培优课9 概率中的函数、数列问题
近几年，高考对概率题目的命制，越来越注重知识间的融合，背景新颖，综合性增强，难度加深，解答此类压轴问题时需要搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
类型1 概率中的函数问题
【典例1】 (2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f (c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f (c)的解析式，并求f (c)在区间[95，105]的最小值．
[解] (1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，设X为患病者的该指标，
则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，
解得c＝97.5．
设Y为未患病者的该指标，
则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%．
(2)当95≤c≤100时，
p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，
q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；
当100＜c≤105时，
p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，
所以f (c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98．
综上所述，f (c)＝
由一次函数的单调性知，函数f (c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增，作出f (c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f (c)在区间[95，105]上的最小值f (c)min＝f (100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02．
概率统计问题与函数的交汇，综合性较强，一是借助二次函数、分段函数的性质，利用单调性求最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解．
[跟进训练]
1．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)2024年年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
x/日 1 2 3 4 5
y/万人 45 50 60 65 80
(1)计算x，y的样本相关系数r(计算结果精确到0.01)，并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；
(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和k(k≥5)个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为p，当k取多少时，p最大？
参考数据：≈1.732．
[解] (1)因为＝＝60，
＝(1×45＋2×50＋3×60＋4×65＋5×80)－5×3×60＝85，
＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，
＝(45－60)2＋(50－60)2＋(60－60)2＋(65－60)2＋(80－60)2＝750，
所以 ＝≈≈0.98，
由此可以认为两者的相关性很强．
(2)由(1)知＝10，
因为＝＝60－8.5×3＝34.5，
所以经验回归方程为＝8.5x＋34.5．
(3)记P(k)＝t＝＝(k≥5，k∈N*)，
因为P(k＋1)－P(k)＝－＝<0，
所以P(k＋1)
因为p＝·t·(1－t)2＝3t3－6t2＋3t．
令F(t)＝3t3－6t2＋3t，t∈，
则F′(t)＝9t2－12t＋3＝3(3t－1)(t－1)，得t∈时，F′(t)>0，t∈时，F′(t)<0，
所以F(t)在上单调递增，在上单调递减，
所以当t＝时，F(t)取得最大值，即p取得最大值．
由t＝＝，解得k＝20或k＝1(舍去)，
所以当k＝20时，恰有一次中奖的概率p最大．
【教师备选资源】
现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p(0＜p≤0.4)，且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠毁；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q(0＜q＜1)，且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于0.936；
(2)若p＋q＝1，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？说明理由．
[解] (1)因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，
所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用X表示命中目标飞行物的炮弹数，则X～B(3，q)(X服从二项分布)，
则P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝q0(1－q)3≥0.936，
即1－(1－q)3≥0.936，则(1－q)3≤0.064＝0.43，即1－q≤0.4，则q≥0.6，
又0＜q＜1，故0.6≤q＜1，
所以当0.6≤q＜1时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于0.936．
(2)在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用Y表示命中目标飞行物的炮弹数，则Y～B，记事件C为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件D为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
则P＝0.6×P(Y＝1)＋P(Y≥2)
＝p3
＝1.8p(1－p)2＋3p2(1－p)＋p3＝1.8p(1－2p＋p2)＋3p2－3p3＋p3＝－0.2p3－0.6p2＋1.8p，
P＝0.4P(X＝1)＋0.8P(X＝2)＋P(X＝3)
＝q3
＝1.2q(1－q)2＋2.4q2(1－q)＋q3
＝1.2q(1－2q＋q2)＋2.4q2－2.4q3＋q3
＝－0.2q3＋1.2q，
因为p＋q＝1，所以q＝1－p，
