课时分层作业(十) 圆与圆的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共94分
一、选择题
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为( )
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )
A．4 B．4
C．8 D．8
3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x－1)2＋(y－1)2＝5
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5
4．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为( )
A． B．
C．2 D．3
二、填空题
6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．
7．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．
8．到点A(－1，2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
三、解答题
9．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
10．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0．
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
11．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )
A．21 B．19
C．9 D．－11
12．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1
C．3－5 D．3＋5
13．(多选题)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，O为坐标原点，以OC为直径的圆C′与圆C交于A，B两点，则( )
A．圆C′的方程为x2＋y2－3x－4y＝0
B．直线AB的方程为3x－4y－21＝0
C．OA，OB均与圆C相切
D．四边形CAOB的面积为4
14．写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________．
15．若圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－a)2＋(y－2a)2＝4有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
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1．B [圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1：圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2：1＝r2－r1<|O1O2|＝2．C [依题意，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a>0，因此圆的方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4，1)，得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝＝8．]
3．D [由圆(x＋2)2＋y2＝5，可知其圆心为(－2，0)，半径为．
设点(－2，0)关于直线x－y＋1＝0对称的点为(x，y)，则
∴所求圆的圆心为(－1，－1)．
又所求圆的半径为，
∴圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝5．]
4．C [圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，
圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，
∴|O1O2|＝ ＝13，
∴r－R<|O1O2|∴两圆相交．∴公切线有2条．]
5．C [圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的方程相减得x－y＋2＝0．
∵圆心(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝，r＝2，
则公共弦长为2．故选C．]
6．a2＋b2>3＋2 [由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以＋1，即a2＋b2>3＋2．]
7．[1，121] [x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36．
圆心距为d＝＝5，若两圆有公共点，则|6－，解得1≤m≤121．]
8．4 [到点A(－1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线：同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5．
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．]
9．解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，则
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5，
圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝．
又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5，|r1－r2|＝|5|，
∴|r1－r2|<|C1C2|(2)将两圆方程相减，
得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0．
(3)法一：由(1)(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝，
∴公共弦长为l＝2．
法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
解得
∴|AB|＝．
即公共弦长为2．
10．解：两圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为．
(1)当两圆外切时，，解得m＝25＋10．
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有＝5，解得m＝25－10．
(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，∴公共弦长为
2．
11．C [依题意可得圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0的圆心分别为C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝ ＝5．又r1＝1，r2＝，由r1＋r2＝＋1＝5，解得m＝9．]
12．C [圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4，2)，半径为3：
圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径为2：
两圆外离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5．]
13．AC [由圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，
得(x－3)2＋(y－4)2＝4，
则圆心C(3，4)，
线段OC的中点坐标为，
则以OC为直径的圆的方程为
2＋(y－2)2＝，
整理得：x2＋y2－3x－4y＝0，
即圆C'的方程为x2＋y2－3x－4y＝0，故A正确：
联立
两式作差可得：3x＋4y－21＝0，
即直线AB的方程为3x＋4y－21＝0，故B错误：
∵A，B在以OC为直径的圆上，
∴CA⊥OA，CB⊥OB，
由圆心与切点的连线与切线垂直，
可得OA，OB均与圆C相切，故C正确：
∵CA⊥OA，且|OC|＝5，|CA|＝2，
∴|OA|＝，
∴四边形CAOB的面积为S＝2×，故D错误．故选AC．]
14．y＝－或x＝－1(写出其中一个即可) [圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3， 4)，半径为4，
两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切．
如图，当切线为l时，因为，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t>0)，
点O到直线l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－．
当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p>0，k<0，
由题意
解得．
当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．]
15．A [由题意可知，圆O1的圆心是原点，半径r1＝1，
圆O2的圆心是(a，2a)，半径r2＝2，两圆的圆心距d＝|a|．
∵圆O1与圆O2有公共点，∴|r1－r2|≤d≤r1＋r2，即1≤|a|≤3，
解得－．故选A．]
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