回归7 解析几何
[盲点28] 易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况，直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
案例28 已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________________．
[盲点29] 在讨论两条直线的位置关系或求直线的方程时，易忽略直线的斜率为0或斜率不存在的情形．
案例29 (1)设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时，l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．
(2)过点P且与圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相切的直线方程为________________．
[盲点30] 利用圆锥曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|．如果不满足第一个条件，即动点到两定点的距离之差为常数(常数的值满足第二个条件)，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹是双曲线的一支．
案例30 (1)已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
(2)(教材人教A版改编)在平面直角坐标系Oxy中，已知动点P与平面上两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率的积为定值－4，则动点P的轨迹方程为________________．
[盲点31] 由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解．
案例31 已知双曲线C的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为________．
[盲点32] 直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ＞0”下进行．
案例32 (多选)过双曲线C：＝1的右焦点作直线l与该双曲线交于A，B两点，则( )
A．存在四条直线l，使|AB|＝
B．与该双曲线有相同渐近线且过点(8，10)的双曲线的标准方程为＝1
C．若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l的斜率k的取值范围是
D．存在直线l，使弦AB的中点为M(4，1)
2/2回归7 解析几何
[盲点28] 易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况，直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
案例28 已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________________．
[答案] 5x－y＝0或x＋y－6＝0
[盲点29] 在讨论两条直线的位置关系或求直线的方程时，易忽略直线的斜率为0或斜率不存在的情形．
案例29 (1)设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝________时，l1∥l2；当m＝________时，l1⊥l2；当________时，l1与l2相交；当m＝________时，l1与l2重合．
(2)过点P且与圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相切的直线方程为________________．
(1)－1 m≠3且m≠－1 3 (2)x＝3或3x＋4y－1＝0 [(1)当l1∥l2时，1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，
当m＝3时，经检验，l1与l2重合，不满足l1∥l2．
所以当m＝－1时，l1∥l2．
当l1⊥l2时，m－2＋3m＝0，解得m＝，
所以当m＝时，l1⊥l2．
易知当m≠3且m≠－1时，l1与l2相交．
当m＝3时，l1与l2重合．
(2)将圆C方程化为圆的标准方程为＋＝4，得圆心C，半径为r＝2，
当过点P的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，是圆C的切线，满足题意；
当过点P的直线斜率存在时，
可设直线方程为y＋2＝k，即kx－y－3k－2＝0，
利用圆心到直线的距离等于半径得＝2，解得k＝－，即此直线方程为3x＋4y－1＝0．]
[盲点30] 利用圆锥曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|．如果不满足第一个条件，即动点到两定点的距离之差为常数(常数的值满足第二个条件)，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹是双曲线的一支．
案例30 (1)已知圆C1：(x－4)2＋y2＝25，圆C2：(x＋4)2＋y2＝1，动圆M与C1，C2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
(2)(教材人教A版改编)在平面直角坐标系Oxy中，已知动点P与平面上两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率的积为定值－4，则动点P的轨迹方程为________________．
(1)＝1(x≤－2) (2)x2＋＝1(x≠±1)
[(1)设动圆M的半径为r，
由题意知＝r＋5，＝r＋1，
则＝4<＝8，
所以M点的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，
且a＝2，c＝4，则b2＝12，
则动圆圆心M的轨迹方程为＝1(x≤－2)．
(2)设P点坐标为(x，y)，
∵定点M(－1，0)，N(1，0)，直线PM与直线PN的斜率之积为－4, ∴＝－4，
∴动点P的轨迹方程为x2＋＝1(x≠±1)．]
[盲点31] 由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解．
案例31 已知双曲线C的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为________．
或 [当双曲线C的焦点在x轴上时，其渐近线方程为y＝±x，则＝，
所以离心率e＝＝＝＝，
当双曲线C的焦点在y轴上时，
其渐近线方程为y＝±x，
则＝，即＝，
所以离心率e＝＝＝＝．
综上，可得双曲线的离心率为或．]
[盲点32] 直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，Δ≥0的限制．尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“Δ＞0”下进行．
案例32 (多选)过双曲线C：＝1的右焦点作直线l与该双曲线交于A，B两点，则( )
A．存在四条直线l，使|AB|＝
B．与该双曲线有相同渐近线且过点(8，10)的双曲线的标准方程为＝1
C．若A，B都在该双曲线的右支上，则直线l的斜率k的取值范围是
D．存在直线l，使弦AB的中点为M(4，1)
BC [对于A，由于双曲线C：＝1，所以右焦点为，设直线l的方程为x＝my＋3．
联立消去x，得y2＋30my＋25＝0，Δ>0恒成立．
设A，B，则y1＋y2＝－，y1y2＝．
所以＝
＝＝．
所以＝，解得m2＝，所以只有两条，故A错误；
对于B，双曲线C：＝1的渐近线方程为y＝±x，所以＝，过点(8，10)的双曲线的标准方程为＝1，故B正确；
对于C，若A，B都在该双曲线的右支上，则y1y2＝<0，
即5m2－4<0，所以5－4k2<0，解得k∈．故C正确；
对于D，假设存在直线l，使弦AB的中点为M(4，1)，则直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－1＝k，与双曲线C：＝1联立，得x2＋x－64k2＋32k－24＝0，Δ>0恒成立．
所以x1＋x2＝＝8，
所以k＝5，所以直线l的方程为y－1＝5，但是由于点不在直线上，故不存在这样的直线l，故D错误．故选BC．]
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