§2 圆锥曲线的定义、方程及性质
【备考指南】 在新高考中，圆锥曲线的定义、方程及性质常命制一道多选题和一道填空题，难度中等或偏上．备考时要立足圆锥曲线的定义和标准方程，融合几何图形的性质，提升转化与化归及数形结合的解题能力．
基础考点1 圆锥曲线的定义、标准方程
【典例1】 (1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
(2)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(－，0)，F2(，0)，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2＝，若e2＝，则椭圆C1的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
(3)(2024·陕西商洛三模)已知点M在抛物线C：y2＝4x上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，则线段MF的长为________．
(1)B (2)A (3)3 [(1)因为离心率e＝＝＝，所以解得＝，b2＝a2．
由题意A1，A2分别为C的左、右顶点，
则A1，A2，B为上顶点，则B(0，b)，＝(－a，－b)，＝(a，－b)．
因为＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1．
故选B．
(2)由题意知椭圆C1与双曲线C2共同的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，所以c1＝c2＝．
因为双曲线C2的离心率e2＝，
所以a2＝＝1，b2＝＝，所以双曲线C2的方程为x2－＝1．
如图，根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a2＝2，
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，
得12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|，
又|PF1|－|PF2|＝2，得|PF2|＝2，|PF1|＝4．
根据椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a1＝6，所以a1＝3，b1＝＝，所以椭圆C1的方程为＝1．故选A．
(3)如图，不妨设点M在第一象限，依题知ON是△KMF的中位线，可知|MF|＝2|ON|，过M，N向准线作垂线，垂足分别为M1，N1，
同理NN1是△KMM1的中位线，|MM1|＝2|NN1|，
由抛物线定义知|MM1|＝|MF|，|NN1|＝|NF|，故得|ON|＝|NF|，又F(1，0)，则N点的横坐标是，
代入y2＝4x可得其纵坐标为，
故|ON|＝＝，|MF|＝3．]
1．求圆锥曲线标准方程 “先定型，后计算”
(1)定型：确定圆锥曲线焦点的位置．
(2)计算：利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p．
2．涉及圆锥曲线上的点到焦点的距离时，一般运用定义处理．
1．(多选)已知方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，则该方程可以是( )
A．圆的方程 B．抛物线的方程
C．椭圆的标准方程 D．双曲线的标准方程
ABC [因为方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，
所以当A＝B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝－1时，方程为x2＋y2－1＝0，即x2＋y2＝1是圆的方程，故方程可以是圆的方程；
当A＝1≥B＝C＝D＝0≥E＝－1≥F＝－2时，方程为x2－y－2＝0，即y＝x2－2是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；
当A＝2≥B＝1≥C＝D＝E＝0≥F＝－1时，方程为2x2＋y2－1＝0，即y2＋＝1是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；
若方程为双曲线的标准方程，则有AB<0，C＝D＝E＝0，F<0，这与A≥B≥C≥D≥E≥F矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程．故选ABC．]
2．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，则|PO|＝( )
A． B．
C． D．
B [法一：设∠F1PF2＝2θ，0<θ<，
所以＝b2tan ＝b2tan θ，
由cos ∠F1PF2＝cos 2θ＝＝＝，解得tanθ＝，
由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3，
所以＝·|F1F2|·|yP|＝·2·|yP|＝6×，解得|yP|＝，即＝3，
则＝9×＝，
因此＝＝＝．故选B．
法二：因为＝2a＝6，①
＋－2cos ∠F1PF2＝，
即＋－＝12，②
联立①②，解得＝＋＝21，
而＝，
所以＝＝，
即＝＝
＝＝．
故选B．
法三：因为＝2a＝6，①
＋－2cos ∠F1PF2＝，
即＋－＝12，②
联立①②，解得＋＝21，
由中线定理可知，
＋＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，
易知＝2，解得＝．故选B．]
3．(多选)(2024·山东临沂模拟)已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则( )
A．椭圆C的离心率为
B．△PF2F1的周长为4
C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为
D．若＝4，则∠F2PF1＝60°
ACD [对于A，由题意知a＋c＝3，a－c＝1，故a＝2，c＝1，故A正确；
对于B，△PF2F1的周长为2a＋2c＝6，故B错误；
对于C，若∠F2PF1＝60°，则＝＋－2cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
即＝－3，故＝4，故＝sin 60°＝，故C正确；
对于D，由余弦定理得＝＋－2cos ∠F2PF1＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|(1＋cos ∠F2PF1)，即4＝16－2×4(1＋cos ∠F2PF1)，解得cos ∠F2PF1＝，故∠F2PF1＝60°，故D正确．故选ACD．]
