广东省广州市第二中学南沙天元学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025高二上·广州月考）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设直线倾斜角为，
则直线的斜率，
，
.
故答案为：C．
【分析】根据直线方程确定直线斜率，再由直线的倾斜角与直线的斜率的关系式与直线的倾斜角的取值范围，从而得出直线的倾斜角.
2．（2025高二上·广州月考）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
【答案】B
【知识点】共线（平行）向量；共面向量定理
【解析】【解答】解：因为为基底，
所以非零向量不在同一平面内，
则O，A，B，C四点不共面，
所以，选项A、选项C、选项D都正确；选项B错误．
故答案为：B.
【分析】根据基底的含义，则非零向量不在同一平面内，从而判断出O，A，B，C四点不共面，从而判断出各选项，进而找出正确的选项.
3．（2025高二上·广州月考）已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，又因为与夹角的余弦值为，
所以，
整理得(其中)，
解得（负值舍去）.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得出t的可能的取值.
4．（2025高二上·广州月考）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：已知如图所示：
记点，则直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】设点，利用斜率公式求出直线、的斜率，再结合图象求解即可．
5．（2025高二上·广州月考）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由圆可得圆心坐标为：(-1，2)，
所以圆心到直线的距离为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合圆的标准方差求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。
6．（2025高二上·广州月考）已知直线， ，，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：已知直线，
由，得，且，
解得，
由，得，所以.
故答案为：B.
【分析】由两直线平行和垂直与斜率的关系，从而列方程求解得出b的值.
7．（2025高二上·广州月考）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】甲有6种选择，乙也有6种选择，总数，
若甲乙抽到的主题不同，则共有，
其概率为.
故选：A
【分析】根据古典概型求出所有情况及满足题意的情况得出概率。
8．（2025高二上·广州月考）如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（ ）
A．的最小值为2
B．四面体的体积为
C．有且仅有一条直线与垂直
D．存在点，使为等边三角形
【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间中直线与直线之间的位置关系；三角形的形状判断；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：根据正方体的特征可知平面，
又因为平面，所以，
则是异面直线和的公垂线，
当分别与重合时，最小值，最小值为2，故A正确；
因为，所以，故B正确；
因为是等边三角形，
所以，当是中点，而N与重合时，，
由选项A可知当分别与重合时，则，故C错误；
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，
可设，，
若存在点，使得为等边三角形，
则，
由，
由，
解方程，得，
当舍去，
又因为，
所以符合题意，故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用异面直线的距离公式可判断选项A；利用棱锥的体积公式可判断选项B；利用特殊位置结合已知条件和线线垂直的判断方法，则可判断选项C；利用坐标法结合等边三角形的定义可判断选项D，从而找出结论错误的选项.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2025高二上·广州月考）下列说法正确的有（ ）
A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率
C．方程能表示平行轴的直线
D．直线的斜率越大，倾斜角越大
【答案】A,C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：对于A，因为直线经过第一、二、四象限，
所以，，
则在第二象限，故A正确；
对于B，由倾斜角的定义可知任何一条直线都有倾斜角，
当倾斜角为时，斜率不存在，故B错误；
对于C，当时，方程为，表示平行y轴的直线，故C正确；
对于D，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；
在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；
在时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用直线的图象和直线的斜率与纵截距的关系，从而判断出选项A；利用直线的斜率和倾斜角的关系判断出选项B和选项D；由两直线平行斜率相等，纵截距不相等，则判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
10．（2025高二上·广州月考）下列说法错误的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若共线，则
D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；共面向量定理
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以A正确；
对于B，当时，不存在，所以B错误；
对于C，因为共线，可以在同一条直线上，所以C错误；
对于D，当时，四点不共面，所以D错误.
故答案为：BCD.
【分析】利用向量加法的三角形法则，从而判断出选项A；利用向量共线定理判断出选项B；利用向量共线的定义判断出选项C；利用共面向量的判断方法，则判断出选项D，从而找出说法错误的选项.