则P(C)－P(D)＝－0.2p3－0.6p2＋1.8p＋0.2(1－p)3－1.2(1－p)
＝－0.2p3－0.6p2＋1.8p＋0.2(1－3p＋3p2－p3)－1.2＋1.2p
＝－0.4p3＋2.4p－1，
令f (p)＝－0.4p3＋2.4p－1，
则f ′(p)＝－1.2p2＋2.4，
令f ′(p)＞0，即－1.2p2＋2.4＞0，
则p2＜2，得－＜p＜，
又0＜p≤0.4，所以f ′(p)＞0恒成立，
所以f (p)在(0，0.4]上单调递增，
又f (0.4)＝－0.44＋2.4×0.4－1＝－0.025 6＋0.96－1＝－0.065 6＜0，
则f (p)≤f (0.4)＜0，
故P(C)－P(D)＜0，即P(C)＜P(D)，
所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大．
类型2 概率中的数列问题
【典例2】 (2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
[解] (1)记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，
所以P＝P＋P＝P·P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)
＝0.5×＋0.5×0.8＝0.6．
(2)设P＝pi，依题可知，P＝1－pi，p1＝，
则P＝P＋P＝P·P＋PP，即pi＋1＝0.6pi＋＝0.4pi＋0.2，
构造等比数列{pi＋λ}，设pi＋1＋λ＝(pi＋λ)，解得λ＝－，所以pi＋1－＝，
又p1－＝＝≠0，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以pi－＝，即pi＝＋．
(3)由题意得甲第i次投篮次数Yi服从两点分布，且P(Yi＝1)＝1－P(Yi＝0)＝pi，
所以当n≥1时，
综上所述，E(Y)＝，n∈N．
概率和数列知识综合性题目，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意．
[跟进训练]
2．(2024·辽宁大连一模)数学兴趣小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率均为，答对第二题的概率均为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮比赛，先答第一题；②若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续比赛；③若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题，答对第二题时比赛结束；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量Xn表示n名同学参加比赛，且在第Xn轮比赛结束，当n＝3时，求随机变量X3的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i＋1号同学重新从第一题开始作答．令随机变量Yn表示n名同学参加比赛，且在第Yn轮比赛结束．
①求随机变量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；
②证明：E(Yn)单调递增，且小于3．
[解] (1)由题意，知X3可能的取值为1，2，3，
P(X3＝1)＝＝，P(X3＝2)＝＝，P(X3＝3)＝1－＝，
因此X3的分布列为
X3 1 2 3
P
(2)①Yn的可能取值为1，2，…，n，
每位同学两题都答对的概率为＝，则答题失败的概率为1－＝，
所以Yn＝k(1≤k≤n－1，k∈N*)时，P(Yn＝k)＝，当Yn＝n时，P(Yn＝n)＝，
故Yn的分布列为
Yn 1 2 3 … n－1 n
P … ×
E(Yn＋1)－E(Yn)＝n＋(n＋1)－n＝＞0，故E(Yn)单调递增．
由上得E(Y2)＝，故E(Yn)＝E(Y2)＋(E(Y3)－E(Y2))＋[E(Y4)－E(Y3)]＋…＋[E(Yn)－E(Yn－1)]，
∴E(Yn)＝＋＋…＋＝＝3－2×＜3，
故E(Y2)＜E(Y3)＜E(Y4)＜E(Y5)＜…＜E(Yn)＜3．
【教师备选资源】
(2024·湖北黄冈期末)篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动．
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如表所示的2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关；
单位：人
性别 篮球运动 合计
喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动
男性 60 40 100
女性 20 80 100
合计 80 120 200
(2)某校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1．
①求P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d．
α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
[解] (1)零假设为H0：喜爱篮球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得χ2＝＝>10.828＝x0.001．
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜爱篮球运动与性别有关．
(2)①由题意得：第2次触球者为乙，丙中的一个，第2次触球者传给包括甲的二人中的一人，故传给甲的概率为，故P3＝．
②第n次触球者是甲的概率记为Pn，则当n≥2时，第n－1次触球者是甲的概率为Pn－1，
第n－1次触球者不是甲的概率为1－Pn－1，
则Pn＝Pn－1·0＋(1－Pn－1)·＝(1－Pn－1),
从而Pn－＝－，又P1－＝≠0，
所以是以为首项，－为公比的等比数列，
所以Pn＝＋，所以P9＝＋>，
P10＝＋<，所以P9>P10,
故第9次触球者是甲的概率大．
培优专练9 概率中的函数、数列问题
1．(2024·江苏4月大联考)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记质点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为Pn．
(1)求P2；
(2)①求证：数列是等比数列；
[解] (1)依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中任意两个在同一底面，
所以当质点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为；当质点Q在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以P1＝，所以P2＝＝．
