解答三角函数问题
阅卷案例 四字解题
(2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c． 读 a2＋b2－c2＝ab，sin C＝cos B △ABC的面积为3＋，求c
想 余弦定理及其推论 三角形的面积公式
算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面积
思 转化与化归 函数与方程
规范解答 满分心得
[解] (1)因为 所以在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos C＝＝＝，………………………………1分 ………………2分 从而sin C＝，……………………………………………3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，……………………4分 ………………5分 (2)因为B＝，C＝，从而A＝π－＝，…………6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝＝， ……………………………………………………………7分 由正弦定理，得＝＝，……………………8分 从而a＝c＝c，b＝c＝c，……10分 所以S△ABC＝ab sin C＝c×c×＝c2，…11分 又△ABC的面积为3＋，故c2＝3＋，即c2＝8， ……………………………………………………………12分 所以c＝2．………………………………………………13分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列出＝＝，即得1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分， 无则没分， 如第(1)问中说明C∈(0，π)，从而C＝，不说明C∈(0，π)，要扣分；同理，不说明B∈(0，π)，要扣分． 得计算分：计算准确是得满分的保证． 1．高考阅卷采用踩点计分的方式，尽量“能得尽得”！ 2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结解三角形的求解策略．
§1 三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换
【备考指南】 三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换是高考的三个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，数形结合是研究三角函数性质的重要方法．
基础考点1 三角函数的概念、诱导公式及三角恒等变换
【典例1】 (1)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝( )
A． B．
C．1 D．
(2)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为( )
A．
B．
C．
D．
[听课记录]
三角恒等变换的目的和策略
(1)目的：统一角、统一函数、统一结构．
(2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式．
提醒：匀速圆周运动是重要的数学模型之一．
1．(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3，4)，则( )
A．cos 2θ＝－ B．tan 2θ＝－
C．cos ＝ D．tan ＝
2．(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝( )
A． B．
C． D．
3．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________．
5．(tan10°－)·＝________．
基础考点2 三角函数的图象与解析式
【典例2】 (1)(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________．
[听课记录]
由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)最值定A，B：A＝，B＝．
(2)T定ω：由 T＝，可得ω＝．
(3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
1．(多选)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图，则( )
A．b＝2
B．ω＝4
C．φ＝
D．f (x)的图象关于点对称
2．(2024·四川攀枝花三模)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y＝sin2x的图象关于原点对称，则m的最小值是( )
A． B．
C． D．
3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
能力考点 三角函数的性质及应用
【典例3】 (1)(2024·北京高考)设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f (x)是偶函数；
②f (x)在区间上单调递增；
③f (x)在区间[－π，π]上有4个零点；
④f (x)的最大值为2．
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
(3)(2024·北京高考)在平面直角坐标系Oxy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________．
[听课记录]
研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解．
1．(2024·山东济宁三模)已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f (x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
2．(多选)(2024·广东汕头一模)已知函数f (x)＝cos 2x·cos ，则( )
A．曲线y＝f (x)的对称轴为直线x＝kπ－，k∈Z
B．f (x)在区间上单调递增
C．f (x)的最大值为
D．f (x)在区间上的所有零点之和为8π
3．[高考变式]已知偶函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________．
4．(2023·四省联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，|φ|<，且f ＝f ．
(1)求y＝f (x)图象的一条对称轴；
(2)若f ＝，求φ．
1/1解答三角函数问题
阅卷案例 四字解题
(2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c． 读 a2＋b2－c2＝ab，sin C＝cos B △ABC的面积为3＋，求c
想 余弦定理及其推论 三角形的面积公式
算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面积
思 转化与化归 函数与方程
规范解答 满分心得
