解答解析几何问题
阅卷案例 四字解题
(2024·新高考Ⅰ卷T16，15分)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 读 A和P为椭圆上两点，求离心率 △ABP的面积为9，求l的方程
想 离心率的计算方法 面积公式，方程的求法
算 a，b，求离心率 S△ABP＝|AP|·d
思 方程思想 转化与化归
规范解答 满分心得
[解] (1) ………………1分 解得…………………………………………………2分 所以e＝＝＝．…………………………………3分 (2)由(1)知C：＝1．由kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，…………………………………4分 |AP|＝＝，………………………………5分 设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝，……………6分 将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位，此时该平行线与椭圆的交点即为点B， …………………………………………………………7分 则＝，解得D＝6或D＝－18. ………………………8分 当D＝6时，联立解得或 即B点的坐标为(0，－3)或，……………………10分 当交点为B(0，－3)时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0，…………………………………………………11分 当交点为B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0. ………………………………………………………12分 当D＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0，……………………………………………………………13分 Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点． …………………………………………………………………14分 综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. ………15分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问只要列出a，b的方程组就得1分． 得关键分：第(2)问准确转化S△ABP＝9是后面运算的关键；第(2)问中正确求出|AP|及d是求B的坐标的关键． 得计算分：能准确地求出点B的坐标是得满分的保障． “学会拆解、分步得分”，同时加强日常规范运算是攻克圆锥曲线问题的重要保障．
§1 直线与圆
【备考指南】 直线与圆主要考查与圆有关的最值、切线、弦长等问题．备考时要立足直线与圆方程的求法，融合圆的几何性质，提升转化与化归及数形结合的解题能力．
基础考点1 直线的方程及应用
【典例1】 (1)(多选)(2024·浙江舟山模拟)已知直线l1：4x－3y＋3＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋m＝0(m∈R)，则( )
A．直线l2过定点(1，2)
B．当m＝2时，l1∥l2
C．当m＝－1时，l1⊥l2
D．当l1∥l2时，l1，l2之间的距离为
(2)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
(3)已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为________．
[听课记录]
(1)判断两直线的位置关系时要学会转化，即把两直线的平行、垂直关系，转化为两直线方程系数的关系，再进行判断．
(2)解决点到直线的距离、两平行线间的距离问题的关键是将直线方程化为一般式再求解．
(3)解决最值问题，常需借助图形进行分析，如求曲线上任意一点到已知直线的最小距离．
1．已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜角为( )
A． B． C． D．
2．(2024·山东潍坊模拟)如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知A，B，从点P射出的光线经直线AB反射到y轴上，再经y轴反射后又回到点P，则光线所经过的路程为________．
3．已知直线l1：kx－y＝0过定点A，直线l2：x＋ky－＋2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为________．
基础考点2 圆的方程及应用
【典例2】 (1)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________．
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
(3)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7
[听课记录]
1．求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即待定系数法，先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
2．与圆有关的最值问题常用代数(Δ)法、几何法、三角换元法求解．
1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
2．[高考变式]已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项错误的是( )
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．的最小值是2
D．过点作曲线C的切线，则切线方程为x－y＋2＝0
3．(2024·湖南益阳模拟)在平面直角坐标系中，已知点F1，F2，若P为平面上的一个动点且＝，则点P运动所形成的曲线的方程为________．