11．（2025高二上·广州月考）如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．，，，四点共面
B．与所成角的大小为
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
【答案】A,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；共面向量定理；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
设，
则，
所以，解得，则，
所以，，，四点共面，故A正确；
因为，，
所以，
所以与所成角的大小为，故B错误；
假设在线段上存在点，符合题意，
设（），则，
若平面，则，，
因为，，
所以，此方程组无解，
所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；
因为，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
则上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，
又因为的面积是定值，
所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用向量共面定理，则可判断选项A；利用数量积求向量夹角公式，从而求出异面直线与的夹角，则可判断选项B；假设在线段上存在点，再设，，再利用向量法验证线面垂直，则可判断选项C；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二上·广州月考）已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是 .
【答案】或
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，
所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上的截距为，
则在轴上的截距为，
所以，直线的方程为，
又因为直线过点，
所以，
解得：，
所以，直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或.
故答案为：或．
【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点得出直线的斜率的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，再代入点得出直线的截距式方程，从而得出满足要求的直线的方程.
13．（2025高二上·广州月考）在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为 .
【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；图形的对称性；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，
与直线的交点为，与轴的交点即为，如图，
由两点之间线段最短可知，的长为周长的最小值，
设，则
解得则，
所以关于轴的对称点为，
则周长的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用图形的对称性，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知的长为周长的最小值，再由两点距离公式得出的长，从而得出周长的最小值.
14．（2025高二上·广州月考）在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：在正三棱锥中，
因为正三棱锥的相对棱垂直，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，则，
记在底面内的投影为，
所以，，
则，
由，得，
所以，点的轨迹是以为圆心半径为的圆，
取中点，连接，则经过点，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，，
又因为，
则，
设直线与直线的所成角为，
所以，
故答案为：.
【分析】利用正三棱锥的结构特征结合已知条件，从而可得两两垂直，再确定点的轨迹，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和正弦型函数的值域求解方法，从而得出直线与直线的所成角的余弦值的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二上·广州月考）已知.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
【答案】（1）解：由题意，直线的方程为，
化简可得，
所以，点到直线的距离为.
（2）解：设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，
得，
则，
解得，
则所求圆的方程为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）利用直线的两点式方程和转化法，从而得出直线的方程为，再由点到直线距离公式得出点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，再由代入点坐标的方法，从而建立关于D，E，F的方程，解方程组得出D，E，F的值，从而得出的外接圆的方程.
（1）直线的方程为，
化简可得，
所以点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，得
，即
解得；
故所求圆的方程为.
16．（2025高二上·广州月考）如图，在三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明：因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，
则为直角三角形，
所以，
又因为，，
所以平面.
（2）解：由（1）可知平面，
又因为平面，
所以，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，所以
令，则，所以，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先由线面垂直的性质定理得出，利用勾股定理得出，再结合线面垂直的判定定理，从而证出平面PAB.
（2）结合（1）中结论建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角为锐二面角，从而得出二面角的大小．
（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
17．（2025高二上·广州月考）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响.
（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；
（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.
【答案】（1）解：记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，
在实践考试中合格依次为，，，
设甲没有获得执业医师证书的概率为，
则.
（2）解：因为甲、乙、丙获得执业医师证书依次为，，，
且与，与，与相互独立，
则，，，
又因为事件，，彼此相互独立，
则“恰有两人获得执业医师证书”为事件：，
则概率为.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）先根据对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出甲没有获得执业医师证书的概率.
（2）利用已知条件结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式和互斥事件求概率公式，从而得出恰有两人获得执业医师证书的概率.
（1）记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，
在实践考试中合格依次为，，，
设甲没有获得执业医师证书的概率为
.
（2）甲、乙、丙获得执业医师证书依次为，，，
并且与，与，与相互独立，
则，，，
由于事件，，彼此相互独立，
“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：，
概率为.
18．（2025高二上·广州月考）在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上．
（1）求圆C的方程；
（2）若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程．
【答案】（1）解：由已知条件，可设圆心，得，
则，
解得：，
所以，圆C的圆心，半径，
所以，圆C的方程为.
