 有极小值，极小值为－e，无极大值．
(2)令f ＝0，解得x＝2．
当x<2时，f <0；当x>2时，f >0．
当x→－∞时，f ＝(x－2)ex→0，当x→＋∞时，f →＋∞，由(1)可得当x＝1时，f 有最小值f ＝－e．
结合(1)中分析可得，f 的大致图象如图所示，
方程f ＝a的解的个数为函数y＝f (x)的图象与直线y＝a的交点个数．
由图可得，当a<－e时，方程f ＝a无解；
当a＝－e或a≥0时，方程f ＝a有一个解；
当－e
5．(17分)已知双曲线C：－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，过点P的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．
(1)若直线l的斜率k存在，求k的取值范围；
(2)记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，求的值；
(3)设G为直线A1M与直线A2N的交点，△GMN，△GA1A2的面积分别为S1，S2，求的最小值．
[解] (1)设M，N，直线l的方程为x＝my＋4，且m≠0，
联立方程整理得y2＋8my＋12＝0，
因为直线l与双曲线的右支交于M，N两点，可得
解得－2又由直线l的斜率为k＝，可得k的取值范围是．
(2)由双曲线C：－y2＝1，可得A1，A2，
由(1)可得y1＋y2＝－，y1y2＝，
则2my1y2＝－3．
所以＝＝＝＝＝＝＝－．
(3)由(2)可知k2＝－3k1，
所以直线A1M与直线A2N的方程分别为y＝k1和y＝－3k1，
联立两直线方程可得交点G的横坐标为xG＝1，
于是＝＝＝＝＝＝＝－1＋≥－1＋＝3，
故的最小值为3，当且仅当m＝0时取等号．
1/1第14天 大题抢分练(四)
(满分77分 建议用时70分钟)
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(13分)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长．某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91．
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89．
(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；
(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望．
2．(15分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为S1，S2，S3，且S1－S2－S3＝bc．
(1)求角A的大小；
(2)若＝4，∠CAD＝，求sin ∠ACB．
3．(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD∥BC，AD＝4，AB＝BC＝2，M为PA的中点．
(1)证明：DM⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值．
4．(17分)已知函数f ＝ex．
(1)求函数f 的单调区间和极值；
(2)讨论关于x的方程f ＝a的解的个数．
5．(17分)已知双曲线C：－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，过点P的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．
(1)若直线l的斜率k存在，求k的取值范围；
(2)记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，求的值；
(3)设G为直线A1M与直线A2N的交点，△GMN，△GA1A2的面积分别为S1，S2，求的最小值．
1/1