【教师备选资源】
1．古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯(Pappus，公元3世纪末)在其代表作《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线．今有平面内三条给定的直线l1，l2，l3，且l2，l3均与l1垂直．若动点M到l2，l3的距离的乘积是M到l1的距离的平方的4倍，则动点M在直线l2，l3之间(含边界)的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
B [因为在平面内三条给定的直线l1，l2，l3，且l2，l3均与l1垂直，所以l2，l3平行，记l1为y＝0，直线l2为x＝－a，l3为x＝a，
设M，且动点M在直线l2，l3之间(含边界)，所以－a≤x≤a，所以M到l1的距离为，M到l2的距离为x＋a，M到l3的距离为a－x，又因为动点M到l2，l3的距离的乘积与M到l1的距离的平方的4倍相等，所以4y2＝，
所以4y2＝a2－x2，即x2＋4y2＝a2，故动点M的轨迹为椭圆．故选B．]
2．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办法．如图，已知圆锥的高与底面半径均为2，过轴OO1的截面为平面OAB，平行于平面OAB的平面α与圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分．若双曲线C的两条渐近线分别平行于OA，OB，则建立恰当的坐标系后，双曲线C的方程可以为( )
A．y2－＝1 B．－x2＝1
C．y2－x2＝1 D．－x2＝1
C [设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)．将题设中双曲线C的一部分平移到平面OAB内，以点O为坐标原点，建立如图所示的坐标系．
因为圆锥的高与底面半径均为2，所以B(2，－2)，
则kOB＝＝－1，
即渐近线OB的方程为y＝－x，即＝1，故a＝b．
选项中满足a＝b的只有选项C．故选C．]
3．(多选)已知椭圆M：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆相交于A，B两点，点P在该椭圆上，且≥1，则下列说法正确的是( )
A．存在点P，使得∠F1PF2＝90°
B．满足△F1PF2为等腰三角形的点P有2个
C．若∠F1PF2＝60°，则＝
D．的取值范围为[－2，2]
ACD [根据题意可得c＝的最小值为1，所以＝1，又c2＝a2－b2，所以a＝2，b＝1，所以椭圆M的方程为＋y2＝1．
当点P为该椭圆的上顶点时，tan ∠OPF2＝，所以∠OPF2＝60°，此时∠F1PF2＝120°，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，所以选项A正确；
当点P在椭圆的上、下顶点时，满足△F1PF2为等腰三角形．又因为2－≤2＋＝2，所以满足＝的点P有两个，同理满足＝的点P有两个，所以选项B不正确；
若∠F1PF2＝60°，＝4，＝2，由余弦定理得＝＋－2·cos ∠F1PF2，即＋－＝12，又＋＋2＝16，所以＝，所以＝sin ∠F1PF2＝，所以选项C正确；
对于选项D，＝＝2－4，分析可得∈[2－，2＋]，所以∈[－2，2]，所以选项D正确．故选ACD．]
4．在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能到达的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示)，称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中碎片到达的最大高度为40米，碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为________米．
80 [以抛物线最高点为坐标原点，平行于地面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
由题意得A，将其代入抛物线方程得6 400＝80p，
解得p＝80，故安全抛物线的焦点到其准线的距离为80米．]
5．已知P是双曲线E：－y2＝1上一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的周长为12＋2，则cos ∠F1PF2＝________，△PF1F2的面积为________．
[在双曲线E中，a＝2，b＝1，则c＝＝．
根据对称性，不妨设点P在双曲线E的右支上，则＝4．
因为＝2c＝2，△PF1F2的周长为12＋2，所以＝12，
所以＝8，＝4．
在△PF1F2中，cos ∠F1PF2＝＝，
则sin ∠F1PF2＝＝＝，
所以＝sin∠F1PF2＝×8×4×＝．]
基础考点2 圆锥曲线的几何性质
【典例2】 (1)(2024·山东潍坊三模)已知F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，点P 在C上，若∠F1PF2大于，则x0的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为__________．
(1)D (2)x＝－ (3) [(1)因为椭圆C：＝1，所以a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4，所以F1，F2．
因为点P在C上，所以＝1，
所以＝，－又＝＝，
所以＝－4＝－2，
又＝＝＝，
＝＝＝，
所以＝cos ∠F1PF2．
因为∠F1PF2大于，所以所以－2<，
解得－所以x0的取值范围是．
故选D．
(2)法一：(解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－．
法二：(应用射影定理法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－．
(3)法一：如图，设F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，n)，
A(x，y)，则＝(x－c，y)，＝(－c，n)，
又＝－，
则
可得A．
又⊥，且＝＝(c，n)，
则＝c2－n2＝0，化简得n2＝4c2．
又点A在C上，
则＝1，整理可得＝1，
将n2＝4c2代入，可得＝9，即25e2－＝9，
解得e2＝或e2＝(舍去)，故e＝．
法二：由＝－，得＝，
