培优课10 隐圆问题
在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而利用圆的知识来求解，这类问题称为“隐圆”问题．
类型1 利用圆的定义或垂直关系确定隐圆
【典例1】 (1)(2024·河北邯郸二模)由动点P向圆M：(x＋2)2＋(y＋3)2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若四边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方程为( )
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝2
C．(x－2)2＋(y－3)2＝4
D．(x－2)2＋(y－3)2＝2
(2)在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足||＝||＝＝0，A为线段BC中点，P为圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则||的取值范围是( )
A．[2，8] B．[3，8]
C．[2，7] D．[3，7]
(1)B (2)A [(1)因为四边形APBM为正方形，且|MA|＝|MB|＝1，所以|MP|＝，
故动点P的轨迹是以M为圆心，为半径的圆，其方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝2．故选B．
(2)由＝0，得⊥，
又||＝||＝，且A为线段BC中点，
则||＝1，
所以A为圆O：x2＋y2＝1上任意一点．
设圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为M，则||＝5，
又||＝5＞1＋2，所以圆O与圆M相离，
所以||的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，
所以||max＝||＋||＋||＝5＋1＋2＝8，
||min＝||－||－||＝5－1－2＝2，
所以||的取值范围为[2，8]．
故选A．
]
题目中若已知动点到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定值，或者得到动点与两定点的连线的夹角为直角，则可以得到动点的轨迹为圆．
[跟进训练]
1．(2024·山东济南二模)已知圆C：x2＋y2＝1，A，B，若圆C上有且仅有一点P使PA⊥PB，则正实数a的取值为( )
A．2或4 B．2或3
C．4或5 D．3或5
D [由题意可知，圆C：x2＋y2＝1的圆心为C，半径r＝1，且a>0，
因为PA⊥PB，可知点P的轨迹为以线段AB的中点M为圆心，半径R＝a的圆，
又因为点P在圆C：x2＋y2＝1上，
可知圆C与圆M有且仅有一个公共点，则＝r＋R或＝，
即4＝1＋a或4＝，解得a＝3或a＝5．故选D．]
【教师备选资源】
1．已知直线l1：x＋my－3m－1＝0与l2：mx－y－3m＋1＝0相交于点M，线段AB是圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的一条动弦，且|AB|＝2，则的最小值为( )
A．6－4 B．3－
C．5＋ D．－1
A [由圆的方程知：圆心C(－1，－1)，半径r＝2，
由l1：x＋my－3m－1＝0得(x－1)＋m(y－3)＝0，
∴l1恒过定点E(1，3)．
由l2：mx－y－3m＋1＝0得m(x－3)＋(1－y)＝0，
∴l2恒过定点F(3，1)．
由直线l1，l2的方程可知l1⊥l2，∴ME⊥MF，
即＝0，
设M(x，y)，则＝(1－x，3－y)，＝(3－x，1－y)，
∴＝(1－x)(3－x)＋(3－y)(1－y)＝0，整理可得(x－2)2＋(y－2)2＝2，
即点M的轨迹是以G(2，2)为圆心，为半径的圆，
又直线l2斜率存在，∴M点轨迹不包含(3，3)，
若点D为弦AB的中点，则＝2，位置关系如图，
连接CD，由|AB|＝2，知|CD|＝＝1，
则|MD|min＝|MC|min－|CD|＝|CG|－－1
＝－1＝2－1，
∴＝()·()＝＋()·＝－3≥(2－1)2－3＝6－4(当M在点(1，1)处时取等号)，即的最小值为6－4．故选A．]
2．已知等边△ABC的边长为，P为△ABC所在平面内的动点，且||＝1，则的取值范围是( )
A． B．
C．[1，4] D．[1，7]
B [如图构建平面直角坐标系，且A，B，C，
所以P(x，y)在以A为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为＋y2＝1，而＝＝，故＝x2－x＋y2－y＝＋－，
只需求出定点与圆＋y2＝1上的点的距离的平方的范围即可，而圆心A与点的距离d＝＝，故定点与圆上点的距离的范围为，所以∈．故选B．]
类型2 阿波罗尼斯圆
【典例2】 (2024·广东茂名一模)动点P与两个定点O，A满足＝2，则点P到直线l：mx－y＋4－3m＝0的距离的最大值为________．
