培优课1 平面向量数量积的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围是高考的热点与难点问题，主要考查向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的常用思路有两种：一是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题；二是借助平面向量“数”与“形”的双重身份，数形结合解决，转化中注意极化恒等式的应用．
类型1 向量系数的最值、范围
【典例1】 (1)(2024·河北沧州模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，过点G作直线分别交AB，AC于点M，N，且＝x＝y，则的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A．[－1，3] B．[－1，5]
C．[－7，3] D．[5，7]
(1)A (2)A [(1)因为G是AD的中点，且＝x，＝y，
所以＝)＝(x＋y)．
因为M，G，N三点共线，所以(x＋y)＝1，
所以＝(x＋y)·
＝＝1，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立．故选A．
(2)∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1，
a·b＝2×1×cos θ＝2cos θ，
∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，
∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，
∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，
整理可得13－λ2＋(8－4λ)cos θ≥0恒成立，
∵cos θ∈[－1，1]，
∴解得－1≤λ≤3．]
利用共线向量定理及推论
(1)a∥b a＝λb(b≠0)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线 λ＋μ＝1．
[跟进训练]
1．(1)(2024·广东深圳一模)设点A(－2，0)，B，C(0，1)，若动点P满足||＝2||，且＝λ＋μ，则λ＋2μ的最大值为________．
(2)如图，点C在半径为1，圆心角为的扇形OAB的上运动．已知＝x＋y，则当∠AOC＝时，x＋y＝________；x＋y的最大值为________．
(1) (2) 2 [(1)设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝，
由||＝2||，得＝2，
整理，得x2＋y2＝1，
又＝(x＋2，y)，＝＝(2，1)，
代入＝λ＋μ，得
有x＋y＋2＝λ＋3μ＝(λ＋2μ)，
所以λ＋2μ＝(x＋y＋2)，
由1＝x2＋y2≥2xy，得xy≤，
所以(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≤1＋1＝2，
得x＋y≤，
当且仅当x＝y＝时等号成立，
所以λ＋2μ＝(x＋y＋2)≤＋2)＝．
即λ＋2μ的最大值为．
(2)以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O作OA的垂线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1，0)，B＝(1，0)，＝，
当∠AOC＝时，C，
则＝，
由＝x＋y，
得＝x(1，0)＋y，
即解得
故x＋y＝．
设∠AOC＝α，
则＝(cos α，sin α)，
由＝x＋y，
得(cos α，sin α)＝x(1，0)＋y，
即
解得
故x＋y＝cos α＋sin α＝2sin ，
由于0≤α≤，故当α＝时，2sin 取最大值为2，即x＋y的最大值为2．
类型2 求向量模、夹角的最值(范围)
【典例2】 (1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)(2024·河北石家庄二模)在平行四边形ABCD中，＝，λ∈[，3]，则cos ∠BAD的取值范围是( )
A．
C．
(1)C (2)A [(1)可设e＝(1，0)，a＝(x，y)，
则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)
＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，
则1≤x≤5，－2≤y≤2，
|a＋e|＝＝，
当x＝5时，取得最大值6，
即|a＋e|的最大值为6．
(2)设与同方向的单位向量＝，与同方向的单位向量＝，与同方向的单位向量＝，由题意，得＋3e2＝λe3，
所以(＋3e2)2＝，即＝，
所以1＋6×1×1×cos ∠BAD＋9＝λ2，
所以cos ∠BAD＝，
因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]，
所以∈，
即cos ∠BAD∈．故选A．]
1．求模的范围或最值的常见方法
(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题；
(2)数形结合；
(3)坐标法．
2．求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系．
[跟进训练]
2．(1)(2024·河北保定期末)若|a|＝2，|a－b|＝1，则|b|的最大值为( )
A．3 B．5
C．3 D．2
(2)若平面向量a，b，c满足|c|＝2，a·c＝2，b·c＝6，a·b＝2，则a，b夹角的取值范围是________．
(1)A (2) [(1)法一：设a与a－b的夹角为θ．因为|b|＝|(a－b)－a|，
得|b|2＝|(a－b)－a|2＝(a－b)2－2(a－b)·a＋a2＝|a－b|2－2|a－b|·|a|cos θ＋|a|2
＝1－4cos θ＋4＝5－4cos θ，
当cos θ＝－1时，|b|2有最大值9，|b|的最大值为3．故选A．
法二：因为|a|＝2，如图设a＝，b＝，
由|a－b|＝1知点B在以A为圆心1为半径的圆上，
当点B与O，A在一条直线，位于图中B′位置时，|b|的最大值为3．
故选A．
(2)设c＝(2，0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a与b的夹角为θ，