设||＝2t，||＝3t，由对称性可得||＝3t，
则||＝2t＋2a，||＝5t，
设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝＝，
所以cos θ＝＝，解得t＝a，
所以||＝2t＋2a＝4a，||＝2a，
在△AF1F2中，由余弦定理的推论可得cos θ＝＝，即5c2＝9a2，则e＝．]
1．确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键是充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)．
2．双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率e与其渐近线的斜率k满足关系式e2＝1＋k2．
3．涉及抛物线的焦半径、准线等问题时，可适当添加辅助线，借助几何图形求解．
1．(2024·重庆模拟)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的不同两点，F是抛物线的焦点，且△OAB的重心恰为F，若|AF|＝5，则p＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D [设A，B，F，
因为△OAB的重心恰为F，
所以解得
由y1＝－y2可知A，B关于x轴对称，即x1＝x2，
则x1＋x2＝2x1＝，即x1＝，
又＝x1＋＝＝5，解得p＝4．
故选D．]
2．(多选)如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法中正确的是( )
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以为＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
ACD [圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，A正确；椭圆的短轴长2b＝2，b＝，则c＝＝，离心率e＝＝，B错误；若以椭圆的长轴所在的直线为x轴，椭圆的短轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则椭圆的方程为＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－，D正确．故选ACD．]
3．(多选)(2024·安徽十校联考)设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是( )
A．M的轨迹方程为＝1
B．M的轨迹与椭圆＝1共焦点
C．2x－3y＝0是M的轨迹的一条渐近线
D．过点N能作4条直线与M的轨迹有且只有一个公共点
BC [对于A，设点M，x≠±3，则kMA＝，kMB＝，所以＝，化简得＝1，所以点M的轨迹方程为＝1，故A错误；
对于B，由A选项可知，点M的轨迹的焦点为，与椭圆＝1共焦点，故B正确；
对于C，点M的轨迹对应曲线＝1的渐近线为2x±3y＝0，故C正确；
对于D，点N在y轴上，A(－3，0)，B(3，0)，则kAN＝，kNB＝－，
所以直线AN，NB与渐近线平行，但点A，B不在点M的轨迹上，
故过点N只能作两条点M的轨迹的切线，如图所示，故D错误．故选BC．
]
4．[高考变式]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝2＝0，则椭圆C的离心率为________．
[设＝2m，因为＝2，
所以＝m．又因为＝0，＝2c，
所以＝＝2．
又因为＝＝，且|AF1|＋|AF2|＝＝2a，
所以2m＋2＝m＋，
所以m＋2＝，
所以m2＋4c2－4m2＋4m＝4c2＋5m2，
所以c2＝5m2，所以c＝m．
又因为2a＝2m＋2＝6m，
所以a＝3m，
所以e＝＝＝．]
【教师备选资源】
1．已知F是椭圆E：＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为( )
A．
C．
A [如图，设椭圆E的右焦点为F′，连接PF′，QF′，根据椭圆的对称性可知四边形PFQF′为平行四边形，则|QF|＝|PF′|，且由∠PFQ＝120°，可得∠FPF′＝60°，
所以|PF|＋|PF′|＝4|PF′|＝2a，
则|PF′|＝a，|PF|＝a．
在△PFF′中，由余弦定理可得
(2c)2＝|PF|2＋|PF′|2－2|PF||PF′|cos 60°
＝(|PF|＋|PF′|)2－3|PF||PF′|，
即4c2＝4a2－a2＝a2，
∴椭圆E的离心率e＝＝＝，故选A．]
2．(多选)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|，则( )
A．∠AF1B＝∠F1AB
B．双曲线C的离心率e＝
C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上
ABC [如图，设|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，
则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝3m，
由双曲线的定义知，|AF1|－|AF2|＝2m－m＝2a，即m＝2a．
|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－2m＝2a，
∴|BF1|＝3m＝|AB|，∴∠AF1B＝∠F1AB，故A正确；
在△ABF1中，由余弦定理的推论知，
cos ∠AF1B＝＝＝，
在△AF1F2中，由余弦定理的推论知，
cos ∠F1AB＝＝＝cos ∠AF1B＝，
化简整理，得12c2＝11m2＝44a2，
∴离心率e＝＝＝，故B正确；
双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x＝±x，故C正确；
若原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上，则c＝m＝2a，与＝不符，故D错误．故选ABC．]
3．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
C [依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则＝1，可得＝，则|PB|2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋b2＝－2by0＋a2＋b2≤4b2．因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝，即C的离心率的取值范围是．故选C．