2＋ [设P(x，y)，则＝2，
整理得x2＋(y＋1)2＝4，
所以P的轨迹是圆心为(0，－1)，半径为2的圆，
又直线l：mx－y＋4－3m＝0可化为m(x－3)－(y－4)＝0，易知过定点(3，4)，由32＋(4＋1)2>4，故点(3，4)在圆x2＋(y＋1)2＝4外，则圆心与定点所在的直线与直线l垂直时，圆心与直线l的距离最大，所以点P到直线l的距离的最大值为＋2＝2＋．]
平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，这个圆称作阿波罗尼斯圆．
[跟进训练]
2．(2024·辽宁沈阳二模)已知A，B＝2，若平面内满足到直线l：3x＋4y＋m＝0的距离为1的点P有且只有3个，则实数m＝________．
5或－5 [设点P(x，y)，由|PB|＝2|PA|可得，＝2，
两边平方整理得x2＋y2＝4，即点P的轨迹是圆，圆心在原点，半径为2．
若该圆上有且只有3个点到直线l：3x＋4y＋m＝0的距离为1，则圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝±5．]
3．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝|PT|，则实数k的取值范围是________．
[由题意知A(－2，0)，C(2，0)，
设P(x，y)，
则由|PA|＝|PT|，得|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，
化简得(x－6)2＋y2＝36，
所以满足|PA|＝|PT|的点P在以(6，0)为圆心，6为半径的圆上．
由题意知，直线y＝k(x＋2)与圆(x－6)2＋y2＝36有公共点，所以d＝≤6，解得－≤k≤．]
【教师备选资源】
1．(多选)已知动点P到原点O与A(2，0)的距离之比为2，动点P的轨迹记为C，直线l：3x－4y－3＝0，则下列结论正确的是( )
A．C的方程为＋y2＝
B．动点P到直线l的距离的取值范围为
C．直线l被C截得的弦长为
D．C上存在三个点到直线l的距离为
AD [设P(x，y)，因为|PO|＝2|PA|，所以＝2，
所以C的方程为＋y2＝，故A正确；
因为圆心C到直线l：3x－4y－3＝0的距离d＝1＜r＝，
所以直线l与圆C相交，且弦长为2＝，故C错误；
动点P到直线l的距离的取值范围为，故B错误，D正确．故选AD．]
2．已知O(0，0)，A(3，0)，直线l上有且只有一个点P满足|PA|＝2|PO|，写出满足条件的其中一条直线l的方程________．
x＝1(答案不唯一) [设点P(x，y)，由|PA|＝2|PO|可得＝2，
整理可得(x＋1)2＋y2＝4，
即点P的轨迹为圆，且圆心为C(－1，0)，半径r＝2，
直线l上有且只有一个点P满足|PA|＝2|PO|，
所以直线l与圆C相切，所以直线l的方程可为x＝1(答案不唯一)．]
类型3 由距离平方和为定值确定隐圆
【典例3】 (2024·河南九师联盟三模)在平面α内，已知线段AB的长为4，点P为平面α内一点，且＋＝10，则∠PAB的最大值为( )
A． B．
C． D．
A [如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，
设P，因为＝4，不妨设A，B，
由＋＝10，得＋y2＋＋y2＝10，
化简得x2＋y2＝1，即点P的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆．当PA与圆O相切时，∠PAB取得最大值，此时OP⊥PA．
因为＝1，＝2，所以sin ∠PAB＝，且∠PAB为锐角，故∠PAB的最大值为．故选A．]
动点 P 满足＋|PB|2是定值的轨迹为圆．在解决与圆相关的综合问题时，要注意利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题．
[跟进训练]
4．设A(2，0)，B(0，4)．若对于直线l：x－y＋m＝0上的任意一点P，都有|PA|2＋|PB|2>18，则实数m的取值范围为( )
A．(1＋2，＋∞)
B．(1－2，1＋2)
C．(－∞，1－2)
D．(－∞，1－2)∪(1＋2，＋∞)
D [设P，∵|PA|2＋|PB|2>18，
∴＋y2＋x2＋>18，整理得＋>4，
则P在以为圆心，2为半径的圆外，
∵P在直线l上，则直线与圆相离，设圆心到直线的距离为d，∴d＝>2，解得m<1－2或m>1＋2．
故选D．]
【教师备选资源】
1．已知点A(－2，0)，B(2，0)，点P满足|PA|2＋|PB|2＝16，直线l：(m＋1)x－y＋1－3m＝0(m∈R)，当点P到直线l的距离最大时，m的值为( )
A． B．
C．－ D．－
C [∵A(－2，0)，B(2，0)，设P(x，y)，
∴|PA|2＋|PB|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2x2＋2y2＋8，