[解] (1)因为 所以在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos C＝＝＝，………………………………1分 ………………2分 从而sin C＝，……………………………………………3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，……………………4分 ………………5分 (2)因为B＝，C＝，从而A＝π－＝，…………6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝＝， ……………………………………………………………7分 由正弦定理，得＝＝，……………………8分 从而a＝c＝c，b＝c＝c，……10分 所以S△ABC＝ab sin C＝c×c×＝c2，…11分 又△ABC的面积为3＋，故c2＝3＋，即c2＝8， ……………………………………………………………12分 所以c＝2．………………………………………………13分 得步骤分：得分点的步骤有则给分，无则没分，如第(2)问，只要列出＝＝，即得1分． 得关键分：解题过程中的关键点，有则给分， 无则没分， 如第(1)问中说明C∈(0，π)，从而C＝，不说明C∈(0，π)，要扣分；同理，不说明B∈(0，π)，要扣分． 得计算分：计算准确是得满分的保证． 1．高考阅卷采用踩点计分的方式，尽量“能得尽得”！ 2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结解三角形的求解策略．
§1 三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换
【备考指南】 三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换是高考的三个核心命题点，难度中等或偏下．其中三角函数的诱导公式与和(差)公式是化简、求值的根本，三角函数的概念是建立三角函数模型的依据，数形结合是研究三角函数性质的重要方法．
基础考点1 三角函数的概念、诱导公式及三角恒等变换
【典例1】 (1)(2024·九省联考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝( )
A． B．
C．1 D．
(2)(多选)(2023·四省联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为2 rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为5 rad/s，起点为射线y＝－x与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为( )
A．
B．
C．
D．
(1)A (2)ABD [(1)由题意tan 2θ＝－4tan ，
得＝ －4 (tan θ＋1)2＝2tan θ，
则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，
因为θ∈，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，
所以＝＝＝＝．
故选A．
(2)由题意，点Q的初始位置Q1的坐标为，设点P的初始位置为P1，则∠Q1OP1＝，设t时刻两点重合，则5t－2t＝＋2kπ，
即t＝π，
此时点Q，
即Q，
当k＝0时，Q，故A正确；
当k＝1时，Q，
即Q，故B正确；
当k＝2时，Q，
即Q，故D正确．
由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合．故选ABD．]
三角恒等变换的目的和策略
(1)目的：统一角、统一函数、统一结构．
(2)策略：复角化单角、弦切互化、万能公式及升降幂公式．
提醒：匀速圆周运动是重要的数学模型之一．
1．(多选)(2024·广东佛山一模)已知角θ的终边过点P(3，4)，则( )
A．cos 2θ＝－ B．tan 2θ＝－
C．cos ＝ D．tan ＝
ABD [因为角θ的终边过点P(3，4)，
所以cos θ＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝，
所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－，
tan2θ＝＝＝－，故A和B正确，
因为2kπ<θ<2kπ＋(k∈Z)，
所以kπ<所以tan>0，但cos >0或cos <0均满足题意，故C错误；
由tan θ＝＝，得2tan2＋3tan －2＝0，解得tan ＝－2(舍去)或tan ＝，故D正确．故选ABD．]
2．(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β＝( )
A． B．
C． D．
A [因为cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，
所以解得
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝．故选A．]
3．(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，则( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B [当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，
但sinα＋cos β≠0，
即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0；
当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，
即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1．
综上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cos β＝0成立的必要不充分条件．故选B．]
4．(2024·浙江宁波十校联考)若sin ＝，则cos ＝________．
[令θ－＝t，则sin t＝，
所以cos ＝cos＝cos (2t＋π)＝－cos 2t＝2sin2t－1＝2×－1＝．]
5．(tan10°－)·＝________．
－2 [(tan 10°－)·＝(tan 10°－tan 60°)·
＝＝＝－＝－2．]
【教师备选资源】
1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( )
A．－3m B．－ C． D．3m
A [因为cos (α＋β)＝m，
所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，
即cos αcos β＝－m，
从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m．
故选A．]
2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝( )
A． B． C．－ D．－
B [∵sin (α－β)＝，
∴sin αcos β－cos αsin β＝，
∴sin αcos β＝＋cos αsin β＝＝，
∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，
则cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．故选B．]
基础考点2 三角函数的图象与解析式
【典例2】 (1)(2022·浙江高考)为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin 图象上所有的点( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f (x)的两个交点，若|AB|＝，则f (π)＝________．
(1)D (2)－ [(1)因为y＝2sin ＝2sin ，所以把函数y＝2sin 图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin 3x的图象，故选D．
(2)设A，B，由＝可得x2－x1＝，
由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由题图可知，
ωx2＋φ－＝＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4．
因为f ＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．
所以f (x)＝sin ＝sin (k∈Z)，
所以f ＝sin 或f ＝－sin ，
又因为f <0，所以f (x)＝sin ，
所以f ＝sin ＝－．]
由三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)最值定A，B：A＝，B＝．
(2)T定ω：由 T＝，可得ω＝．
(3)特殊点定φ：一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
1．(多选)已知函数f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分图象如图，则( )
A．b＝2
B．ω＝4
C．φ＝
D．f (x)的图象关于点对称
BD [由题图可得解得故A错误；
由题图可知，f (x)的最小正周期T＝＝，所以＝，则ω＝4，B正确；
由题图可知，直线x＝＝是函数f (x)图象的一条对称轴，
所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z．
又0<φ<，所以φ＝，C错误；
由上述可得f (x)＝2cos ＋1．
令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z．
当k＝0时，f (x)的图象的一个对称中心为，D正确．故选BD．]
2．(2024·四川攀枝花三模)将函数y＝sin2x－cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y＝sin2x的图象关于原点对称，则m的最小值是( )
A． B．
C． D．
B [令f (x)＝sin2x－cos2x，则有f (x)＝－cos2x，
设f (x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的函数为g(x)，则有g(x)＝－cos [2(x－m)]＝－cos (2x－2m)，
根据已知条件g(x)的图象与y＝sin 2x的图象关于原点对称，则有g(x)＝－sin (－2x)＝sin 2x，
即－cos (2x－2m)＝sin 2x，所以－2m＝＋2kπ(k∈Z)，解得m＝－－kπ(k∈Z)，又因为m>0，所以当k＝－1时，m取最小值为．故选B．]
3．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到y＝g(x)的图象．若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________．
(－2，－] [由f (x)的部分图象，可得A＝1．
由题图可知点在f (x)的图象上，则sin ＝1，sin ＝－，
由五点作图法可得ω×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，ω×＋φ＝2π－＋2kπ，k∈Z，又ω＞0，|φ|＜，解得ω＝，φ＝，则f (x)＝sin ．
将函数f (x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin 的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g(x)＝2sin 的图象．
作出函数g(x)的部分图象如图所示，
根据函数g(x)的图象知：
当－2＜m≤－时，直线y＝m与函数g(x)在上的图象有两个交点，
即方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根．]
【教师备选资源】
1．(2023·全国甲卷)函数y＝f (x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f (x)的图象与直线y＝x－的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [将y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos ＝cos ＝－sin 2x的图象，所以f (x)＝－sin 2x，而直线y＝x－显然过与(1，0)两点，
作出曲线y＝f 与直线y＝x－的部分大致图象如图所示．
所以由图象可知，y＝f 的图象与直线y＝x－的交点个数为3．]
2．(多选)为了得到函数y＝sin 的图象，只需将函数y＝sin 的图象( )
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
AC [将y＝sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，
再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，A正确；
将y＝sin 的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，
再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin 的图象，C正确．故选AC．]
3．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为( )
A．y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x
B．y＝sin x－sin 2x－sin 3x
C．y＝sin x＋cos 2x＋cos 3x
D．y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x
A [对于A，函数y＝f ＝sin x＋sin 2x＋sin 3x，
因为f ＝－sin x－sin 2x－sin 3x＝－f ，
所以函数为奇函数，
又f ＝＝>0，故A符合题意；
对于B，函数y＝f ＝sin x－sin 2x－sin 3x，
因为f ＝－sin x＋sin 2x＋sin 3x＝－f ，
所以函数为奇函数，
又f ＝＝<＝0，故B不符合题意；
对于C，函数y＝f ＝sin x＋cos 2x＋cos 3x，
因为f ＝，故C不符合题意；
