培优课11 圆锥曲线中的双切线问题——同构法
我们把过一点作圆锥曲线的两条切线的问题叫做圆锥曲线的双切线问题，这类问题由于涉及双切线、双切点、双斜率，在引参、设点、设直线方程和求解过程中，处理方法特殊技巧性强，对运算能力和方程思想的理解要求较高，是圆锥曲线的一个难点和热点问题．
类型1 彭赛列闭合定理的应用
【典例1】 (2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
[听课记录]
1．双切线问题同构转化后的表达式多角度进行抽象：(1)从方程(根)的角度；(2)从直线(点)的角度．
2．双切线问题的求解思路
已知曲线外一点A1(x0，y0)，向二次曲线C引两条切线A1A2，A1A3，切点分别为A2，A3．设A2(x1，y1)，A3(x2，y2)，
第1步：分别写出切线A1A2，A1A3的方程(注意斜率)；
第2步：联立A1A2，A1A3与曲线C的方程，利用相切条件，得到代数关系式①，②，从而以A1的横或纵坐标为参数，进一步构造点A2，A3的横或纵坐标满足的同构方程③；
第3步：利用方程③中根与系数的关系判断，A2A3与曲线的位置关系，或完成其他问题．
[跟进训练]
1．(2024·山东德州模拟)如图所示，已知椭圆C：＝1与直线l：＝1．点P在直线l上，由点P引椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，O是坐标原点．
(1)若点P为直线l与y轴的交点，求△PAB的面积S；
(2)若OD⊥AB，D为垂足，求证：存在定点Q，使得为定值．
类型2 阿基米德三角形的应用
【典例2】 (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4．
(1)求p的值；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
[听课记录]
对于抛物线C：y2＝2px(p＞0)，设P(x0，y0)(在抛物线C外)，PA，PB是C的两条切线，A(x1，y1)，B(x2，y2)是切点，则阿基米德三角形PAB的面积为S△PAB＝＝．
[跟进训练]
2．(多选)设抛物线C：y＝x2的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则( )
A．PQ⊥x轴 B．PF⊥AB
C．∠PFA＝∠PFB D．|AF|＋|BF|＝2|PF|
3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)作直线l交抛物线于A，B两点．
(1)若l的倾斜角为，求△FAB的面积；
(2)过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2，且直线l1与直线l2相交于点M，问：点M是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．
1/1培优课11 圆锥曲线中的双切线问题——同构法
我们把过一点作圆锥曲线的两条切线的问题叫做圆锥曲线的双切线问题，这类问题由于涉及双切线、双切点、双斜率，在引参、设点、设直线方程和求解过程中，处理方法特殊技巧性强，对运算能力和方程思想的理解要求较高，是圆锥曲线的一个难点和热点问题．
类型1 彭赛列闭合定理的应用
【典例1】 (2021·全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M(2，0)，且⊙M与l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
[解] (1)依题意，设抛物线C：y2＝2px(p＞0)，P(1，y0)，Q(1，－y0)，
因为OP⊥OQ，所以＝＝1－2p＝0，所以2p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝x．
因为M(2，0)，⊙M与x＝1相切，所以半径为1，
所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1．
(2)法一(方程根的角度)：
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x＝1或x＝3，
若A1A2方程为x＝1，根据对称性不妨设A1(1，1)，
则过A1与⊙M相切的另一条直线方程为y＝1，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意；
若A1A2方程为x＝3，根据对称性不妨设
A1(3，)，A2(3，－)，
则过A1与⊙M相切的直线A1A3的方程为y－＝(x－3)，
又＝＝＝＝，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此时直线A1A3，A2A3关于x轴对称，
所以直线A2A3与⊙M相切．
若直线A1A2，A1A3，A2A3斜率均存在，
则＝＝＝，
所以直线A1A2的方程为y－y1＝(x－x1)，
整理得x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
同理直线A1A3的方程为x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
因为A1A2与⊙M相切，所以＝1，
整理得＝0，①
A1A3与⊙M相切，同理＝0．②
所以y2，y3为方程＝0的两根，③
y2＋y3＝，y2·y3＝，
M到直线A2A3的距离为
＝＝＝＝1，
所以直线A2A3与⊙M相切．