基础考点3 直线与圆及圆与圆的位置关系
【典例3】 (1)(2024·广东广州二模)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O( )
A．外切 B．相交
C．内切 D．没有公共点
(2)(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
[听课记录]
直线与圆及圆与圆问题的求解思路
(1)位置关系问题：主要利用几何法求解．
(2)弦长问题：依据弦长的一半、弦心距、半径之间的关系求解．
(3)切线长问题：先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
提醒：在处理该类问题时应树立作图意识．
1．(2024·山东济南模拟)圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0和圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是( )
A．y＝－x＋1 B．y＝－x＋1或y＝x＋5
C．y＝－x＋5 D．y＝x＋1或y＝2x＋5
2．[高考变式]在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：＋＝a2，A，若圆C上存在点P，使得＝2，则正数a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
3．(多选)(2024·福建南平二模)已知圆C：＋＝25，直线l：x＋y－7m－4＝0，则( )
A．直线l过定点
B．圆C被x轴截得的弦长为4
C．当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，l的方程为2x－y－5＝0
1/1解答解析几何问题
阅卷案例 四字解题
(2024·新高考Ⅰ卷T16，15分)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 读 A和P为椭圆上两点，求离心率 △ABP的面积为9，求l的方程
想 离心率的计算方法 面积公式，方程的求法
算 a，b，求离心率 S△ABP＝|AP|·d
思 方程思想 转化与化归
规范解答 满分心得
[解] (1) ………………1分 解得…………………………………………………2分 所以e＝＝＝．…………………………………3分 (2)由(1)知C：＝1．由kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，…………………………………4分 |AP|＝＝，………………………………5分 设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝，……………6分 将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位，此时该平行线与椭圆的交点即为点B， …………………………………………………………7分 则＝，解得D＝6或D＝－18. ………………………8分 当D＝6时，联立解得或 即B点的坐标为(0，－3)或，……………………10分 当交点为B(0，－3)时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0，…………………………………………………11分 当交点为B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0. ………………………………………………………12分 当D＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0，……………………………………………………………13分 Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此时该直线与椭圆无交点． …………………………………………………………………14分 综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. ………15分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(1)问只要列出a，b的方程组就得1分． 得关键分：第(2)问准确转化S△ABP＝9是后面运算的关键；第(2)问中正确求出|AP|及d是求B的坐标的关键． 得计算分：能准确地求出点B的坐标是得满分的保障． “学会拆解、分步得分”，同时加强日常规范运算是攻克圆锥曲线问题的重要保障．
§1 直线与圆
【备考指南】 直线与圆主要考查与圆有关的最值、切线、弦长等问题．备考时要立足直线与圆方程的求法，融合圆的几何性质，提升转化与化归及数形结合的解题能力．
基础考点1 直线的方程及应用
【典例1】 (1)(多选)(2024·浙江舟山模拟)已知直线l1：4x－3y＋3＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋m＝0(m∈R)，则( )
A．直线l2过定点(1，2)
B．当m＝2时，l1∥l2
C．当m＝－1时，l1⊥l2
D．当l1∥l2时，l1，l2之间的距离为
(2)(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
(3)已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为________．
(1)ABD (2)B (3)x－8y＋20＝0 [(1)由l2：mx＋2x－my－y＋m＝m(x－y＋1)＋2x－y＝0，
令可得
所以l2过定点(1，2)，A正确；
当m＝2时，l2：4x－3y＋2＝0，
而l1：4x－3y＋3＝0，即l1∥l2，B正确；
当m＝－1时，l2：x－1＝0，而l1：4x－3y＋3＝0，显然两直线不垂直，C错误；
由l1∥l2，则－3(m＋2)＝－4(m＋1)，可得m＝2，由B项分析知，l1，l2之间的距离为＝，D正确．故选ABD．