对于D，当x＝0时，y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x＝，故D不符合题意．故选A．]
4．(2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件＞0的最小正整数x为________．
2 [由题图可知，T＝＝(T为f (x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×＋φ＝，得φ＝－，所以f (x)＝2cos ，所以f ＝2cos ＝2cos ＝2cos ＝1，f ＝2cos ＝2cos ＝0，所以＞0，即(f (x)－1)f (x)＞0，可得f (x)＞1或f (x)＜0，所以cos ＞或cos ＜0．当x＝1时，2x－＝2－∈，cos ∈，不符合题意；当x＝2时，2x－＝4－∈，cos ＜0，符合题意．所以满足题意的最小正整数x为2．]
能力考点 三角函数的性质及应用
【典例3】 (1)(2024·北京高考)设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f (x)是偶函数；
②f (x)在区间上单调递增；
③f (x)在区间[－π，π]上有4个零点；
④f (x)的最大值为2．
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
(3)(2024·北京高考)在平面直角坐标系Oxy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________．
(1)B (2)C (3)－ [(1)因为f (x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f (x1)＝－1，f (x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f (x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2．
(2)法一：f (－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f (x)，∴f (x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f (x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f (x)在区间上单调递减，故②不正确；f (x)在区间[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f (x)在区间[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④．故选C．
法二：画出函数f (x)＝sin |x|＋|sin x|的图象，由图象可得①④正确．故选C．
(3)因为α与β的终边关于原点对称，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos (2kπ＋π＋α)＝－cos α．
因为α∈，所以cos α∈，所以cos β∈，所以cos β的最大值为－．]
研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、单调性、零点及对称性时，可将ωx＋φ看成一个整体，然后对照y＝sin x(或y＝cos x)的图象求解．
1．(2024·山东济宁三模)已知函数f (x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f (x)在区间上的值域为，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
D [依题意，函数f (x)＝sin x cos x＋cos2x－＝sin2x＋cos 2x＝sin ，
当x∈时，2x＋∈，
显然sin ＝sin ＝－，sin ＝1，
且正弦函数y＝sin x在上单调递减，
由f (x)在区间上的值域为，
得≤2m＋，解得≤m≤，
所以实数m的取值范围是．故选D．]
2．(多选)(2024·广东汕头一模)已知函数f (x)＝cos 2x·cos ，则( )
A．曲线y＝f (x)的对称轴为直线x＝kπ－，k∈Z
B．f (x)在区间上单调递增
C．f (x)的最大值为
D．f (x)在区间上的所有零点之和为8π
BC [由题意可得，f (x)＝cos 2x·cos ＝cos 2x
＝cos22x－sin2x cos 2x－＝cos 4x－sin 4x＝cos ．
对于选项A，令4x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
所以曲线y＝f (x)的对称轴为直线x＝，k∈Z，故A错误；
对于选项B，因为x∈，则4x＋∈，
且y＝cos x在内单调递增，所以f (x)在区间上单调递增，故B正确；
对于选项C，当4x＋＝2kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z时，f (x)取到最大值为，故C正确；
对于选项D，令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，可知f (x)的零点为x＝，k∈Z，
则f (x)在区间上的零点为，…，，共8个，结合A选项可知，这些零点两两关于直线x＝对称，
所以f (x)在区间上的所有零点之和为4×2×π＝π，故D错误．故选BC．]
3．[高考变式]已知偶函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝________．
[因为f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)为偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z，
即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx．
又f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，
所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝3k＋，k∈Z．
因为当x∈时，函数f (x)单调，所以0≤ωx≤≤π，即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．]
4．(2023·四省联考)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，其中ω为正整数，|φ|<，且f ＝f ．
(1)求y＝f (x)图象的一条对称轴；
(2)若f ＝，求φ．
[解] (1)因为函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间上单调，所以函数f (x)的最小正周期T≥2×＝．
又因为f ＝f ，且＝＜T，
所以直线x＝，即x＝为y＝f (x)图象的一条对称轴．
(2)由(1)知T≥，故ω＝≤3，
由ω∈N*，得ω＝1，2或3．
由x＝为f (x)＝sin (ωx＋φ)的图象的一条对称轴，
得ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z．
因为f ＝，