综上所述，若直线A1A2，A1A3与⊙M相切，则直线A2A3与⊙M相切．
法二(直线(点)的角度)：
设＝＝＝x3．
当x1＝x2时，则A1A2方程为x＝1或x＝3，
若A1A2方程为x＝1，根据对称性不妨设A1(1，1)，
则过A1与⊙M相切的另一条直线方程为y＝1，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意；
若A1A2方程为x＝3，根据对称性不妨设
A1(3，)，A2(3，－)，则过A1与⊙M相切的直线A1A3的方程为y－＝(x－3)，
又＝＝＝＝，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此时直线A1A3，A2A3关于x轴对称，所以直线A2A3与⊙M相切．
当x1≠x2时，直线A1A2的方程为y－y1＝·(x－x1)，即y＝．
由直线A1A2与⊙M相切得＝1，
化简得2y1y2＋(x1－1)x2－x1＋3＝0，
同理，由直线A1A3与⊙M相切得
2y1y3＋(x1－1)x3－x1＋3＝0．
因为方程2y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0同时经过点A2，A3，所以A2A3的直线方程为2y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0，
点M到直线A2A3的距离为＝＝1．
所以直线A2A3与⊙M相切．
综上所述，若直线A1A2，A1A3与⊙M相切，则直线A2A3与⊙M相切．
1．双切线问题同构转化后的表达式多角度进行抽象：(1)从方程(根)的角度；(2)从直线(点)的角度．
2．双切线问题的求解思路
已知曲线外一点A1(x0，y0)，向二次曲线C引两条切线A1A2，A1A3，切点分别为A2，A3．设A2(x1，y1)，A3(x2，y2)，
第1步：分别写出切线A1A2，A1A3的方程(注意斜率)；
第2步：联立A1A2，A1A3与曲线C的方程，利用相切条件，得到代数关系式①，②，从而以A1的横或纵坐标为参数，进一步构造点A2，A3的横或纵坐标满足的同构方程③；
第3步：利用方程③中根与系数的关系判断，A2A3与曲线的位置关系，或完成其他问题．
[跟进训练]
1．(2024·山东德州模拟)如图所示，已知椭圆C：＝1与直线l：＝1．点P在直线l上，由点P引椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，O是坐标原点．
(1)若点P为直线l与y轴的交点，求△PAB的面积S；
(2)若OD⊥AB，D为垂足，求证：存在定点Q，使得为定值．
[解] (1)由题意知P，过点P与椭圆相切的直线斜率存在，
设切线方程为y＝kx＋3，
联立
可得x2＋12kx＋12＝0，(*)
所以Δ＝144k2－48＝48＝0，解得k＝±1，即切线方程为y＝±x＋3．
所以PA⊥PB，
将k＝1代入方程(*)可得x2＋4x＋4＝0，可得x＝－2，此时y＝1，
不妨设点A，同理可得点B，则＝＝＝2，
因此，△PAB的面积S＝＝4．
(2)证明：设A，B，
因为椭圆＝1在其上一点M处的切线方程为＝1．
则切线PA的方程为＝1，切线PB的方程为＝1．
设P，则
所以，点A，B的坐标满足方程＝1，即mx＋2ny－6＝0，
所以直线AB的方程为mx＋2ny－6＝0．
因为点P在直线＝1上，所以m＋2n＝6，则2n＝6－m，
所以直线AB的方程可表示为mx＋y－6＝0，即m＋6＝0．
令可得故直线AB过定点T．
因为OD⊥AB，D，T在直线AB上，OD⊥DT，
故点D在以OT为直径的圆上，
当点Q为线段OT的中点时，＝|OT|＝，
此时点Q的坐标为．
故存在定点Q，使得为定值．
【教师备选资源】
已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，且离心率为．F为椭圆E的左焦点，点P为直线l：x＝3上的一点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，AF，BF．
(1)求证：直线AB过定点M，并求出定点M的坐标；
(2)记△AFM，△BFM的面积分别为S1和S2，当|S1－S2|取最大值时，求直线AB的方程．
参考结论：点Q(x0，y0)为椭圆＝1上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为＝1．
[解] (1)证明：由题意可得b＝＝，又因为a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝2，椭圆E的方程为＝1．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，
由参考结论知过点P在A处的椭圆E的切线方程为＝1，同理，过点P在B处的椭圆E的切线方程为＝1．
因为点P在直线PA，PB上，
所以
所以直线AB的方程为＝1，则直线AB过定点M(2，0)．
(2)设直线AB的方程为x＝ty＋2，
当t＝0时，x＝2，此时|S1－S2|＝0，当t≠0时，
联立方程得(t2＋3)y2＋4ty－2＝0，Δ＝16t2＋8(t2＋3)＞0，
故y1＋y2＝－，y1y2＝－，
|S1－S2|＝2||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|＝＝＝，
当且仅当|t|＝，即t＝±时取等号，
此时直线AB的方程为x＝±y＋2．
类型2 阿基米德三角形的应用
【典例2】 (2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4．