∵|PA|2＋|PB|2＝16，∴2x2＋2y2＋8＝16，化简得x2＋y2＝4，即点P的轨迹方程为x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径为2．
直线l：(m＋1)x－y＋1－3m＝0(m∈R)化简为m(x－3)＋x－y＋1＝0，
由解得即直线l恒过定点(3，4)，
设定点为M(3，4)，当OM⊥l时，此时点P到直线l的距离最大，∴kOM·kl＝－1，kOM＝＝，kl＝m＋1，∴(m＋1)＝－1，得m＝－．故选C．]
2．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0和两点A，B，若圆C上总存在点P，使得＋＝，则实数t的取值范围是( )
A． B． C． D．
C [由圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0得＋＝1，又点P在圆C上，所以设P，其中θ∈，
因为＋＝，所以⊥，所以＝0，
又＝＝(3＋cos θ－t，4＋sin θ)，
所以＝－t2＋＝0，整理得
t2＝＋
＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin ，
因为θ∈，所以－1≤sin ≤1，
所以16≤t2≤36，所以4≤t≤6．故选C．]
类型4 圆幂定理
【典例4】 (2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系Oxy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
[解] (1)因为|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支．
设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)．
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由得x2－2k1x－－16＝0．
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知≠0，Δ＞0，
则xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝＝，
|TB|＝＝，
则|TA|·|TB|＝＝
＝＝．
同理得|TP|·|TQ|＝．
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以＝，所以＝，
即＝，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0．
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．
1．圆幂定理
若|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，则A，B，P，Q四点共圆，反之亦然．
2．圆锥曲线上四点共圆的充要条件
若两条直线li：y－y0＝ki(x－x0)(i＝1，2)与二次曲线Γ：ax2＋by2＋cx＋dy＋e＝0(a≠b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k1＋k2＝0．
可推导圆锥曲线上四点共圆的充要条件为圆锥曲线上四个不同的点组成的四边形对角线的倾斜角互补．
[跟进训练]
5．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线l交C于A，B两点．当直线AD垂直于x轴时，|AF|＝6．
(1)求C的方程；
(2)若线段AB的垂直平分线交C于M，N两点，且∠AMB＋∠ANB＝π，求直线l的方程．
[解] (1)由题意得|AF|＝p＋＝6，∴p＝4，
∴C的方程为y2＝8x．
(2)由(1)知F，设l的方程为x＝my＋2(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－8my－16＝0，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，
∴x1＋x2＝my1＋2＋my2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝8m2＋4，
∴AB的中点为Q(4m2＋2，4m)，|AB|＝x1＋x2＋4＝8m2＋8，
又直线MN的斜率为－m，
∴直线MN的方程为x＝－y＋4m2＋6，
将上式代入y2＝8x，并整理得
y2＋y－16(2m2＋3)＝0，设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
则y3＋y4＝－，y3y4＝－16(2m2＋3)，
则x3＋x4＝－(y3＋y4)＋2(4m2＋6)
＝－＋8m2＋12＝＋8m2＋12，
∴MN的中点为E，|MN|＝|y3－y4|＝．
由MN垂直平分AB，且∠AMB＋∠ANB＝π，
得A，M，B，N在以MN为直径的圆上，