则a·c＝2x1＝2 x1＝1，
b·c＝2x2＝6 x2＝3，
∴a＝(1，y1)，b＝(3，y2)，
a·b＝3＋y1y2＝2 y1y2＝－1 y2＝－，
∴cos θ＝＝
＝＝，
当且仅当y1＝±时，等号成立，
显然cos θ＞0，即0＜cos θ≤，
∵0≤θ≤π，∴≤θ＜，
因此，a，b夹角的取值范围是．]
类型3 求向量数量积的最值(范围)
【典例3】 (1)(2024·宁夏一模)窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为( )
A． B．0
C．－2 D．－4
(2)(2024·辽宁抚顺三模)太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆弧上，P是大圆上一动点，则的最小值为________．
(1)C (2)0 [(1)法一：(坐标法)设〈〉＝θ，
当P与A重合时，＝0；
当P在线段AB(除A)、线段BC、线段CD、线段DE、线段EF(除F)点上运动时，
0≤θ<，cos θ>0，所以＝||·||·cos θ>0，
当P与F重合时，θ＝，所以＝||·||·cos θ＝0．
以A为原点，AB所在直线，AF所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，根据正八边形的性质可知AF＝2＋×2＝2＋2，则F(0，2＋2)，G(－，2＋)，H(－)，B(2，0)，
直线GF的方程为y＝x＋2＋2，直线GH的方程为x＝－，直线AH的方程为y＝－x，
当P在线段GF(除F)上运动时，设P(x，x＋2＋2)(－≤x<0)，
所以＝(x，x＋2＋2)·(2，0)＝2x∈[－2，0)，
当P在线段GH上运动时，设P(－，t)(≤t≤＋2)，
所以＝(－，t)·(2，0)＝－2，
当P在线段AH(除A)上运动时，设P(x，－x)(－≤x<0)，
所以＝(x，－x)·(2，0)＝2x∈[－2，0)．
综上所述，的最小值为－2．故选C．
法二：(数量积的几何意义)设〈〉＝θ，
则＝||·||cos θ，结合数量积的几何意义可知，当点P在GH上运动时， ||cos θ最小，所以的最小值为2×2×＝－2．
(2)连接PO，可得＝()·()＝－＝4－，
显然当最大，即||取得最大值2时，取得最小值0．]
向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．
(3)转化：利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
[跟进训练]
3．(1)(2024·北京朝阳一模)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点P在线段BC上．当取得最小值时，PA＝( )
A． B． C． D．
(2)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则的取值范围是________．
(1)B (2)[39，55] [(1)如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
由AB＝AC＝2，BC＝2，则OA＝＝1，
所以A(0，1)，B(－，0)，C(，0)，
设P(x，0)，－≤x≤，
则＝(－x，1)，＝(－－x，0)，
则＝－x·(－－x)＝x2＋x＝－，
当x＝－时，取得最小值，此时＝，PA＝＝．
故选B．
(2)由向量极化恒等式知
＝()·()＝||2－||2＝||2－9．
又△ABC是边长为8的等边三角形，
所以当点P位于点A或点C时，||取最大值8．
当点P位于AC的中点时，||取最小值，
即||min＝8sin ＝4，
所以||的取值范围为[4，8]，
所以的取值范围为[39，55]．]
培优专练1 平面向量数量积的最值与范围问题
1．(2024·湖北黄冈二模)已知e为单位向量，向量a满足a·e＝3，|λe－a|＝1，则|a|的最大值为( )
A．9 B．3 C． D．10
C [根据条件得(a－λe)2＝|a|2＋λ2－2a·eλ＝λ2－6λ＋|a|2＝1，
得到|a|2＝－(λ2－6λ－1)＝－(λ－3)2＋10≤10，
所以|a|≤，即|a|的最大值为．
故选C．]
2．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则的最小值为( )
A．4 B．6
C．8 D．9
C [由题意得，＝＝(a－1，1)，
＝＝(－b－1，2)，
∵A，B，C三点共线，
∴＝λ且λ∈R，
则 可得2a＋b＝1，
∴＝(2a＋b)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当b＝2a＝时，等号成立，
∴的最小值为8．
故选C．]
3．(2024·湖北武汉四调)点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则的最大值为( )
A．2 B．
C．3 D．
C [如图，分别取AB，DE的中点Q，R，连接PQ，QR，
则由题知，QA＝，BD2＝DC2＋BC2－2DC×BC×cos ∠BCD＝1＋1－2×1×1×cos 120°＝3，即BD＝，
所以QD＝＝＝＝，
由图可知当P运动到D或E时PQ最大，
所以＝()·()＝()·()
＝－＝－－＝3，
所以的最大值为3．故选C．]
4．已知单位向量a，b，若对任意实数x，|xa＋b|≥恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为( )
A．
C．
B [a，b是单位向量，由|xa＋b|≥得
(xa＋b)2≥ x2＋2(a·b)x＋≥0，
依题意，不等式x2＋2(a·b)x＋≥0对任意实数x恒成立，则Δ＝4(a·b)2－1≤0，
解得－≤a·b≤，
而cos 〈a，b〉＝＝a·b，
则－≤cos 〈a，b〉≤，
又0≤〈a，b〉≤π，函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，因此≤〈a，b〉≤，
所以向量a，b的夹角的取值范围为．故选B．]
5．如图，边长为2的等边三角形ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任一点．若＝x＋y，则2x＋2y的最大值为( )
A． B．2
C． D．1
A [法一：(坐标法)以点O为坐标原点，过点O平行于AB的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知可得A，B，C，