4．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点(如图1)；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出(如图2)．封闭曲线E(如图3)是由椭圆C1：＝1和双曲线C2：＝1在y轴右侧的一部分(实线)围成．光线从椭圆C1上一点P0发出，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为________．
图1 图2 图3
4 [椭圆C1中a1＝4，b1＝2，c＝2；双曲线C2中a2＝3，b2＝，c＝2，双曲线和椭圆的焦点重合．
根据双曲线的定义有＝6，＝6，
所以－6＝－6＝，
根据椭圆的定义，有＝8，＝8，
所以路程
＝－6＋－6＋
＝＋(|P3F1|＋|P3P0|＋|P0F2|)－12＝8＋8－12＝4．]
基础考点3 直线与圆锥曲线的位置关系
【典例3】 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m＝( )
A． B．
C．－ D．－
(2)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
(3)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
(4)(2024·北京高考)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
(1)C (2)D (3)ABD (4) [(1)将直线方程与椭圆方程联立得消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0．
因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝36m2－4×4>0，解得－2设F1到直线AB的距离为d1，F2到直线AB的距离为d2，易知F1，F2，
则d1＝，d2＝，＝＝＝2，
解得m＝－或m＝－3(舍去)．故选C．
(2)依题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)，设直线AB的方程为y＝kx＋m(提示：根据选项中点与双曲线的位置关系可知，若为线段AB的中点，则直线AB的斜率存在)，与双曲线方程联立可得(9－k2)x2－2kmx－m2－9＝0，则9－k2≠0，Δ＝4k2m2＋4(9－k2)(m2＋9)＞0，即k≠±3，且－k2＋m2＋9＞0．由点A，B在双曲线上可得两式作差可得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，
整理得＝，即9·＝(提示：弦中点问题常利用点差法)．
对于A选项，直线AB的斜率为＝9，则直线AB的方程为y－1＝9(x－1)，即y＝9x－8，－k2＋m2＋9＝－81＋64＋9＜0，不合题意；
对于B选项，直线AB的斜率为＝－，则直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x－，－k2＋m2＋9＝－＋9＜0，不合题意；
对于C选项，直线AB的斜率为＝3，不合题意；
对于D选项，直线AB的斜率为＝，则直线AB的方程为y＋4＝(x＋1)，即y＝x－，－k2＋m2＋9＝－＋9＞0，符合题意．故选D．
(3)A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，
⊙A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，
故准线l与⊙A相切，A选项正确；
B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，
由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)，
此时切线长|PQ|＝＝＝，B选项正确；
C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P点的坐标为(1，2)或(1，－2)，
当P点的坐标为(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，
不满足kPAkAB＝－1；
当P点的坐标为(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1，
于是PA⊥AB不成立，C选项错误；
D选项，法一：(利用抛物线定义转化)
根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，又F(1，0)，
于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题，
A(0，4)，F(1，0)，AF中点为，AF中垂线的斜率为－＝，
于是AF中垂线的方程为y＝x＋，与抛物线方程y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点P，使得|PA|＝|PF|，D选项正确．
法二：(设点直接求解)
设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，
根据两点间的距离公式，得＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个不同实数根，
即存在两个点P，使得|PA|＝|PB|，D选项正确．
故选ABD．
(4)由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．]
1．弦长问题
(1)利用根与系数的关系与弦长公式|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)，根据设而不求的方法计算弦长．
(2)过焦点的弦的问题，可考虑结合圆锥曲线的定义求解，如抛物线y2＝2px(p＞0)中过焦点F的弦长|AB|＝xA＋xB＋p．
2．处理中点弦问题常用的两种方法
(1)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
提醒：利用根与系数的关系解题时，需关注直线的斜率是否存在(为零)；点差法在确定范围方面略显不足．
1．[高考变式]已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx与椭圆交于A，B两点，直线AF1与椭圆交于另一点D，若直线AD与BD的斜率之积为－，则椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
