课时分层作业(六) 平面直角坐标系中的距离公式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为( )
A． B．
C． D．2
2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于( )
A． B．－
C．－ D．或－
3．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为( )
A．－6或 B．－或1
C．－或 D．0或
4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是( )
A．3x－4y＋4＝0
B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0
C．3x－4y＋16＝0
D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0
5．过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是( )
A．y＝1
B．2x＋y－1＝0
C．y＝1或2x＋y－1＝0
D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0
二、填空题
6．已知A(a，3)，B(－2，5a)，|AB|＝13，则实数a的值为________．
7．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
8．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
三、解答题
9．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
10．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．
11．已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
12．若直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )
A．1 B．2
C． D．4
13．(多选题)已知直线l：x cos α＋y sin α＝2，则下列结论正确的是( )
A．原点到直线l距离等于2
B．若点P在直线l上，则≥4
C．点(1，1)到直线l距离d的最大值等于2＋
D．点(1，1)到直线l距离d的最小值等于2＋
14．在平面直角坐标系内，已知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，则平面内任意一点到点A与点C的距离之和的最小值为________，平面内到A，B，C，D的距离之和最小的点的坐标是________．
15．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
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1．A [直线y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝，故选A．]
2．D [由＝1，解得m＝，故选D．]
3．A [，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或．]
4．D [在直线3x－4y＋1＝0上取点(1，1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，
则＝3，解得m＝16或m＝－14，
即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0．]
5．C [∵kAB＝＝－2，过点P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，即2x＋y－1＝0，
又AB的中点C(4，1)，∴PC的方程为y＝1．故选C．]
6．3或－2 [依题意及两点间的距离公式，得＝13，整理得a2－a－6＝0，解得a＝3或a＝－2．]
7．4 [由题意可设P(x0>0)，
则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号．
故所求最小值是4．]
8． [因为，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为．]
9．解：(1)由直线方程的点斜式，
得y－5＝－(x＋2)，
整理得，所求直线方程为3x＋4y－14＝0．
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，
解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0．
10．解：∵l1∥l2，∴，
∴
(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，∴，
解得n＝－22或n＝18．
故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0．
(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为4x－8y－2＝0，
∴，解得n＝－18或n＝22．
故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0．
综上所述，直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0或2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0
11．A [由题意知，直线AB的方程是x＋y－2＝0，
|AB|＝2．
由于△ABC的面积为2，
所以AB边上的高h满足方程h＝2，即h＝．
由点C在函数y＝x2的图象上，可设C(t，t2)．
由点到直线的距离公式得，
即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有2个不相等的实数根，故满足题意的点C有4个．]
12．B [∵，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两条平行直线之间的距离d＝＝2．]
13．ABC [由点到直线的距离公式知，A正确：
由A正确得，≥2，所以≥4：
因为d＝，
所以d的最大值等于2＋，最小值等于2－．]
14．2 (2，4) [设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|＝2，当且仅当A，M，C共线，且M在A，C之间时取等号，同理，|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线，且M在B，D之间时取等号，连接AC，BD交于一点M(图略)，此时|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M即为所求．因为kAC＝＝2，所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．①
又因为kBD＝＝－1，所以直线BD的方程为
y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0．②
联立①②得
所以M(2，4)．]
15．解：设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．
由
得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，得，得c＝7或c＝－5(舍去)．
∴l1：x＋3y＋7＝0．
又正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0．
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0．
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0．
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