点P在以点O为圆心，为半径的圆上，
所以可设P，0≤θ＜2π，
则＝＝(2，0)，＝(1，)，由＝x＋y，可得2x＋y＝cos θ＋1，y＝sin θ＋，
∴2x＋2y＝cos θ＋1＋sin θ＋＝sin ，∵0≤θ＜2π，∴≤θ＋＜，
∴当θ＝时，2x＋2y的最大值为．故选A．
法二：(等和线法)如图，作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设＝λ＋μ，则λ＋μ＝1．
因为BC∥EF，所以设＝＝k，则k∈，
所以＝k＝k＝λ＋μ＝λk＋μk，所以x＝λk，y＝μk，
所以2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k∈．故选A．]
6．(多选)(2024·山东潍坊二模)已知向量a，b，c为平面向量，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，|c－a|＝，则下列说法中正确的是( )
A．1≤|c|≤
B．(c－a)·(c－b)的最大值为
C．－1≤b·c≤1
D．若c＝λa＋μb，则λ＋μ的最小值为1－
BCD [对于A，设a＝(1，0)，b＝(0，2)，c＝(x，y)，根据|c－a|＝有＝，
即(x－1)2＋y2＝，是圆心为(1，0)，半径为的圆，又|c|＝的几何意义为原点到圆(x－1)2＋y2＝上点(x，y)的距离，则≤|c|≤，故A错误；
对于B，(c－a)·(c－b)＝(x－1)x＋y(y－2)＝x2－x＋y2－2y＝＋(y－1)2－，则转化为求圆(x－1)2＋y2＝上的点到的距离最大值，
为－＝－＝，故B正确；
对于C，b·c＝2y，因为－≤y≤，故－1≤b·c≤1，故C正确；
对于D，因为(x－1)2＋y2＝，故x＝＋1，y＝，
又因为c＝λa＋μb，故λ＝x，μ＝，
λ＋μ＝＋1＋＝＋1＝sin (θ＋φ)＋1(其中tan φ＝2)，
故当sin (θ＋φ)＝－1时，λ＋μ取最小值1－，故D正确．故选BCD．]
7．(2024·湖南长沙模拟)已知正三角形ABC的边长为2，点P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围为________．
[3－2，3＋2] [由已知，点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．取线段AB的中点M，
则＝()·()＝＝||2－||2＝||2－1，
又因为|PM|∈[|CM|－1，|CM|＋1]，|CM|＝，
所以|PM|∈[－1，＋1]，
则∈[3－2，3＋2]．
11/14培优课1 平面向量数量积的最值与范围问题
平面向量中的最值与范围是高考的热点与难点问题，主要考查向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的常用思路有两种：一是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题；二是借助平面向量“数”与“形”的双重身份，数形结合解决，转化中注意极化恒等式的应用．
类型1 向量系数的最值、范围
【典例1】 (1)(2024·河北沧州模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，过点G作直线分别交AB，AC于点M，N，且＝x＝y，则的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．
(2)设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A．[－1，3] B．[－1，5]
C．[－7，3] D．[5，7]
[听课记录]
利用共线向量定理及推论
(1)a∥b a＝λb(b≠0)．
(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线 λ＋μ＝1．
[跟进训练]
1．(1)(2024·广东深圳一模)设点A(－2，0)，B，C(0，1)，若动点P满足||＝2||，且＝λ＋μ，则λ＋2μ的最大值为________．
(2)如图，点C在半径为1，圆心角为的扇形OAB的上运动．已知＝x＋y，则当∠AOC＝时，x＋y＝________；x＋y的最大值为________．
类型2 求向量模、夹角的最值(范围)
【典例2】 (1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
(2)(2024·河北石家庄二模)在平行四边形ABCD中，＝，λ∈[，3]，则cos ∠BAD的取值范围是( )
A．
C．
[听课记录]
1．求模的范围或最值的常见方法
(1)通过|a|2＝a2转化为实数问题；
(2)数形结合；
(3)坐标法．
2．求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系．
[跟进训练]
2．(1)(2024·河北保定期末)若|a|＝2，|a－b|＝1，则|b|的最大值为( )
A．3 B．5
C．3 D．2
(2)若平面向量a，b，c满足|c|＝2，a·c＝2，b·c＝6，a·b＝2，则a，b夹角的取值范围是________．
类型3 求向量数量积的最值(范围)
【典例3】 (1)(2024·宁夏一模)窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为( )
A． B．0
C．－2 D．－4
(2)(2024·辽宁抚顺三模)太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆弧上，P是大圆上一动点，则的最小值为________．
[听课记录]
向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．
(3)转化：利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
[跟进训练]
3．(1)(2024·北京朝阳一模)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点P在线段BC上．当取得最小值时，PA＝( )
A． B． C． D．
(2)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则的取值范围是________．
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