（2）解：设，
由M为线段ED的中点，
得：，解得，
又因为点D在圆C：上，
所以，
化简得：，
故所求的轨迹方程为．
【知识点】圆的标准方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）先设出圆的标准方程，再将点的坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得出参数值，从而得出圆C的标准方程.
（2）先设出点M的坐标，利用中点坐标公式得到点D的坐标，再代入圆的方程整理化简可得答案.
（1）由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得：．
于是圆C的圆心，半径．
所以，圆C的方程为，
（2）设，则由M为线段ED的中点得：，解得，
又点D在圆C：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．
19．（2025高二上·广州月考）如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
（1）证明：平面平面；
（2）设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：因为为正方形，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
所以为二面角的平面角，则，
又因为平面平面，，
所以平面，
则为二面角的平面角，
所以，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
则，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以，平面平面.
（2）解：由点在上，设点，
其中，点，
所以，
平面的法向量可以为，
设与平面所成角为，
则，
所以，
化简得，
解得或（舍去），
所以，存在点满足条件，且点到平面的距离为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）依题意可得平面，再由面面平行和可得平面，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，利用空间向量共线定理证出，从而得到平面，再证明平面，从而证出平面平面.
（2）设点，其中，从而得出点G的坐标，再利用向量的坐标表示和平面的法向量，则根据数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而建立方程求出的值，进而得出存在点满足条件，且点到平面的距离为.
（1）因为为正方形，所以，又，，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，即，
又平面平面，，
所以平面，即为二面角的平面角，即，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，即，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
（2）由点在上，设点，其中，点，
所以，平面的法向量可以为，
设与平面所成角为，
则，
即，化简得，
解得或（舍去），
所以存在点满足条件，且点到平面的距离为.
1 / 1广东省广州市第二中学南沙天元学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025高二上·广州月考）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·广州月考）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
3．（2025高二上·广州月考）已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·广州月考）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高二上·广州月考）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．（2025高二上·广州月考）已知直线， ，，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
7．（2025高二上·广州月考）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·广州月考）如图，在棱长为2的正方体中，点分别在线段和上，则下列结论中错误的结论（ ）
A．的最小值为2
B．四面体的体积为
C．有且仅有一条直线与垂直
D．存在点，使为等边三角形
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2025高二上·广州月考）下列说法正确的有（ ）
A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率
C．方程能表示平行轴的直线
D．直线的斜率越大，倾斜角越大
10．（2025高二上·广州月考）下列说法错误的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若共线，则
D．对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面
11．（2025高二上·广州月考）如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．，，，四点共面
B．与所成角的大小为
C．在线段上存在点，使得平面
D．在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二上·广州月考）已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是 .
13．（2025高二上·广州月考）在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为 .
14．（2025高二上·广州月考）在侧棱长为的正三棱锥中，点为线段上一点，且，点M为平面内的动点，且满足，记直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二上·广州月考）已知.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
16．（2025高二上·广州月考）如图，在三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
17．（2025高二上·广州月考）全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响.
（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；
（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.
18．（2025高二上·广州月考）在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上．
（1）求圆C的方程；
（2）若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程．
19．（2025高二上·广州月考）如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．
（1）证明：平面平面；
（2）设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：设直线倾斜角为，
则直线的斜率，
，
.
故答案为：C．
【分析】根据直线方程确定直线斜率，再由直线的倾斜角与直线的斜率的关系式与直线的倾斜角的取值范围，从而得出直线的倾斜角.
2．【答案】B
【知识点】共线（平行）向量；共面向量定理
【解析】【解答】解：因为为基底，
所以非零向量不在同一平面内，
则O，A，B，C四点不共面，
所以，选项A、选项C、选项D都正确；选项B错误．
故答案为：B.
【分析】根据基底的含义，则非零向量不在同一平面内，从而判断出O，A，B，C四点不共面，从而判断出各选项，进而找出正确的选项.
3．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，，又因为与夹角的余弦值为，
所以，
整理得(其中)，
解得（负值舍去）.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得出t的可能的取值.
