课时分层作业(九) 直线与圆的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
4．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆＋＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝( )
A．± B．±
C．1或7 D．4±
5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
二、填空题
6．圆心在y轴上，经过点(3，1)且与x轴相切的圆的方程是________．
7．过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程是________．
8．已知圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于，则k的取值范围是________．
三、解答题
9．如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
10．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0．
(1)m∈R时，证明：l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
11．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
12．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
13．(多选题)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
14．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则
(1)a的取值范围是________；
(2)直线l的方程为________．
15．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0
(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；
(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0，4]变化时，求m的取值范围．
1 / 1课时分层作业(九)
1．B [将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4．]
2．C [圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C．]
3．B [圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1．根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2，所以四边形ABCD的面积为．]
4．D [因为△ABC为等边三角形且边长为2，所以C到AB的距离为，由圆的方程可得C，所以，解得a＝4±．]
5．A [设圆心C(a，b)，半径r＝1，由于圆心在第一象限，且与x轴相切，则b＝r＝1，则C(a，1)，圆心C到直线4x－3y＝0的距离d＝＝r＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)，则该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1．]
6．x2＋y2－10y＝0 [由题意，设圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，因为圆经过点(3，1)，所以把点(3，1)代入圆的方程，得32＋(1＋a)2＝a2，整理得2a＝－10，所以a＝－5，所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝(－5)2，即x2＋y2－10y＝0．]
7．(x－2)2＋(y－1)2＝5 [∵圆心为O(0，0)，
又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆，其直径d＝|OP|＝2，∴半径r＝．
而圆心为(2，1)，
∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．]
8．(－∞，－2)∪∪(2，＋∞) [圆x2＋y2－4x－2y－15＝0的圆心为(2，1)，半径为2，
∵圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于，
∴，
∴k的取值范围是(－∞，－2)∪∪(2，＋∞)．]
9．解：圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝ ＝3．
因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，
所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．
设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，
于是＝3，解得k＝－．
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0．
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0．
10．解：(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25．如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，又kPC＝＝3，所以直线l的斜率为－，则2m＝－，所以m＝－．
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5．
所以|AB|＝2．
故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2．
11．C [将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．]
12．C [圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则，解得k＝±1：
(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．]
13．ABD [对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确．
对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2r，∴直线l与圆C相离，B正确．
对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．故选ABD．]
14．(1)a<3 (2)x－y＋5＝0 [(1)依题意得，点C在圆内，所以＋32＋2×－4×3＋a<0，解得a<3．
(2)由圆的一般方程可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知，M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB＝－＝1，故直线l的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0．]
15．解：(1)已知圆的标准方程是
(x＋a)2＋(y－a)2＝4a(0则圆心C的坐标是(－a，a)，半径为2．
直线l的方程化为x－y＋4＝0，则圆心C到直线l的距离是|2－a|．
设直线l被圆C所截得弦长为L，由弦长、弦心距和圆的半径之间的关系，得
L＝2．
∵0∴当a＝3时，L的最大值为2．
(2)∵直线l与圆C相切，
则有，即|m－2a|＝2．
∵点C在直线l的上方，∴a>－a＋m，即2a>m，∴2a－m＝2，∴m＝(－1)2－1．∵01 / 1