(2)法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝．当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝．故选B．
法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝．故选B．
(3)由解得
所以点B的坐标为(9，－2)．
设点A(4，3)关于直线x＋2y－5＝0的对称点为A′(x0，y0)，
则解得所以点A′的坐标为(2，－1)．
因为点A′(2，－1)在直线BC上，
所以直线BC的方程为y－(－1)＝(x－2)，
即x＋7y＋5＝0．
设点C的坐标为(x1，y1)，
则AC的中点坐标为．
所以由点C在直线BC上，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，
所以解得所以点C的坐标为(－12，1)，
所以kAC＝＝，所以AC边所在直线的方程为y－3＝(x－4)，即x－8y＋20＝0．]
(1)判断两直线的位置关系时要学会转化，即把两直线的平行、垂直关系，转化为两直线方程系数的关系，再进行判断．
(2)解决点到直线的距离、两平行线间的距离问题的关键是将直线方程化为一般式再求解．
(3)解决最值问题，常需借助图形进行分析，如求曲线上任意一点到已知直线的最小距离．
1．已知直线l的一个方向向量为p＝，则直线l的倾斜角为( )
A． B． C． D．
A [由题意可得，直线l的斜率k＝＝＝tan ，即直线l的倾斜角为．故选A．]
2．(2024·山东潍坊模拟)如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知A，B，从点P射出的光线经直线AB反射到y轴上，再经y轴反射后又回到点P，则光线所经过的路程为________．
2 [设点P关于y轴的对称点P1，点P关于直线AB的对称点P2，如图所示，
因为A，B，
所以直线AB的方程为x＋y－3＝0，
所以解得
所以P2(3，2)，所以光线经过的路程为|PM|＋|MN|＋|PN|＝|P2M|＋|MN|＋|P1N|＝|P1P2|＝＝2．]
3．已知直线l1：kx－y＝0过定点A，直线l2：x＋ky－＋2k＝0过定点B，l1与l2的交点为C，则|AC|＋|BC|的最大值为________．
2 [直线l1：kx－y＝0过定点A(0，0)，
直线l2：x＋ky－＋2k＝0，即x－＋k(2＋y)＝0，则可得x＝，y＝－2，故过定点B(，－2)．直线l1：kx－y＝0与直线l2：x＋ky－＋2k＝0中，∵k×1＋(－1)×k＝0，∴l1⊥l2．
∵l1与l2的交点为C，
∴|CA|2＋|CB|2＝|AB|2＝2＋4＝6，
∴＝≤(|CA|2＋|CB|2)＝3，
∴，
∴|CA|＋|CB|≤2，当且仅当|CA|＝|CB|时，|CA|＋|CB|的最大值为2．]
【教师备选资源】
1．已知直线l1：y＝ax＋3与l2关于直线y＝x对称，l2与l3：x＋2y－1＝0平行，则a＝( )
A．－ B．
C．－2 D．2
C [直线l1关于直线y＝x对称的直线，即交换x，y的位置所得，l2：x＝ay＋3，又l2，l3相互平行，l3：x＋2y－1＝0的斜率为－，故a＝－2．故选C．]
2．已知实数a＞0，b＜0，则的取值范围是( )
A．[－2，－1) B．(－2，－1)
C．(－2，－1] D．[－2，－1]
A [可看作点A(1，－)到直线l：ax＋by＝0的距离．因为a＞0，b＜0，所以d＝，且直线l的斜率k＝－＞0．
如图．
当直线l的斜率不存在时，d＝＝1，所以当k＞0时，d＞1，
当OA⊥l时，dmax＝|OA|＝＝2，
所以1＜d≤2，即1＜≤2．
因为＝－，所以－2≤＜－1．故选A．]
3．已知A，B，C，一束光线从点F发出，经直线AC反射后，再经直线BC上点D反射，最后反射光线经过点E，则点D的坐标为( )
A． B．
C． D．
C [根据入射光线与反射光线的关系，分别作出F，E关于直线AC，BC的对称点G，H，
连接GH，交BC于点D，则D点即为所求，如图．
因为AC所在直线的方程为y＝x＋3，F(－1，0)，
设G(x，y)，
则
解得x＝－3，y＝2，即G(－3，2)，
由BC所在直线的方程为y＝－x＋3，E(1，0)，同理可得H(3，2)，所以直线GH的方程为y＝2，由解得D(1，2)，故选C．]
4．直线l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k的两个可能取值：________和________．
－2 －(答案不唯一) [令直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k，
当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan (π－α)＝－tan α＝－2；
当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ或α＝2θ－π，tan α＝tan 2θ＝＝＝2，整理得k2＋k－1＝0，解得k＝；
当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，θ＝2α，k＝tanθ＝tan 2α＝＝＝－．所以k的可能取值为－2，，－．]
基础考点2 圆的方程及应用
【典例2】 (1)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________．
(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
(3)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7
(1)＋＝13或＋＝5或＋＝或＋＝(从这四个方程中任选一个作答即可) (2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5 (3)C
[(1)依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若过三点，
则解得 易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即＋＝13；