即E为圆心，|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|EQ|2＝|MN|2，
即(8m2＋8)2＋＋
＝，
解得m＝1或m＝－1，
∴直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0．
培优专练10 隐圆问题
1．设定点M和N，动点为H，若＝2，则动点H的轨迹为( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．抛物线
B [设＝2c，以线段MN的中点O为平面直角坐标系原点，MN所在直线为x轴，
建立如图所示平面直角坐标系，则M，N，
设H，则＝＝x2－c2＋y2＝2，
即x2＋y2＝2＋c2，所以H的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆．
故选B．]
2．(2024·北京大兴三模)已知A(－1，0)，B(1，0)，若点P满足PA⊥PB，则点P到直线l：m(x－)＋n(y－1)＝0的距离的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [由PA⊥PB可得点P的轨迹为以线段AB为直径的圆，圆心为，半径为1，
又直线l：m(x－)＋n(y－1)＝0，其过定点，
故距离的最大值为＋1＝3．]
3．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则＋的最小值为( )
A．36－24 B．48－24
C．36 D．24
A [以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系(图略)，则A，B，
设P，因为＝，所以＝，
两边平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即＋y2＝8，
所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
则＋＝＋y2＋＋y2＝2＋2，
因为x2＋y2－6x＋1＝0，所以＋＝2＋2＝12x，
由y2＝8－≥0，得3－2≤x≤3＋2，
所以36－24≤12x≤36＋24，
由此可知＋的最小值为36－24．
故选A．]
4．已知点P(0，4)，圆M：(x－4)2＋y2＝16，过点N(2，0)的直线l与圆M交于A，B两点，则||的最大值为( )
A．8 B．12
C．6 D．9
B [由题意知，M(4，0)，圆M的半径为4，设AB的中点D(x，y)，则ND⊥MD，即＝0，
又＝(x－2，y)，＝(x－4，y)，
所以(x－2)(x－4)＋y2＝0，即点D的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝1，设其圆心为E，则E(3，0)，半径为1，
所以|PD|的最大值为|PE|＋1＝＋1＝6，
因为||＝2||，所以||的最大值为12．故选B．]
5．(多选)(2024·广东深圳模拟)已知M为直线x－y＋5＝0上的一点，动点N与两个定点O，A的距离之比为2，则( )
A．动点N的轨迹方程为＋y2＝4
B．≥2＋
C．的最小值为4
D．∠AON的最大值为
AC [对于A，设N，由＝2 x2＋y2＝4 ＋y2＝4，故A正确；
对于B，如图，
M为直线x－y＋5＝0上的点，N为⊙C：＋y2＝4上的点，由点到直线的距离公式得，
C到直线x－y＋5＝0的距离为＝，所以－2，故B错误；
对于C，如图，
因为＝，所以＝的最小值为A到直线x－y＋5＝0的距离，由点到直线的距离公式得，＝4，故C正确；
对于D，如图，
过O作圆C的切线，切点为N，此时∠AON最大，因为＝2，＝4，∠ONC＝，所以∠AON＝，故D错误．故选AC．]
6．(2024·浙江杭州模拟)已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若PA2＋PB2＋PC2＝5，则PA的最大值为________．
[以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，
则A，B，C，设P，
由PA2＋PB2＋PC2＝5，得x2＋＋＋y2＋＋y2＝5，
整理得x2＋y2－y－＝0，即x2＋＝，
因此，点P的轨迹是以M为圆心，半径r＝的圆，
PA的最大值等于＋r＝＝．]
7．(2024·四川雅安模拟)如图，已知点P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD内(包含边界)一个动点，若点P到点A的距离是点P到BB1的距离的两倍，则点P的轨迹的长度为________．
[在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得BB1⊥平面ABCD，
因为PB 平面ABCD，所以BB1⊥PB，
则点P到BB1的距离等于点P到点B的距离，即＝2，
在底面ABCD中，以A为原点，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，可得A(0，0)，B(2，0)，
