回归6 概率与统计
[盲点22] 正确应用计数原理：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
案例22 (1)安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为( )
A． B． C． D．
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
[盲点23] 注意区别“项的系数”与“二项式系数”，项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
案例23 (1)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________．
(2)已知＝，则(1＋x＋x2)(1－x)n的展开式中，x4项的系数为________．
[盲点24] 对互斥事件、对立事件、独立事件的概念理解不透彻导致错误，要通过概念把握它们的本质．
案例24 (多选)(教材人教A版改编)袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则( )
A．P＝
B．P＝
C．事件A与B是互斥事件
D．事件B与C相互独立
[盲点25] 要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
案例25 (多选)(教材人教A版改编)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%．随机取一个零件，记A＝“零件为次品”，Bi＝“零件为第i台车床加工” (i＝1，2，3)，下列结论正确的有( )
A．P(A)＝0.03
C．P(B1A)
D．P(B1A)＝P(B3|A)
[盲点26] 涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布，尤其要注意二项分布与超几何分布、正态分布间的区别与联系．
案例26 (1)(多选)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3．则下列判断正确的是( )
A．随机变量X服从二项分布
B．随机变量Y服从超几何分布
C．P
D．E＝E
(2)(多选)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：s)服从正态分布N，且P(ξ≤7)＝0.2．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在间的个数记为X，则( )
A．P(7<ξ<9)＝0.8 B．E(X)＝1.8
C．E(ξ)>E(5X) D．P(X≥1)>0.9
[盲点27] 对统计学的有关概念不清晰，如混淆样本数据的平均数(方差)与总体样本数据的平均数(方差)的概念．
案例27 (多选)(教材人教A版改编)在某次调查中，利用分层随机抽样选取了25名学生的测试得分，其中15名男生得分的平均数为75，方差为6，其余10名女生的得分分别为67，69，71，67，71，73，72，72，69，69，则下列选项正确的是( )
A．女生得分的平均数小于75
B．女生得分的方差大于6
C．女生得分的70%分位数是71.5
D．25名学生得分的方差为11.2
1/1回归6 概率与统计
[盲点22] 正确应用计数原理：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
案例22 (1)安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为( )
A． B． C． D．
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
(1)D (2)64 [(1)5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2，2，1或3，1，1，
当分为3，1，1时，有＝60(种)实习方案，
当分为2，2，1时，有＝90(种)实习方案，
即共有60＋90＝150(种)实习方案，
其中甲、乙到同一家企业实习的情况有＝36(种)，
故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为＝．故选D．
(2)若选2门，则只能各选1门，有＝16(种)，
如选3门，则分体育类选修课选2门，艺术类选修课选1门，或体育类选修课选1门，艺术类选修课选2门，则有＝24＋24＝48(种)，
综上，共有16＋48＝64(种)不同的方案．]
[盲点23] 注意区别“项的系数”与“二项式系数”，项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
案例23 (1)(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数中的最大值为________．
(2)已知＝，则(1＋x＋x2)(1－x)n的展开式中，x4项的系数为________．
(1)5 (2)135 [(1)二项式展开式的通项公式为Tk＋1＝xk，0≤k≤10且k∈Z，
设展开式中第k＋1项系数最大，
则 即≤k≤，又k∈Z，故k＝8，
所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为＝5．
(2)因为＝，即＝＝，所以n＋1＝6＋5＝11，所以n＝10，则(1＋x＋x2)(1－x)n＝(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1－x3)(1－x)9，因为(1－x)9的展开式的通项为Tk＋1＝·(－x)k，
故分别令k＝4，k＝1，可得展开式中x4项的系数为(－1)1＝135．]
[盲点24] 对互斥事件、对立事件、独立事件的概念理解不透彻导致错误，要通过概念把握它们的本质．
案例24 (多选)(教材人教A版改编)袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A＝“取出的球的数字之积为奇数”，事件B＝“取出的球的数字之积为偶数”，事件C＝“取出的球的数字之和为偶数”，则( )
A．P＝
B．P＝
C．事件A与B是互斥事件
D．事件B与C相互独立
AC [因为“取出的球的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以P＝＝＝，故A正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，
所以P＝＝1－＝．
“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以P＝＝．
A＋B表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以P＝1．
BC表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以P＝＝．
因为P＝＝，故B错误；
因为P＝P＋P，所以A，B互斥，故C正确；因为P≠P·P，所以B，C不独立，故D错误．故选AC．]
[盲点25] 要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
案例25 (多选)(教材人教A版改编)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%．随机取一个零件，记A＝“零件为次品”，Bi＝“零件为第i台车床加工” (i＝1，2，3)，下列结论正确的有( )
A．P(A)＝0.03
C．P(B1A)
D．P(B1A)＝P(B3|A)
BC [对于A，因为P(A)＝0.05×0.15＋0.03×0.25＋0.03×0.60＝0.033，故A错误；
对于C，因为P(B1|A)＝＝＝，
P(B2|A)＝＝＝，
所以P(B1A)，故C正确；
对于D，由上可得P(B1A)＝，
又因为P(B3|A)＝＝＝，故D错误．故选BC．]
[盲点26] 涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布，尤其要注意二项分布与超几何分布、正态分布间的区别与联系．
案例26 (1)(多选)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3．则下列判断正确的是( )
A．随机变量X服从二项分布
B．随机变量Y服从超几何分布
C．PD．E＝E
(2)(多选)“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：s)服从正态分布N，且P(ξ≤7)＝0.2．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在间的个数记为X，则( )
A．P(7<ξ<9)＝0.8 B．E(X)＝1.8
C．E(ξ)>E(5X) D．P(X≥1)>0.9
(1)ABD (2)BD [(1)对于A，B，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D，设该批产品有M件，
则E＝3·＝，E(Y)＝3·＝，因此D正确；
对于C，若C正确，可得E(2)对于A选项，由正态分布的对称性可知，P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，A错误；对于B选项，X～B，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正确；对于C选项，E(ξ)＝8，E＝5E＝5×1.8＝9，故E(ξ)所以P(X＝0)＝＝0.064，
故P(X≥1)＝1－0.064＝0.936>0.9，D正确．
故选BD．]
[盲点27] 对统计学的有关概念不清晰，如混淆样本数据的平均数(方差)与总体样本数据的平均数(方差)的概念．
案例27 (多选)(教材人教A版改编)在某次调查中，利用分层随机抽样选取了25名学生的测试得分，其中15名男生得分的平均数为75，方差为6，其余10名女生的得分分别为67，69，71，67，71，73，72，72，69，69，则下列选项正确的是( )
A．女生得分的平均数小于75
B．女生得分的方差大于6
C．女生得分的70%分位数是71.5
D．25名学生得分的方差为11.2
ACD [A项，女生得分的平均数为×(67＋69＋71＋67＋71＋73＋72＋72＋69＋69)＝70<75，故A正确；
B项，女生得分的方差为×[2×(67－70)2＋3×(69－70)2＋2×(71－70)2＋2×(72－70)2＋(73－70)2]＝4<6，故B错误；
C项，将女生得分从小到大排列：67，67，69，69，69，71，71，72，72，73，
又10×0.7＝7，所以女生得分的70%分位数是＝71.5，C正确；
D项，25名学生得分的平均数为＝73，
25名学生得分的方差为＝11.2，D正确．故选ACD．]
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