若过三点，
则解得
易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即＋＝5；
若过三点，
则解得
易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，即＋＝；
若过三点，
则解得易得D2＋E2－4F＞0，
所以过这三点的圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即＋＝．
(2)∵点M在直线2x＋y－1＝0上，
∴设点M(a，1－2a)．
又∵点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴＝＝R，
即a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
(3)法一：令x－y＝k，则x＝k＋y，
代入原式化简得2y2＋y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，所以Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，
故x－y的最大值是3＋1．故选C．
法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，
整理得＋＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈，
则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos ＋1．
因为θ∈，所以θ＋∈，则θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1．故选C．
法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3．故选C．]
1．求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即待定系数法，先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
2．与圆有关的最值问题常用代数(Δ)法、几何法、三角换元法求解．
1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
A [设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
2．[高考变式]已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项错误的是( )
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．的最小值是2
D．过点作曲线C的切线，则切线方程为x－y＋2＝0
C [曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0可化为＋y2＝3，它表示圆心为，半径为的圆．
对选项A，x2＋y2表示圆C上的点到定点O的距离的平方，故它的最大值为()2＝(＋1)2＝4＋2，A正确；
对选项B，表示圆上的点与点P的连线的斜率k，由圆心到直线y＋1＝k(x＋1)的距离d1＝，
可得2－≤k≤2＋，B正确；
对选项C，表示圆上任意一点到直线x－y＋3＝0的距离的倍，
圆心(1，0)到直线的距离d2＝＝2，
所以其最小值为＝4－，故C错误；
对选项D，过点作曲线C的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为y＝mx＋，
由＝，解得m＝，
故切线方程为x－y＋2＝0，故D正确．
故选C．]
3．(2024·湖南益阳模拟)在平面直角坐标系中，已知点F1，F2，若P为平面上的一个动点且＝，则点P运动所形成的曲线的方程为________．
(x－3)2＋y2＝8 [设P(x，y)，则由＝可得＝，化简得(x－3)2＋y2＝8．]
【教师备选资源】
1．(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是( )
A．的最大值为
B．的最小值为0
C．x2＋y2的最大值为＋1
D．x＋y的最大值为3＋
ABD [由x2＋y2－4x－2y＋4＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝1．
对于ABD，令y＝kx，x＋y＝a，则两条直线都与圆有公共点，必有≤1，≤1，解得3－≤a≤3＋，0≤k≤，故x＋y的最大值为3＋＝k的最大值为，最小值为0，故A，B，D正确．
对于C，原点到圆心的距离d＝，则圆上的点到原点的距离的范围为[－1，＋1]，所以x2＋y2≤6＋2，故x2＋y2的最大值为6＋2，故C错误．故选ABD．]
2．德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”(也称“米勒定理”)：若点A，B是∠MON的边OM上的两个定点，C是边ON上的一个动点，当且仅当△ABC的外接圆与边ON相切于点C时，∠ACB最大．在平面直角坐标系中，已知点D(2，0)，E(4，0)，点F是y轴负半轴上的一个动点，当∠DFE最大时，△DEF的外接圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋2)2＝9
B．(x－3)2＋(y－2)2＝9
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝8
D．(x－2)2＋(y－3)2＝8
A [由米勒定理知当∠DFE最大时，△DEF的外接圆与y轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限．
因为点D(2，0)，E(4，0)，
所以圆心在直线x＝3上，
又圆与y轴负半轴相切，
所以圆的半径为3．
设圆心为P(3，b)，b＜0，
则|PD|＝＝3，
解得b＝±2，
又b＜0，所以b＝－2，