B [∵直线l：y＝kx经过原点，
∴设A，B，D，
∴kAD·kBD＝＝．
又＝＝1，
两式相减，得＝0，
＝－，∴kAD·kBD＝－＝－．
∴离心率e＝＝．
故选B．]
2．(2024·广东深圳一模)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若＝，且双曲线E的离心率为，则cos ∠BAF1＝( )
A．－ B．－
C． D．－
D [因为双曲线E的离心率为，所以c＝a．因为＝，
所以＝＝＝2a，由双曲线的定义可得＝－2a＝2a，
所以＝4a＝2．
在△BF1F2中，由余弦定理的推论得cos ∠BF2F1＝＝＝－，
在△AF1F2中，cos ∠F1F2A＝－cos ∠F1F2B＝．
设＝m，则＝m＋2a，
由＝－2|F1F2||AF2|·cos ∠F1F2A，得
(2a＋m)2＝(2a)2＋m2－2·2a·m·，
解得m＝a，所以＝，
所以cos ∠BAF1＝＝＝－．
故选D．]
3．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则下列说法正确的是( )
A．过点A恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
B．若T，P为C上的动点，则的最小值为5
C．直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得的弦长为8
D．若抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则＝4
CD [因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，所以p＝2，
从而抛物线C的方程是y2＝4x．过点A(－1，0)可以作2条直线与抛物线C相切，
而直线y＝0与抛物线C相交，只有1个交点，从而过点A(－1，0)恰有3条直线与抛物线C有且只有一个公共点，故A错误；
抛物线C的准线方程是x＝－1，设T到准线的距离为d，则d＝4．
过P作准线的垂线，垂足为Q，则由抛物线的定义知＝，所以＝≥d，当且仅当T，P，Q三点共线时取“＝”，所以的最小值为4，故B错误；
抛物线的焦点为F，直线x＋y－1＝0过焦点，
不妨设直线x＋y－1＝0与抛物线的两个交点分别是A，B，
则＝x1＋x2＋p．
由 得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，所以＝x1＋x2＋p＝8，故C正确；
抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则M，N关于x轴对称．
设M(t>0)，则＝＝，解得t＝2，所以＝4，故D正确．
故选CD．]
【教师备选资源】
1．(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
AC [对于A，直线y＝－过点，所以抛物线C：y2＝2px的焦点为F，所以＝1，即p＝2，则A正确，且抛物线C的方程为y2＝4x；
对于B，设M，N，x1＞x2，由 消去y，并化简得3x2－10x＋3＝0，即＝0，
解得x1＝3，x2＝，
所以＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，则B错误；
因为MN的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为1＋＝，
所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
又M，N，
所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，|MN|＝，
所以△OMN不是等腰三角形，所以D错误．故选AC．]
2．(2024·九省联考)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，＝2，＝4a2，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．
D [由双曲线的对称性可知＝＝，则四边形AF1BF2为平行四边形．
令＝＝m，
则＝＝2m，
由双曲线定义可知＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
＝cos ∠AF2B＝2a×4a cos ∠AF2B＝4a2，
则cos ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，
故∠F2BF1＝，
则有cos ∠F2BF1＝＝＝－，
即＝－，即＝－，
则e2＝7，由e>1，得e＝．
故选D．]
3．[高考变式]已知椭圆C：＝1，直线l：y＝x＋1交C于M，N两点，点P，则△PMN的周长为________．
4 [由题知a2＝6，b2＝3，c2＝3，
所以椭圆C：＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
由P，得＝＝＝2，
所以△PF1F2为等边三角形，且∠PF1F2＝60°．
当y＝0时，解方程0＝x＋1，得x＝－，
所以直线l：y＝x＋1过点F1，且倾斜角为30°，即∠MF1F2＝30°，
所以直线l：y＝x＋1为等边△PF1F2中∠PF1F2的平分线，
所以直线l：y＝x＋1为等边△PF1F2中边PF2的中垂线，
所以＝＝．
因为＝＝2a，＝，所以△PMN的周长为＝＝＋|NF1|＋|NF2|＝4a＝4．
]
专题限时集训(十三) 圆锥曲线的定义、方程及性质
一、单项选择题
1．(2024·山东济南二模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，该抛物线上一点P到直线x＝－2的距离为4，则＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [由题意可知，抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝－1，
设P，x0≥0，则x0＋2＝4，解得x0＝2，
所以＝x0＋1＝3．故选C．]
2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
C [设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝10，|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝＝＝2．
故选C．]