4．【答案】B
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：已知如图所示：
记点，则直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故答案为：B．
【分析】设点，利用斜率公式求出直线、的斜率，再结合图象求解即可．
5．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】由圆可得圆心坐标为：(-1，2)，
所以圆心到直线的距离为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合圆的标准方差求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离。
6．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：已知直线，
由，得，且，
解得，
由，得，所以.
故答案为：B.
【分析】由两直线平行和垂直与斜率的关系，从而列方程求解得出b的值.
7．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】甲有6种选择，乙也有6种选择，总数，
若甲乙抽到的主题不同，则共有，
其概率为.
故选：A
【分析】根据古典概型求出所有情况及满足题意的情况得出概率。
8．【答案】C
【知识点】空间中两点间的距离公式；空间中直线与直线之间的位置关系；三角形的形状判断；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：根据正方体的特征可知平面，
又因为平面，所以，
则是异面直线和的公垂线，
当分别与重合时，最小值，最小值为2，故A正确；
因为，所以，故B正确；
因为是等边三角形，
所以，当是中点，而N与重合时，，
由选项A可知当分别与重合时，则，故C错误；
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，
可设，，
若存在点，使得为等边三角形，
则，
由，
由，
解方程，得，
当舍去，
又因为，
所以符合题意，故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用异面直线的距离公式可判断选项A；利用棱锥的体积公式可判断选项B；利用特殊位置结合已知条件和线线垂直的判断方法，则可判断选项C；利用坐标法结合等边三角形的定义可判断选项D，从而找出结论错误的选项.
9．【答案】A,C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：对于A，因为直线经过第一、二、四象限，
所以，，
则在第二象限，故A正确；
对于B，由倾斜角的定义可知任何一条直线都有倾斜角，
当倾斜角为时，斜率不存在，故B错误；
对于C，当时，方程为，表示平行y轴的直线，故C正确；
对于D，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；
在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；
在时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用直线的图象和直线的斜率与纵截距的关系，从而判断出选项A；利用直线的斜率和倾斜角的关系判断出选项B和选项D；由两直线平行斜率相等，纵截距不相等，则判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；共面向量定理
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以A正确；
对于B，当时，不存在，所以B错误；
对于C，因为共线，可以在同一条直线上，所以C错误；
对于D，当时，四点不共面，所以D错误.
故答案为：BCD.
【分析】利用向量加法的三角形法则，从而判断出选项A；利用向量共线定理判断出选项B；利用向量共线的定义判断出选项C；利用共面向量的判断方法，则判断出选项D，从而找出说法错误的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】直线与平面垂直的判定；共面向量定理；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，，
设，
则，
所以，解得，则，
所以，，，四点共面，故A正确；
因为，，
所以，
所以与所成角的大小为，故B错误；
假设在线段上存在点，符合题意，
设（），则，
若平面，则，，
因为，，
所以，此方程组无解，
所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；
因为，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
则上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，
又因为的面积是定值，
所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用向量共面定理，则可判断选项A；利用数量积求向量夹角公式，从而求出异面直线与的夹角，则可判断选项B；假设在线段上存在点，再设，，再利用向量法验证线面垂直，则可判断选项C；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】或
【知识点】直线的截距式方程；直线的一般式方程
【解析】【解答】解：①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，
所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，
设直线在轴上的截距为，
则在轴上的截距为，
所以，直线的方程为，
又因为直线过点，
所以，
解得：，
所以，直线的方程为，即，
综上所述：直线的方程为或.
故答案为：或．
【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点得出直线的斜率的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，再代入点得出直线的截距式方程，从而得出满足要求的直线的方程.
13．【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；图形的对称性；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，
与直线的交点为，与轴的交点即为，如图，
由两点之间线段最短可知，的长为周长的最小值，
设，则
解得则，
所以关于轴的对称点为，
则周长的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用图形的对称性，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知的长为周长的最小值，再由两点距离公式得出的长，从而得出周长的最小值.
14．【答案】
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：在正三棱锥中，
因为正三棱锥的相对棱垂直，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，则，
记在底面内的投影为，
所以，，
则，
由，得，
所以，点的轨迹是以为圆心半径为的圆，
取中点，连接，则经过点，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，，
又因为，
则，
设直线与直线的所成角为，
所以，
故答案为：.