所以△DEF的外接圆的方程是(x－3)2＋(y＋2)2＝9，
故选A．]
3．(2024·东北三省三校二模)曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的图形的面积是________．
2＋π [将－x或－y代入方程，方程不发生改变，故曲线x2＋y2＝|x|＋|y|关于x轴，y轴对称，
因此只需求出曲线在第一象限的面积即可．
当x≥0，y≥0时，曲线方程为＋＝，表示的图形占整个图形的，而＋＝围成的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆，
所以S＝4＝2＋π，
故围成的图形的面积为2＋π．]
4．在某数学活动课上，数学老师把一块三边长分别为6，8，10的三角板ABC放在平面直角坐标系中，则△ABC外接圆的方程可以为________．(写出其中一个符合条件的即可)
x2＋y2＝25(答案不唯一) [边长分别为6，8，10的△ABC为直角三角形，且外接圆的半径为5，若将斜边的中点与坐标原点重合，则圆心为(0，0)，所以其外接圆的方程可以为x2＋y2＝25；
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为6的直角边落在x轴的正半轴，则圆心为(3，±4)，
所以其外接圆的方程可以为(x－3)2＋(y±4)2＝25；
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为6的直角边落在x轴的负半轴，则圆心为(－3，±4)，
所以其外接圆的方程可以为(x＋3)2＋(y±4)2＝25；
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为8的直角边落在x轴的正半轴，则圆心为(4，±3)，
所以其外接圆的方程可以为(x－4)2＋(y±3)2＝25；
若将直角顶点与坐标原点重合，边长为8的直角边落在x轴的负半轴，则圆心为(－4，±3)，
所以其外接圆的方程可以为(x＋4)2＋(y±3)2＝25．
(或者其他符合条件的圆的方程)．]
基础考点3 直线与圆及圆与圆的位置关系
【典例3】 (1)(2024·广东广州二模)若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O( )
A．外切 B．相交
C．内切 D．没有公共点
(2)(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
(1)B (2)D (3) [(1)直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，
则圆心O到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝＝1，得a2＋b2＝1．
圆(x－a)2＋(y－b)2＝的圆心坐标为，半径为，其圆心在圆O上，所以两圆相交．故选B．
(2)法一：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0 ①，
得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝＝，所以只需直线l上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0．
由得所以P(－1，0)．易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0②，由①②得直线AB的方程为2x＋y＋1＝0．故选D．
法二：因为⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．
连接AM，BM(图略)，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．
又|PA|＝＝，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l．因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C．
易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由得所以P(－1，0)．因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与⊙M相切，所以A(－1，1)．因为点A(－1，1)在直线AB上，故排除B．故选D．
(3)法一：由题意知点A(－2，3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2，2a－3)，
所以kA′B＝，
所以直线A′B的方程为y＝x＋a，
即(3－a)x－2y＋2a＝0．
由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，
易知圆心坐标为(－3，－2)，半径为1，
所以≤1，
整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是．
法二：易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
由题意知该对称圆与直线AB有公共点．直线AB的方程为y＝x＋a，
即(a－3)x－2y＋2a＝0，
又对称圆的圆心坐标为(3，－2)，半径为1，
所以≤1，
整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是．
法三：易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1关于y轴对称的圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
由题意知该对称圆与直线AB有公共点．
设直线AB的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋3＋2k＝0，
因为对称圆的圆心坐标为(3，－2)，半径为1，
所以≤1，解得－≤k≤－，
