课时分层作业(十一) 椭圆及其标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分
一、选择题
1．如果方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
2．平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么( )
A．p是q的充分不必要条件
B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
3．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12
C．9 D．6
4．已知椭圆＝1，焦点在x轴上，若焦距为4，则m等于( )
A．4 B．5
C．7 D．8
5．“2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________．
7．已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为________．
三、解答题
9．已知椭圆的方程为＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
12．(多选题)对于曲线C：＝1，下面说法正确的是( )
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“113．(多选题)设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0A．|AF|＋|BF|为定值
B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C．当m＝时，△ABF为直角三角形
D．当m＝1时，△ABF的面积为
14．椭圆＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
15．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．
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1．D [由于椭圆的焦点在x轴上，所以解得a>3或－62．B [若|MA|＋|MB|为定值，只有定值大于|AB|时，点M轨迹才是椭圆，故p为q的必要不充分条件．]
3．C [由椭圆C：＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．]
4．A [椭圆焦点在x轴上，∴a2＝10－m，b2＝m－2．又c＝2，∴(10－m)－(m－2)＝4，∴m＝4．]
5．B [若＝1表示椭圆，
则有∴2故“26．(0，－)，(0，) [方程可化为＝1，所以a2＝8，b2＝3，且焦点在y轴上，又c＝，
所以，其焦点坐标为(0，－)，(0，)．]
7．8 [根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．]
8．5 [易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B'，则B'(0，1)，如图，连接PB'，AB'，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB'|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB'|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB'|)＝4＋|PA|－|PB'|≤4＋|AB'|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB'的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5．]
9．解：由已知a＝2，b＝，所以c＝＝1，
|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|．①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|．②
将②代入①解得|PF1|＝，
所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝．
10．解：设动圆M和定圆B内切于点C，
由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之和等于定圆的半径，
∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝6，b＝，
∴M的轨迹方程是＝1．
11．C [由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，
∴周长为4a＝4(F是椭圆的另外一个焦点)．]
12．CD [对于A，当1对于B，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误：
对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，
则解得2.5所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，
则解得113．ACD [设椭圆的左焦点为F'，则|AF'|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF'|＝6为定值，A正确：
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0，6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误：
将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，又∵F(，0)，∴＝＝0，∴AF⊥BF，
∴△ABF为直角三角形，C正确；
将y＝1与椭圆方程联立，
解得A(－，1)，B(，1)，
∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．]
14．2 120° [由题意知a＝3，b＝，c＝．
由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝6．
∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2．
又∵|F1F2|＝2，在△F1PF2中，由余弦定理可得
cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°．]
15．解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4．
(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由得x0＝，y0＝－．
又＝1，所以＝1，
化简得λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点，
所以λ＝－7．
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8．
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