所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z，
若ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，则ω＝π，k1，k2∈Z，
即ω＝，k1，k2∈Z，
不存在整数k1，k2，使得ω＝1，2或3．
若ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，则ω＝－π，k1，k3∈Z，
即ω＝－，k1，k3∈Z，
不存在整数k1，k3，使得ω＝1或3．
当k1＝2k3＋1时，ω＝2．
此时φ＝＋2k3π，k3∈Z，由|φ|<，得φ＝．
【教师备选资源】
1．(2024·安徽合肥三模)“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [若函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称，
则＋φ＝，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，
因为是的真子集，
所以“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于点对称”的充分不必要条件．故选A．]
2．(多选)(2024·广东广州模拟)已知点P是函数f (x)＝sin ＋b(ω>0)的图象的一个对称中心，则( )
A．f －1是奇函数
B．ω＝－k，k∈N*
C．若f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴，则ω＝2
D．若f (x)在区间上单调递减，则ω＝2或ω＝
BC [依题意，点P是函数f (x)＝sin＋b(ω>0)的图象的一个对称中心，
所以b＝1，且sin ＝0，ω＋＝kπ，k∈N*，ω＝－k，k∈N*，B选项正确．
则f (x)＝sin ＋1，k∈N*，
所以f －1＝sin ＝sin ，
由于1－2k是奇数，所以f －1＝sin是偶函数，A选项错误．
C选项，因为将ω＝－k，k∈N*代入得：
整理得kπ由于f (x)的图象在区间上有且仅有2条对称轴，
所以<，
解得对应ω＝－＝2，所以C选项正确．
D选项，f (x)在区间上单调递减，
因为将ω＝－k，k∈N*代入得：
整理得k＋则k－≤π，解得1≤k≤，而k∈N*，所以k＝1或k＝2，
当k＝1时，＝，符合单调性，
当k＝2时，＝，不符合单调性，所以k＝2舍去，
所以ω＝－×1＝2，所以D选项错误．故选BC．]
3．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f ＝( )
A．－ B．－ C． D．
D [因为f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，所以＝＝(T为函数f (x)的最小正周期)，则T＝π，ω＝＝2．
因为直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，f (x)在区间单调递增，
所以当x＝时，f 取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
则φ＝2kπ－，k∈Z，
所以f (x)＝sin ＝sin ，
所以f ＝sin ＝sin
＝sin ＝．故选D．]
4．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ________．
[2，3) [因为0≤x≤2π，ω＞0，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f (x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
令t＝ωx，则cos t＝1有且仅有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3．
]
5．(2020·北京高考)若函数f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
(答案不唯一，只要符合＋2kπ，k∈Z即可)
[法一：由f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x＝sin x cos φ＋cos x sin φ＋cos x
＝cos φsin x＋(1＋sin φ)cos x＝ (x＋θ)．
∵sin (x＋θ)≤1，
∴当(2+2sin φ)＝2时，f (x)的最大值为2，∴2sin φ＝2，
∴sin φ＝1，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ的一个取值可为．
法二：∵f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，
又sin (x＋φ)≤1，cos x≤1，
∴当sin (x＋φ)＝cos x＝1时，f (x)取得最大值2．
由诱导公式，得φ＝＋2kπ，k∈Z．
∴φ的一个取值可为．]
专题限时集训(四) 三角函数的概念、图象和性质及三角恒等变换
一、单项选择题
1．(2024·山东潍坊二模)将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)的图象，则g(x)＝( )
A．sin 2x B．sin
C．－sin D．cos 2x
B [将函数f (x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，得y＝cos ＝sin x的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)＝sin ．故选B．]
2．已知函数f (x)＝cos ＋1(ω>0)的最小正周期为π，则f (x)在区间上的最大值为( )
A． B．1
C． D．2
C [由题意T＝＝π，解得ω＝2，
所以f (x)＝cos ＋1，
当x∈时，t＝2x＋∈，
所以f (x)在区间上的最大值为cos＋1＝，当x＝0时取到最大值．
故选C．]
3．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
C [因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，
函数y＝2sin 的最小正周期为T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函数y＝2sin 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点．
故选C．]
4．(教材改编)函数f (x)＝－3cos 的单调递增区间为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
D [f (x)＝－3cos ，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z．
故选D．]
5．(2025·河北保定模拟)若tan ＝－3，tan β＝3，则＝( )
A．－1 B．
C． D．
B [由tan ＝－3，得＝－3，
解得tan α＝2，又tan β＝3，
所以＝＝＝＝．
故选B．]
6．已知函数f (x)＝sin (ω>0)，若f (x)在上有两个零点，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