(1)求p的值；
(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
[解] (1)由题意知M(0，－4)，F，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2．
(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设，，直线AB的方程为y＝kx＋b，
联立消去y得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b>0， (※)
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以|AB|＝|x1－x2|＝
＝4．
因为x2＝4y，即y＝，所以y′＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为＝(x－x1)，即y＝．
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝，
联立则
即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，
所以4k2＋(4－b)2＝1， ①
且－1≤2k≤1，－1≤4－b≤1，
所以－≤k≤，3≤b≤5，满足(※)式．
设点P到直线AB的距离为d，则d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝4．
由①得，k2＝＝，
令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5．
因为t＝在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20．
对于抛物线C：y2＝2px(p＞0)，设P(x0，y0)(在抛物线C外)，PA，PB是C的两条切线，A(x1，y1)，B(x2，y2)是切点，则阿基米德三角形PAB的面积为S△PAB＝＝．
[跟进训练]
2．(多选)设抛物线C：y＝x2的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则( )
A．PQ⊥x轴 B．PF⊥AB
C．∠PFA＝∠PFB D．|AF|＋|BF|＝2|PF|
AC [对于A选项：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，Q，y＝x2，y′＝2x，
过点A的切线为：y－y1＝2x1(x－x1)，①
过点B的切线为：y－y2＝2x2(x－x2)，②
①－②得y1－y2＝2x1x－2x2x，
化简可得＝2x(x1－x2)，
x0＝，PQ⊥x轴，A选项正确；
设A(0，0)，B(1，1)，F，
过A点的切线为y＝0，过B点的切线为y－1＝2(x－1)，交点为P，
所以kPF＝－，kAB＝1，kPF·kAB≠－1，所以PF不垂直于AB，B选项错误；
由B可知，|AF|＋|BF|＝＝，2|PF|＝2＝，
所以|AF|＋|BF|≠2|PF|，D选项错误；
作抛物线准线的垂线AA′，BB′，连接A′P，B′P，PF，AF，BF，
F，A′，kPA＝y′|x＝，
则kFA′＝－，kPA＝2x1，
显然kFA′·kPA＝－1，所以FA′⊥PA．
又由抛物线定义，得|AA′|＝|AF|，故知PA是线段FA′的中垂线，得到|PA′|＝|PF|，则∠PA′A＝∠PFA，
同理可证|PB′|＝|PF|，∠PB′B＝∠PFB，
所以|PA′|＝|PB′|＝|PF|，即∠PA′B′＝∠PB′A′，
所以∠PA′A＝∠PA′B′＋90°＝∠PB′A′＋90°＝∠PB′B，
即∠PFA＝∠PFB，C选项正确．故选AC．]
3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(2，0)作直线l交抛物线于A，B两点．
(1)若l的倾斜角为，求△FAB的面积；
(2)过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2，且直线l1与直线l2相交于点M，问：点M是否在某定直线上？若在，求该定直线的方程，若不在，请说明理由．
[解] (1)∵l的倾斜角为，∴k＝tan ＝1，
∵直线l过点P(2，0)，∴直线l的方程为y＝x－2，即x＝y＋2，
联立直线l与抛物线方程化简可得y2－4y－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16＋4×8＝48>0，
∴＝＝＝4，
又∵点F(1，0)到直线l的距离是d＝＝，
∴S△FAB＝·d＝×4＝2．
(2)设l的方程为x＝my＋2，
联立直线l与抛物线方程化简可得y2－4my－8＝0，
则Δ＝16m2＋32>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
∴x1x2＝＝4，
不妨设点A(x1，y1)在x轴上方，点B(x2，y2)在x轴下方，
当y≥0时，y＝2，求导可得y′＝，∴＝，
∴抛物线C上过点A的切线l1的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1①，
当y<0时，y＝－2，求导可得y′＝－，
∴＝－，
∴抛物线C上过点B的切线l2的方程为y－y2＝－(x－x2)，即y＝－x＋＋y2②，
联立①②可得，x＝＋y2－y1，
∵y2＝－2，y1＝2，
∴x＝－2－2，
∵x1x2＝4，∴x＝－，