设P(x，y)，由＝2，可得＝2，
整理得＋y2＝，即点P的轨迹是以M为圆心，半径为的，
又由＝＝－2＝，
可得cos ∠BMF＝＝，
所以∠BMF＝，即所对的圆心角为，
所以点P的轨迹的长度为＝．]
7/15培优课10 隐圆问题
在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而利用圆的知识来求解，这类问题称为“隐圆”问题．
类型1 利用圆的定义或垂直关系确定隐圆
【典例1】 (1)(2024·河北邯郸二模)由动点P向圆M：(x＋2)2＋(y＋3)2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若四边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方程为( )
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝2
C．(x－2)2＋(y－3)2＝4
D．(x－2)2＋(y－3)2＝2
(2)在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足||＝||＝＝0，A为线段BC中点，P为圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则||的取值范围是( )
A．[2，8] B．[3，8]
C．[2，7] D．[3，7]
[听课记录]
题目中若已知动点到定点的距离等于定长或者能求出到定点的距离为定值，或者得到动点与两定点的连线的夹角为直角，则可以得到动点的轨迹为圆．
[跟进训练]
1．(2024·山东济南二模)已知圆C：x2＋y2＝1，A，B，若圆C上有且仅有一点P使PA⊥PB，则正实数a的取值为( )
A．2或4 B．2或3
C．4或5 D．3或5
类型2 阿波罗尼斯圆
【典例2】 (2024·广东茂名一模)动点P与两个定点O，A满足＝2，则点P到直线l：mx－y＋4－3m＝0的距离的最大值为________．
[听课记录]
平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，这个圆称作阿波罗尼斯圆．
[跟进训练]
2．(2024·辽宁沈阳二模)已知A，B＝2，若平面内满足到直线l：3x＋4y＋m＝0的距离为1的点P有且只有3个，则实数m＝________．
3．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝k(x＋2)与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若|PA|＝|PT|，则实数k的取值范围是________．
类型3 由距离平方和为定值确定隐圆
【典例3】 (2024·河南九师联盟三模)在平面α内，已知线段AB的长为4，点P为平面α内一点，且＋＝10，则∠PAB的最大值为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
动点 P 满足＋|PB|2是定值的轨迹为圆．在解决与圆相关的综合问题时，要注意利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题．
[跟进训练]
4．设A(2，0)，B(0，4)．若对于直线l：x－y＋m＝0上的任意一点P，都有|PA|2＋|PB|2>18，则实数m的取值范围为( )
A．(1＋2，＋∞)
B．(1－2，1＋2)
C．(－∞，1－2)
D．(－∞，1－2)∪(1＋2，＋∞)
类型4 圆幂定理
【典例4】 (2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系Oxy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
[听课记录]
1．圆幂定理
若|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，则A，B，P，Q四点共圆，反之亦然．
2．圆锥曲线上四点共圆的充要条件
若两条直线li：y－y0＝ki(x－x0)(i＝1，2)与二次曲线Γ：ax2＋by2＋cx＋dy＋e＝0(a≠b)有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是k1＋k2＝0．
可推导圆锥曲线上四点共圆的充要条件为圆锥曲线上四个不同的点组成的四边形对角线的倾斜角互补．
[跟进训练]
5．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线l交C于A，B两点．当直线AD垂直于x轴时，|AF|＝6．
(1)求C的方程；
(2)若线段AB的垂直平分线交C于M，N两点，且∠AMB＋∠ANB＝π，求直线l的方程．
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