又k＝，所以－≤－，
解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是．]
直线与圆及圆与圆问题的求解思路
(1)位置关系问题：主要利用几何法求解．
(2)弦长问题：依据弦长的一半、弦心距、半径之间的关系求解．
(3)切线长问题：先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
提醒：在处理该类问题时应树立作图意识．
1．(2024·山东济南模拟)圆C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0和圆C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切线方程是( )
A．y＝－x＋1 B．y＝－x＋1或y＝x＋5
C．y＝－x＋5 D．y＝x＋1或y＝2x＋5
A [圆C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝8，圆心C1(－4，1)，半径r1＝2， 圆C2：(x＋3)2＋(y－2)2＝2，圆心C2(－3，2)，半径r2＝，因为＝＝r1－r2，所以两圆内切，公切线只有一条．
因为圆心连线与切线相互垂直＝1，
所以切线斜率为－1，
由方程组解得
故圆C1与圆C2的切点坐标为(－2，3)，
故公切线方程为y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋1．故选A．]
2．[高考变式]在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：＋＝a2，A，若圆C上存在点P，使得＝2，则正数a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
D [设P(x，y)，则由＝2，得到＝2，
整理得(x－1)2＋y2＝4，又点P在圆C上，
所以(x－1)2＋y2＝4与圆C有交点，
又(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为r＝2，圆C的圆心为(a，a)，半径为R＝a，
所以≤2＋a，解得1≤a≤3＋2，故选D．]
3．(多选)(2024·福建南平二模)已知圆C：＋＝25，直线l：x＋y－7m－4＝0，则( )
A．直线l过定点
B．圆C被x轴截得的弦长为4
C．当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4
D．直线l被圆C截得的弦长最短时，l的方程为2x－y－5＝0
ACD [对于A，直线l的方程变形为：m＋x＋y－4＝0，
令解得
所以直线l恒过定点，故A正确；
对于B，圆C的圆心C，半径r＝5，
C到x轴的距离为2，所以圆C被x轴截得的弦长为2＝2，故B错误；
对于C，当m＝－2时，直线l：3x＋y－10＝0，
此时圆心C到直线l的距离d＝＝，而r－d＝5－<4，
所以当m＝－2时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4，故C正确；
对于D，设直线l恒过的定点为P(3，1)，当PC⊥l时，弦长最短，此时kl＝－＝－＝2，
所以l的方程为y－1＝2，化简为2x－y－5＝0，故D正确．故选ACD．]
【教师备选资源】
1．过直线y＝x上一点M作圆C：＋y2＝1的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为( )
A．5x－y－2＝0 B．x－5y＋14＝0
C．5x＋y－8＝0 D．x＋5y－16＝0
C [圆C：＋y2＝1的圆心为C，
设M，则以MC为直径的圆的方程为
＋＝[(t－2)2＋(t－0)2]，
与圆C的方程＋y2＝1两式相减可得直线PQ的方程为
x＋ty－2t＋3＝0．
因为直线PQ过点，
所以t－2＋3t－2t＋3＝0，解得t＝－，
所以直线PQ的方程为－x－y＋1＋3＝0，即5x＋y－8＝0．
故选C．]
2．已知P(3，4－2)，过点P作圆C：(x－a)2＋(y－a－1)2＝1(a为参数，且a∈R)的两条切线分别切圆C于点A，B，则sin ∠APB的最大值为( )
A．1 B．
C． D．
C [圆心C(a，a＋1)，半径为1，圆心C在直线y＝x＋1上运动，
设∠APC＝θ，则∠APB＝2θ，由圆的几何性质可知tan θ＝＝，
所以sin ∠APB＝sin 2θ＝＝＝，
当直线PC与直线y＝x＋1垂直时，|PC|取得最小值，
则|PA|＝取得最小值，
且|PC|min＝＝2，
则|PA|min＝＝，则|PA|≥，
由对勾函数的单调性可知，函数y＝x＋在[，＋∞)上单调递增，且y＝x＋＞0，
故函数f (x)＝在[，＋∞)上单调递减，
故当|PA|＝时，sin ∠APB取得最大值．
故选C．]
3．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值：__________．
2 [设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，点C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．
故答案可以为2．]
4．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(只需从这三条公切线中任选一条作答即可) [圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3, 4)，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图．
当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设切线l的方程为y＝－x＋t(t＞0)，O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋．
当切线为m时，设切线m的方程为kx＋y＋p＝0，
其中p＞0，k＜0，由题意得解得所以m的方程为y＝x－．