(2)①证明：因为Pn＋1＝Pn＋(1－Pn)＝Pn＋，
所以Pn＋1－＝Pn＋＝Pn－＝．
又因为P1＝，所以P1－＝＝≠0，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
②因为Pn－＝＝，
所以Pn＝＋，所以iPi＝×i＋．
设ai＝，
＝－n×，
2．(2024·福建泉州模拟)已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在[μ－σ，μ＋σ]内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ]内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如图所示：
(1)根据大量的产品检测数据，得到样本数据的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，且n∈N*)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B．
①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f (p)，求当n为何值时，f (p)取得最大值．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[解] (1)由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1 000件的平均数为
＝0.010×10×＋0.020×10×＋0.045×10×＋0.020×10×＋0.005×10×＝70．
则μ≈＝70，σ≈s≈10，所以X～N(70，102)，
则优等品的质量差在[μ－σ，μ＋σ]即[60，80]内，一等品的质量差在(μ＋σ，μ＋2σ]即(80，90]内，
所以正品的质量差在[60，80]和(80，90]内，即[60，90]内，
故该企业生产的产品为正品的概率P＝P(60≤X≤90)＝P(60≤X≤80)＋P(80(2)①从n＋2件正品中任选两个，有种选法，其中等级不同有＝2n(种)选法，
故某箱产品抽检被记为B的概率为：p＝＝＝．
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为p，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
f (p)＝p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)＝10(p3－2p4＋p5)，
则f ′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)，
所以当p∈时，f ′(p)>0，函数f (p)单调递增，当p∈时，f ′(p)<0，函数f (p)单调递减，
所以当p＝时，f (p)取得最大值，最大值为f ＝＝．
此时由p＝＝，n≥2，n∈N*，
得n＝3，
所以n＝3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为．
1/1培优课9 概率中的函数、数列问题
近几年，高考对概率题目的命制，越来越注重知识间的融合，背景新颖，综合性增强，难度加深，解答此类压轴问题时需要搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
类型1 概率中的函数问题
【典例1】 (2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f (c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f (c)的解析式，并求f (c)在区间[95，105]的最小值．
[听课记录]
概率统计问题与函数的交汇，综合性较强，一是借助二次函数、分段函数的性质，利用单调性求最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解．
[跟进训练]
1．(2024·黑龙江哈尔滨模拟)2024年年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
x/日 1 2 3 4 5
y/万人 45 50 60 65 80
(1)计算x，y的样本相关系数r(计算结果精确到0.01)，并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；
(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和k(k≥5)个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为p，当k取多少时，p最大？
参考数据：≈1.732．
类型2 概率中的数列问题
【典例2】 (2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，则记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
[听课记录]
概率和数列知识综合性题目，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意．
[跟进训练]
2．(2024·辽宁大连一模)数学兴趣小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率均为，答对第二题的概率均为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮比赛，先答第一题；②若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续比赛；③若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第i＋1号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题，答对第二题时比赛结束；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量Xn表示n名同学参加比赛，且在第Xn轮比赛结束，当n＝3时，求随机变量X3的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第i(i＝1，2，3，…，n－1)号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第i＋1号同学重新从第一题开始作答．令随机变量Yn表示n名同学参加比赛，且在第Yn轮比赛结束．
①求随机变量Yn(n∈N*，n≥2)的分布列；
②证明：E(Yn)单调递增，且小于3．
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