【分析】利用正三棱锥的结构特征结合已知条件，从而可得两两垂直，再确定点的轨迹，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和正弦型函数的值域求解方法，从而得出直线与直线的所成角的余弦值的取值范围.
15．【答案】（1）解：由题意，直线的方程为，
化简可得，
所以，点到直线的距离为.
（2）解：设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，
得，
则，
解得，
则所求圆的方程为.
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程
【解析】【分析】（1）利用直线的两点式方程和转化法，从而得出直线的方程为，再由点到直线距离公式得出点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，再由代入点坐标的方法，从而建立关于D，E，F的方程，解方程组得出D，E，F的值，从而得出的外接圆的方程.
（1）直线的方程为，
化简可得，
所以点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，
将的坐标代入，得
，即
解得；
故所求圆的方程为.
16．【答案】（1）证明：因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，
则为直角三角形，
所以，
又因为，，
所以平面.
（2）解：由（1）可知平面，
又因为平面，
所以，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，所以
令，则，所以，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）先由线面垂直的性质定理得出，利用勾股定理得出，再结合线面垂直的判定定理，从而证出平面PAB.
（2）结合（1）中结论建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角为锐二面角，从而得出二面角的大小．
（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
17．【答案】（1）解：记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，
在实践考试中合格依次为，，，
设甲没有获得执业医师证书的概率为，
则.
（2）解：因为甲、乙、丙获得执业医师证书依次为，，，
且与，与，与相互独立，
则，，，
又因为事件，，彼此相互独立，
则“恰有两人获得执业医师证书”为事件：，
则概率为.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）先根据对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出甲没有获得执业医师证书的概率.
（2）利用已知条件结合对立事件求概率公式、独立事件乘法求概率公式和互斥事件求概率公式，从而得出恰有两人获得执业医师证书的概率.
（1）记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，
在实践考试中合格依次为，，，
设甲没有获得执业医师证书的概率为
.
（2）甲、乙、丙获得执业医师证书依次为，，，
并且与，与，与相互独立，
则，，，
由于事件，，彼此相互独立，
“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：，
概率为.
18．【答案】（1）解：由已知条件，可设圆心，得，
则，
解得：，
所以，圆C的圆心，半径，
所以，圆C的方程为.
（2）解：设，
由M为线段ED的中点，
得：，解得，
又因为点D在圆C：上，
所以，
化简得：，
故所求的轨迹方程为．
【知识点】圆的标准方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）先设出圆的标准方程，再将点的坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得出参数值，从而得出圆C的标准方程.
（2）先设出点M的坐标，利用中点坐标公式得到点D的坐标，再代入圆的方程整理化简可得答案.
（1）由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得：．
于是圆C的圆心，半径．
所以，圆C的方程为，
（2）设，则由M为线段ED的中点得：，解得，
又点D在圆C：上，
所以有，
化简得：．
故所求的轨迹方程为．
19．【答案】（1）证明：因为为正方形，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
所以为二面角的平面角，则，
又因为平面平面，，
所以平面，
则为二面角的平面角，
所以，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
则，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，
所以，平面平面.
（2）解：由点在上，设点，
其中，点，
所以，
平面的法向量可以为，
设与平面所成角为，
则，
所以，
化简得，
解得或（舍去），
所以，存在点满足条件，且点到平面的距离为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）依题意可得平面，再由面面平行和可得平面，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，利用空间向量共线定理证出，从而得到平面，再证明平面，从而证出平面平面.
（2）设点，其中，从而得出点G的坐标，再利用向量的坐标表示和平面的法向量，则根据数量积求向量夹角公式和诱导公式，从而建立方程求出的值，进而得出存在点满足条件，且点到平面的距离为.
（1）因为为正方形，所以，又，，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，即，
又平面平面，，
所以平面，即为二面角的平面角，即，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，即，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面.
（2）由点在上，设点，其中，点，
所以，平面的法向量可以为，
设与平面所成角为，
则，
即，化简得，
解得或（舍去），
所以存在点满足条件，且点到平面的距离为.
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