3．(2024·云南昆明模拟预测)设F为抛物线y2＝8x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则的值为( )
A．6 B．8
C．10 D．12
D [由题意可知，点F的坐标为(2，0)，
设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，
又F为△ABC的重心，则＝2，即x1＋x2＋x3＝6，
由抛物线方程可得2p＝8 p＝4，
所以由抛物线的定义可知＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝6＋p＝12．
故选D．]
4．已知椭圆＝1的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为( )
A．[－16，0] B．[－8，0]
C．[0，8] D．[0，16]
D [法一：由题意知A(－4，0)，F(2，0)．设M(x0，y0)，则＝(－4－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝＝
＝＋2x0＋4＝(x0＋4)2．
因为＝1，所以＝≤1，
所以－4≤x0≤4，所以0≤≤16．
法二：由题意知A(－4，0)，F(2，0)．设M(x0，y0)，取线段AF的中点N，则N(－1，0)，连接MN(如图)．
则＝＝＝－9＝－9
＝－9＝＋2x0＋4＝(x0＋4)2．
因为＝1，所以＝≤1，所以－4≤x0≤4，所以0≤≤16．故选D．]
5．(2024·天津高考)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
C [如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，
设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝．
因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，
则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，
由＝|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2，
则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，
由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，b＝＝2，
所以双曲线的方程为＝1．故选C．]
二、多项选择题
6．已知定圆M：(x－1)2＋y2＝16，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
ABD [因为Q是线段PA的中垂线上的点，所以＝，
①若A在圆M内部，且不为圆心，则<4，＝＝4，
所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的椭圆，故A正确；
②若A在圆M外部，则＝＝＝4，|MA|>4，
所以Q点的轨迹是以M，A为焦点的双曲线，故B正确；
③若A在圆M上，则PA的中垂线恒过圆心M，即Q点的轨迹为点M．
若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径PM的中点，所以Q点的轨迹是以M为圆心，2为半径的圆，故D正确，不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误．
故选ABD．]
7．(2024·河北邯郸三模)已知双曲线C：＝1，则( )
A．λ的取值范围是(－6，3)
B．C的焦点可以在x轴上也可以在y轴上
C．C的焦距为6
D．C的离心率e的取值范围为(1，3)
AC [对于A，∵＝1表示双曲线，
∴(λ＋6)(3－λ)>0，解得－6<λ<3，故A正确；
对于B，由A项可得－6<λ<3，故λ＋6>0，3－λ>0，∴C的焦点只能在x轴上，故B错误；
对于C，设C的半焦距为c(c>0)，则c2＝λ＋6＋3－λ＝9，∴c＝3，即焦距为2c＝6，故C正确；
对于D，离心率e＝，∵－6<λ<3，∴0<<3，∴e的取值范围是(1，＋∞)，故D错误．
故选AC．]
8．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点M分别向抛物线C与圆F：(x－1)2＋y2＝1作切线，切点分别为P，Q(P，Q不同于坐标原点O)，则下列判断正确的是( )
A．MP∥OQ
B．MP⊥MF
C．P，Q，F三点共线
D．＝
ABC [由题意，设lMP：y＝kx＋m，
联立得k2x2＋x＋m2＝0．
因为直线MP与抛物线相切，
所以Δ＝－4k2m2＝0，即km＝1，
所以xP＝m2，故P．
设Q，则由几何性质可知O，Q两点关于直线lMF：y＝－mx＋m对称，则
解得
故Q．
对于A，＝＝＝，显然MP∥OQ，故A正确；
对于B，＝＝0，即MP⊥MF，故B正确；
对于C，＝＝(m2－1，2m)＝(m2＋1)·，
所以P，Q，F三点共线，故C正确；
对于D，由几何性质易知M，O，F，Q四点共圆，且直径为MF，OQ为该圆的一条弦，点Q随M而动，OQ不一定为直径，故D错误．故选ABC．]
三、填空题
9．(2024·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．
x2＝12y [由题意设直线l：y＝－1，且圆N：x2＋＝4，
设圆M的半径为r，则点M到l′：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l′为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．]
10．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，
故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．]
1/1§2 圆锥曲线的定义、方程及性质
【备考指南】 在新高考中，圆锥曲线的定义、方程及性质常命制一道多选题和一道填空题，难度中等或偏上．备考时要立足圆锥曲线的定义和标准方程，融合几何图形的性质，提升转化与化归及数形结合的解题能力．
基础考点1 圆锥曲线的定义、标准方程
【典例1】 (1)(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