又∵≠0，∴x＝－2，即M的横坐标恒为－2，
∴点M在定直线x＝－2上．
【教师备选资源】
已知抛物线H：x2＝2py(p为常数，p＞0)．
(1)若直线l：y＝kx－2pk＋2p与H只有一个公共点，求k；
(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学家卡斯特里奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了德卡斯特里奥算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出抛物线；反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：＝＝．
[解] (1)将y＝kx－2pk＋2p代入x2＝2py，
化简得x2－2pkx＋4p2(k－1)＝0，(*)
方程(*)的判别式Δ＝4p2k2－4(4p2k－4p2)＝0，
化简得k2－4k＋4＝0，即k＝2．
(2)证明：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，E(xE，yE)，F(xF，yF)，
设抛物线x2＝2py在A点处的切线方程为y－yA＝kA(x－xA)，
由消去y并化简得
x2－2pkAx＋2pkAxA－2pyA＝0，
Δ＝－4(2pkAxA－2pyA)＝－8pkAxA＋8pyA＝0，
－2xAkA＋2yA＝0，
＝＝0，
解得kA＝，故切线方程为
y－yA＝(x－xA)＝，py－pyA＝，
＝＝，
即2py＝，
同理可求得抛物线x2＝2py上过点B，C的切线方程分别为：
2py＝，2py＝，
由过A，B，C的切线方程两两联立，可以求得交点D，E，F的横坐标分别为：
xD＝，xE＝，xF＝，
注意到结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，得＝＝＝，命题得证．
培优专练11 圆锥曲线中的双切线问题——同构法
1．(2024·云南师大附中模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，上、下顶点与其中一个焦点围成的三角形的面积为，过点P作椭圆C的两条切线，切点为A，B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求直线AB的方程；
(3)过点P作直线l交椭圆C于M，N两点，交直线AB于点Q，求的值．
[解] (1)由题意可知，＝，①
又·2b·c＝，所以bc＝，②
由①②及a2＝b2＋c2，可得a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＝1．
(2)先证：过椭圆＝1上一点A的切线方程为＝1，
证明如下：当过椭圆上一点A的切线斜率存在时，
设切线方程为y＝kx＋m，
联立 可得x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
因为直线与椭圆相切，
所以Δ＝－4＝0，
化简可得4k2－m2＋3＝0，
所以x1＝＝，代入y＝kx＋m可得，
y1＝kx1＋m＝k·＋m＝，
于是k＝－＝－·m＝－＝－，
故切线方程为y－y1＝－，即 ＝，
又＝12，故切线PA的方程为＝1，
当过椭圆上一点A的切线斜率不存在时，切线方程为x＝±2，满足题意．
所以过椭圆＝1上一点A的切线方程为＝1，
故切线PA的方程为＝1，
同理，切线PB的方程为＝1，又因为切线过点P，
所以＝1，＝1，所以x1＋y1＝－1，x2＋y2＝－1，故直线AB的方程为x＋y＋1＝0．
(3)由题意可知直线l的斜率存在，且k>0，设直线l的方程为y＝k－3，
联立椭圆C的方程＝1，
得x2＋x＋64k2－96k＋24＝0，Δ＞0，令M，N，
所以x3＋x4＝－，x3·x4＝．
令Q，解方程组 得x0＝．
又＝＝
＝＝＝2，
所以＝2．
2．(2024·江苏泰州模拟)已知抛物线E：x2＝2y，焦点为F，过F作y轴的垂线l0，点P在x轴下方，过点P作抛物线E的两条切线l1，l2，l1，l2分别交x轴于A，B两点，l1，l2分别交l0于C，D两点．
(1)若l1，l2与抛物线E相切于C，D两点，求点P的坐标；
(2)证明：△PAB的外接圆过定点；
(3)求△PCD面积S的最小值．
[解] (1)∵l1，l2与抛物线E相切于C，D两点，
设C在左侧，则C，D，
由x2＝2y得y＝x2，所以y′＝x，
所以l1的斜率为－1，l2的斜率为1，
此时l1的方程为y－＝－，即x＋y＋＝0．
l2的方程为y－＝x－1，即x－y－＝0，联立 得P．
(2)设过P的两条切线分别与抛物线切于，
由(1)知直线PQ的斜率为x1，所以直线PQ的方程为＝x1，即y＝，
直线PR的斜率为x2，直线PR的方程为＝x2，即y＝，
所以P且A，B，
设△PAB外接圆的圆心为M，则M在AB的垂直平分线上，而AB的中点为，所以m＝，
设△PAB外接圆方程为＋＝＋n2，又外接圆过P，所以＋＝＋n2，
所以－nx1x2＝0，所以n＝，
所以＋＝＋，
整理得x2－x＋y2－y＋＝0，
所以x2＋y2－x＋＝0，
令
即所以△PAB的外接圆过定点．
(3)CD：y＝，所以C，D，
所以＝
＝＝，
P到CD的距离为d＝，
所以S△PCD＝，
设x1x2＝－t2，t>0，＝r，由＝＋4x1x2＝r2－4t2≥0，
r≥2t，当且仅当x1＋x2＝0时等号成立．
所以S△PCD＝＝，
令f ＝，f ′＝＝，
f 在上单调递减，在上单调递增，
所以f ≥f ＝，所以△PCD面积S的最小值为．
1/1