A [因为0≤x≤，所以≤ωx＋ω＋，
因为函数f (x)＝sin (ω>0)在区间上有两个零点，
所以2π≤ω＋<3π，解得≤ω<4，
即ω的取值范围是．故选A．]
二、多项选择题
7．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是( )
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
ABD [由题意cos θ＝－sin θ－，代入sin2θ＋cos2θ＝1，即sin2θ＋
整理得sin2θ＋sinθ－＝0，即＝0，
解得sin θ＝或sin θ＝－．因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，
于是cos θ＝－sin θ－＝－＝－，故B正确．
因为所以θ∈，故A正确；
tan θ＝＝－，故C错误；
sin θ－cos θ＝＝，故D正确．
故选ABD．]
8．(2024·湖北武汉模拟)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．A＝2
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)在内有3个极值点
D．f (x)在区间上的最大值为
ABD [对于A，B，根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象知，A＝2, T＝4×＝π，∴ω＝＝2，故A、B正确；
对于C，由五点法画图知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
由于0<φ<，∴φ＝， ∴f (x)＝2sin ．
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝kπ，k∈Z，
当k＝－2时，x＝－；当k＝－1时，x＝－；
当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝．故f (x)在内有2个极值点，分别为x＝，x＝，故C错误；
对于D，∵x∈，∴2x＋∈，
故当2x＋＝，此时f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正确．故选ABD．]
三、填空题
9．(2024·江苏南京一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，则tan α＋tan β＝________．
[由题可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β，
所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β，
所以sin ＝sin ，
因为α，β∈，
所以α＋∈，β＋∈，
又α≠β，所以α＋＋β＋＝π，故α＋β＝，
所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－，
两边平方后得sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝，
故sinαcos α＝，
tan α＋tan β＝tan α＋＝＝＝．]
10．(2024·北京通州二模)已知函数f (x)＝sin (ω>0)．若f (x)的最小正周期为π，将f (x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________；若f (x)在区间上有3个零点，则ω的一个取值为________．
cos x 6(答案不唯一，符合＜ω≤即可) [因为f (x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，解得ω＝2．
所以f (x)＝sin ，将f (x)的图象向左平移个单位长度，
可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的图象，
再把y＝cos 2x图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝cos x．
因为x∈，所以ωx＋∈，
f (x)在区间上有3个零点，
所以3π<≤4π，解得<ω≤，
则ω的一个取值可以为6．]
四、解答题
11．(2024·浙江台州一模)已知函数f (x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R)．
(1)当ω＝0时，求f (x)的最小正周期以及单调递减区间；
(2)当ω＝2时，求f (x)的值域．
[解] (1)当ω＝0时，f (x)＝sin x＋cos x
＝sin ，T＝2π，
令＋2kπ≤x＋＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函数f (x)的最小正周期为2π，单调递减区间为(k∈Z)．
(2)当ω＝2，f (x)＝sin 2x＋sin x＋cos x
＝2sin x cos x＋sin x＋cos x，
设sin x＋cos x＝sin ＝t(－≤t≤)，则sin 2x＝t2－1，
令g(t)＝t2＋t－1，t∈，
又g(t)＝－，
故当t＝时，g(t)取得最大值1＋，
当t＝－时，g(t)取得最小值－，
所以f (x)的值域为．
12．(2024·山东临沂一模)已知向量a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b．
(1)若f (x0)＝，且x0∈，求cos 2x0的值；
(2)将f (x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象向下平移1个单位长度，最后使所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)，得到函数g(x)的图象，当x∈时，解不等式g(x)≥．
[解] (1)因为a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函数f (x)＝a·b，
所以f (x)＝2cos2x＋2sinx cos x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝2＋1＝2sin ＋1，
因为f (x0)＝，所以2sin ＋1＝，所以sin ＝，
又x0∈，所以2x0＋∈，
所以cos ＝－＝－，
所以cos2x0＝cos
＝cos cos ＋sin sin ＝－＝．
(2)将f (x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝2sin ＋1＝2sin ＋1的图象，再将y＝2sin ＋1的图象向下平移1个单位长度，得到y＝2sin ，
最后将y＝2sin 图象的所有点的纵坐标变为原来的(横坐标不变)，得到y＝sin ，
即g(x)＝sin ，
由g(x)≥，即sin ，
所以＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0可得x∈，令k＝－1可得x∈，又x∈，
所以x∈，
即当x∈时，不等式g(x)≥的解集为．
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