(2)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(－，0)，F2(，0)，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2＝，若e2＝，则椭圆C1的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
(3)(2024·陕西商洛三模)已知点M在抛物线C：y2＝4x上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，则线段MF的长为________．
[听课记录]
1．求圆锥曲线标准方程 “先定型，后计算”
(1)定型：确定圆锥曲线焦点的位置．
(2)计算：利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p．
2．涉及圆锥曲线上的点到焦点的距离时，一般运用定义处理．
1．(多选)已知方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0，其中A≥B≥C≥D≥E≥F，则该方程可以是( )
A．圆的方程 B．抛物线的方程
C．椭圆的标准方程 D．双曲线的标准方程
2．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，则|PO|＝( )
A． B．
C． D．
3．(多选)(2024·山东临沂模拟)已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且的最大值为3，最小值为1，则( )
A．椭圆C的离心率为
B．△PF2F1的周长为4
C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为
D．若＝4，则∠F2PF1＝60°
基础考点2 圆锥曲线的几何性质
【典例2】 (1)(2024·山东潍坊三模)已知F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，点P 在C上，若∠F1PF2大于，则x0的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为__________．
[听课记录]
1．确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键是充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)．
2．双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率e与其渐近线的斜率k满足关系式e2＝1＋k2．
3．涉及抛物线的焦半径、准线等问题时，可适当添加辅助线，借助几何图形求解．
1．(2024·重庆模拟)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的不同两点，F是抛物线的焦点，且△OAB的重心恰为F，若|AF|＝5，则p＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(多选)如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法中正确的是( )
A．椭圆的长轴长为4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以为＝1
D．椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
3．(多选)(2024·安徽十校联考)设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是( )
A．M的轨迹方程为＝1
B．M的轨迹与椭圆＝1共焦点
C．2x－3y＝0是M的轨迹的一条渐近线
D．过点N能作4条直线与M的轨迹有且只有一个公共点
4．[高考变式]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝2＝0，则椭圆C的离心率为________．
基础考点3 直线与圆锥曲线的位置关系
【典例3】 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB的面积是△F2AB面积的2倍，则m＝( )
A． B．
C．－ D．－
(2)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
(3)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
(4)(2024·北京高考)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
[听课记录]
1．弦长问题
(1)利用根与系数的关系与弦长公式|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)，根据设而不求的方法计算弦长．
(2)过焦点的弦的问题，可考虑结合圆锥曲线的定义求解，如抛物线y2＝2px(p＞0)中过焦点F的弦长|AB|＝xA＋xB＋p．
2．处理中点弦问题常用的两种方法
(1)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．
提醒：利用根与系数的关系解题时，需关注直线的斜率是否存在(为零)；点差法在确定范围方面略显不足．
1．[高考变式]已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx与椭圆交于A，B两点，直线AF1与椭圆交于另一点D，若直线AD与BD的斜率之积为－，则椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
2．(2024·广东深圳一模)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若＝，且双曲线E的离心率为，则cos ∠BAF1＝( )
A．－ B．－
C． D．－
3．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则下列说法正确的是( )
A．过点A恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
B．若T，P为C上的动点，则的最小值为5
C．直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得的弦长为8
D．若抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则＝4
1/1