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
专题限时集训(十二) 直线与圆
一、单项选择题
1．(2024·辽宁大连一模)过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为( )
A．x2＋y2＝4 B．＋y2＝8
C．＋y2＝5 D．＋y2＝10
D [令该圆圆心为，半径为r，则该圆的方程为＋y2＝r2，
则有解得
故该圆的方程为＋y2＝10．故选D．]
2．(2024·山东大联考)已知圆M：x2＋y2＋2ay＝0的圆心到直线3x＋2y＝2的距离是，则圆M与圆N：＋＝1的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．内切 D．内含
D [圆M：x2＋y2＋2ay＝0化为标准方程为x2＋＝a2，所以圆心M，半径为a．
由点到直线的距离公式得＝＝，且a>0，所以a＝．
又圆N的圆心N，半径为1，
所以＝＝＝．
由<，可得两圆内含．故选D．]
3．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．2
C [因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直线方程ax＋by＋c＝0得
ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令得
故直线恒过点(1，－2)，
设P(1，－2)．
圆化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，
|PC|＝1，|AC|＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4．
故选C．]
4．(2024·浙江嘉兴二模)已知圆C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A，B，若圆C上存在点P，使得PA⊥PB，则r的取值范围为( )
A．
C．
B [如图，由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆，设为圆M．
因为A，B，所以圆M的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25．
依题意知圆M与圆C至少有一个公共点．
因为C(5，－2)，M(－3，4)，所以|CM|＝＝10．
由≤5＋r，解得5≤r≤15．
故选B．]
5．(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B． C． D．
B [圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，设圆心为C，半径为r，则C(2，0)，r＝．
设P(0，－2)，切线为PA，PB，则|PC|＝＝2，
在△PAC中，sin ＝＝，所以cos ＝＝，
所以sin α＝2sin cos ＝2×＝．
故选B．]
二、多项选择题
6．已知点A(－1，0)，B(1，0)，点P为圆C：x2＋y2－6x－8y＋17＝0上的动点，则( )
A．△PAB面积的最小值为8－4
B．|AP|的最小值为2
C．∠PAB的最大值为
D．的最大值为8＋4
BCD [x2＋y2－6x－8y＋17＝0 (x－3)2＋(y－4)2＝8，圆C是以C(3，4)为圆心，2为半径的圆．
对于A，当动点P移动到圆C的最低点M时，△PAB的面积最小，yM＝4－2，
Smin＝·|AB|·yM＝×2×(4－2)＝4－2，故选项A错误；
对于B，连接AC交圆于R点，当点P移动到R点时，|AP|取得最小值，为|AC|－|RC|＝－2＝2，故选项B正确；
对于C，当AP移动到与圆C相切时，∠PAB取得最大值，设切点为Q，
sin ∠CAQ＝＝＝，∴∠CAQ＝，
tan ∠CAN＝＝＝1，∴∠CAN＝，
∴∠PAB＝∠CAQ＋∠CAN＝，故选项C正确；
对于D，＝||·||·cos ∠PAB，当点P移动到S点时，||·cos ∠PAB取得最大值，即在上的投影向量的长度，可知为在上的投影向量，所以()max＝＝2×(1＋3＋2)＝8＋4，故选项D正确．故选BCD．]
三、填空题
7．(2024·浙江杭州二模)写出与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的一条直线的方程：________．
y＝x＋2或y＝x－2(写出一个即可) [因为切线的方向向量为，
所以切线的斜率为，
故可设切线方程为y＝x＋b．
因为直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相切，
又圆x2＋y2＝1的圆心坐标为，半径为1，
圆心到直线y＝x＋b的距离为＝，
所以＝1，所以b＝2或b＝－2，
所以与圆x2＋y2＝1相切且方向向量为的直线方程为y＝x＋2或y＝x－2．]
8．(2024·广东佛山二模)在平面直角坐标系中，已知A，B，C，则△ABC的外接圆的标准方程为________．
＋＝2 [依题意，设△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则解得
所以所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y＋3＝0，
则其标准方程为＋＝2．]
9．(教材改编)已知A，B，C，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足＋＋＝13，则实数r的取值范围是________．
[设P，将坐标代入式子＋＋＝13，可得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，
即＋＝1，则点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．
依题意，两圆有公共点，则≤2≤r＋1，解得2－1≤r≤2＋1．]
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