培优课12 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题
在圆锥曲线解答题中，我们通常利用根与系数的关系(韦达定理)x1＋x2，x1·x2整体代入的方法来处理类似，x1y2＋x2y1等对称结构问题；对于解题中遇到的类似于，λx1＋μx2，这种系数不对称的结构，发现不能直接应用根与系数的关系，这类问题叫做“非对称韦达定理问题”，处理这类问题常用两种方法，一是和积转换法，二是配凑半代换法．
【典例】 已知点F为椭圆E：＝1的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为k1，k2，证明为定值．
[证明] 法一：积化和(变量y)
由题意得，A(－2，0)，B(2，0)．
设l：x＝ty＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则k1＝， k2＝，
联立
消x得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，且Δ>0，
则
所以ty1y2＝(y1＋y2)，代入得，＝＝＝＝，为定值，得证．
法二：配凑半代换(变量y)
由题意得，A(－2，0)，B(2，0)．
设l：x＝ty＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则k1＝， k2＝，
联立
消x得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，且Δ>0，
则
因此＝＝＝＝，得证．
法三：积化和(变量x)
当直线l斜率存在时，不妨设直线l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
消y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，且Δ＞0，
所以
因此x1x2＝(x1＋x2)－4，
所以＝＝＝，为定值．
当直线l斜率不存在时，即l：x＝1，亦可求得＝．
综上，得证．
法四：配凑半代换(变量x)
当直线l斜率存在时，不妨设直线l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立
消y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，且Δ＞0，
所以
所以＝，
即＝＝＝，为定值．
当直线l的斜率不存在时，即l：x＝1，亦可求得＝．
综上，得证．
在解析几何中，对于非对称韦达定理问题，常采用“局部计算，整体约分”方案求解：
(1)方案一 和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系；
(2)方案二 配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑．
[跟进训练]
已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)若＝2，求直线AB的斜率．
[解] (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
因为点P(1，2)在抛物线上，
所以22＝2p×1，解得p＝2．
故抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1．
(2)法一：由(1)可知F(1，0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线AB的方程可设为x＝ty＋1，
联立
整理得y2－4ty－4＝0，
所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4．
又＝2，
即(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)，
可得－y1＝2y2，即＝－2，
则＝－2＝－，
即－2＝－，
解得t＝±，故kAB＝＝±2．
法二：A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1，0)，＝(1－x1，－y1)，2＝(2x2－2，2y2)，＝2
∵A，B在抛物线上，
由①②③④联立可得x2＝，则y2＝±，
由③－④得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
则kAB＝＝＝＝－＝±2．
培优专练12 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题
1．已知点A，B是椭圆E：＝1的左、右顶点，若直线l：y＝k(x－1)与椭圆E交于M，N两点，求证：直线AM与直线BN的交点在一条定直线上．
[证明] 由条件知，A(－2，0)，B(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立
化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝，
直线AM：y＝(x＋2)，直线BN：y＝(x－2)．
联立得，x＝．
法一：(配凑半代换)
原式＝＝
＝＝＝4．
故直线AM与直线BN的交点在定直线x＝4上．
法二：(和积转换)
分离常数得：x1＋x2＝＝2－，x1x2＝＝1－．
则有x1·x2＝(x1＋x2)－4．
代入得x＝＝2×＝4．
故直线AM与直线BN的交点在定直线x＝4上．
2．已知双曲线C：＝1的离心率为，点在双曲线C上．过C的左焦点F作直线l交C的左支于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若M，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？请说明理由；
(3)点P，直线AP交直线x＝－2于点Q．设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1－k2为定值．
[解] (1)由题意，双曲线C：＝1的离心率为，且点在双曲线C上，
可得解得a2＝8，b2＝8，
所以双曲线C的方程为＝1．
(2)双曲线C的左焦点为F，
当直线l的斜率为0时，此时直线为y＝0，与双曲线C的左支只有一个交点，舍去；
当直线l的斜率不为0时，设l：x＝my－4，
联立方程组消去x，得y2－8my＋8＝0，易得Δ>0，
由于过点F作直线l交C的左支于A，B两点，
设A，B，则y1＋y2＝，y1y2＝<0，可得－1因为＝＝，
则＝＋y1y2＝
＝y1y2－2m＋4＝＋4＝－4，
即≠0，可得MA与MB不相互垂直，
所以不存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上．
(3)证明：由直线AP：y－2＝k1，得Q，
所以k2＝＝，又k1＝kPA＝＝，所以k1－k2＝＝＝，
因为k1＝，所以k1my1＝y1－2，且y1＋y2＝my1y2，
所以k1－k2＝＝＝－2，
即k1－k2为定值．
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在圆锥曲线解答题中，我们通常利用根与系数的关系(韦达定理)x1＋x2，x1·x2整体代入的方法来处理类似，x1y2＋x2y1等对称结构问题；对于解题中遇到的类似于，λx1＋μx2，这种系数不对称的结构，发现不能直接应用根与系数的关系，这类问题叫做“非对称韦达定理问题”，处理这类问题常用两种方法，一是和积转换法，二是配凑半代换法．
【典例】 已知点F为椭圆E：＝1的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为k1，k2，证明为定值．
[听课记录]
在解析几何中，对于非对称韦达定理问题，常采用“局部计算，整体约分”方案求解：
(1)方案一 和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系；
(2)方案二 配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑．
[跟进训练]
已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)若＝2，求直线AB的斜率．
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