回归1 集合、常用逻辑用语、不等式
[盲点1] 描述法表示集合时，一定要理解集合的含义，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}表示函数的定义域；{y|y＝lg x}表示函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}表示函数图象上的点集．
案例1 (1)(教材人教A版改编)已知集合A＝{x|x＋2>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩B＝( )
A．{x|－2
C．{x|－1(2) (2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
(1)D (2)C [(1)由x2－x－2<0，即(x＋1)(x－2)<0，解得－1所以B＝＝．
又A＝＝，
所以A∩B＝．故选D．
(2)∵集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，
∴A∩B＝＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}．∴A∩B中元素的个数为4．故选
C．]
[盲点2] 对于充分、必要条件问题，要弄清逻辑关系：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”是指A能推出B，且B不能推出A．
案例2 (1)(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)(教材人教A版改编)下列条件中，为 “关于x的不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立”的充分不必要条件的有( )
A．0≤m<4 B．0C．1(1)C (2)BC [(1)根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件．
故选C．
(2)因为关于x的不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立，
当m＝0时，原不等式即为1>0，恒成立；
当m>0时，不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立，
可得Δ<0，即m2－4m<0，解得0当m<0时，y＝mx2－mx＋1的图象开口向下，原不等式不恒成立．
综上，m的取值范围为．
所以“关于x的不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立”的充分不必要条件有0[盲点3] 含有量词的命题的否定，不仅要把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．
案例3 (1)(教材人教A版改编)命题p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则对命题p的真假判断和 p正确的为( )
A．真命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根
B．假命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根
C．真命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根
D．假命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根
(2)若“ x∈，sin 2x－m sin x<0”是假命题，则m的取值范围为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
(1)A (2)B [(1)在一元二次方程x2－ax－1＝0中Δ＝a2＋4>0恒成立，故对任意实数a，方程都有实根，故命题p为真命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根．故选A．
(2)“ x∈，sin 2x－m sin x<0”是假命题，即sin 2x－m sin x≥0对于任意x∈恒成立，即m≤＝2cos x，x∈，2cos x∈，故m≤－2．故选B．]
[盲点4] 不等式两端同时乘或同时除以一个不为零的数时，易忽略这个数的正负，导致出错．
案例4 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A．＞ B．＜
C．＞ D．＜
B [∵c－d>0，
∵a>b>0，∴－ac>－bd，∴－>－，
∴<．故选B．]
[盲点5] 解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，易忽视对系数a的讨论．
案例5 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－4，或x≥3}，则不等式cx2－bx＋a<0的解集为________．
[因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－4，或x≥3}，
则 即b＝a，c＝－12a，a<0，
所以cx2－bx＋a<0等价于－12ax2－ax＋a<0，即12x2＋x－1<0，解得－[盲点6] 利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．
案例6 (1)(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22-x D．y＝ln x＋
(2)(教材人教A版改编)已知a，b∈(－∞，0)，且a＋4b＝ab－5，则ab的取值范围为( )
A．[25，＋∞) B．[1，＋∞)
C． D．
(3)(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则的最小值为________．
(1)C (2)D (3)4 [(1)对于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，
所以函数的最小值为3，故选项A错误；
对于B，因为0<|sin x|≤1，所以y＝|sin x|＋≥2＝4，
当且仅当|sin x|＝，即|sin x|＝2时取等号，
因为|sin x|≤1，所以等号取不到，
所以y＝|sin x|＋>4，故选项B错误；
对于C，因为2x>0，
所以y＝2x＋22-x＝2x＋≥2＝4，
当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项C正确；
对于D，因为当x＝时，
y＝ln ＝－1－4＝－5<4，
所以函数的最小值不是4，故选项D错误．
故选C．
(2)因为a，b∈(－∞，0)，a＋4b＝ab－5，则a＋4b<0，所以0又ab－5＝a＋4b＝－≤－2＝－4，
即ab＋4－5≤0，
即≤0，
解得0<≤1，所以0即ab的取值范围为．故选D．
(3)因为a>0，b>0，且ab＝1，则＝＝≥2＝4，当且仅当＝，即a＝2＋，b＝2－或a＝2－，b＝2＋ 时取等号，所以的最小值为4．]
1/1回归1 集合、常用逻辑用语、不等式
[盲点1] 描述法表示集合时，一定要理解集合的含义，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}表示函数的定义域；{y|y＝lg x}表示函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}表示函数图象上的点集．
案例1 (1)(教材人教A版改编)已知集合A＝{x|x＋2>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩B＝( )
A．{x|－2C．{x|－1(2) (2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
[盲点2] 对于充分、必要条件问题，要弄清逻辑关系：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”是指A能推出B，且B不能推出A．
案例2 (1)(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(多选)(教材人教A版改编)下列条件中，为 “关于x的不等式mx2－mx＋1>0对任意x∈R恒成立”的充分不必要条件的有( )
A．0≤m<4 B．0C．1[盲点3] 含有量词的命题的否定，不仅要把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．
案例3 (1)(教材人教A版改编)命题p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则对命题p的真假判断和 p正确的为( )
A．真命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根
B．假命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根
C．真命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根
D．假命题， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根
(2)若“ x∈，sin 2x－m sin x<0”是假命题，则m的取值范围为( )
A．(－∞，2] B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
[盲点4] 不等式两端同时乘或同时除以一个不为零的数时，易忽略这个数的正负，导致出错．
案例4 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A．＞ B．＜
C．＞ D．＜
[盲点5] 解形如ax2＋bx＋c>0的不等式时，易忽视对系数a的讨论．
案例5 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－4，或x≥3}，则不等式cx2－bx＋a<0的解集为________．
[盲点6] 利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．
案例6 (1)(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22-x D．y＝ln x＋
(2)(教材人教A版改编)已知a，b∈(－∞，0)，且a＋4b＝ab－5，则ab的取值范围为( )
A．[25，＋∞) B．[1，＋∞)
C． D．
(3)(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则的最小值为________．
1/1