课时分层作业(十二) 椭圆的简单几何性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、选择题
1．椭圆x2＋4y2＝1的焦距为( )
A． B．
C．2 D．2
2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3，0.8 B．10，6，0.8
C．5，3，0.6 D．10，6，0.6
3．已知椭圆C：＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
4．方程＝1表示的曲线是( )
A．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为的椭圆
B．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为的椭圆
C．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为的椭圆
D．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为的椭圆
5．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么||的最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D．2
二、填空题
6．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．
7．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．
8．已知椭圆＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
三、解答题
9．(源自人教A版教材)求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点坐标为，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的离心率．
11．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若＝－1，则C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，1) B．
C． D．
13．(多选题)已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝2|PF2|，则椭圆的离心率可以是( )
A． B．
C． D．
14．(多选题)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是( )
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
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1．B [将x2＋4y2＝1化为标准方程＝1，则a＝1，b＝，c＝．]
2．B [椭圆方程可化为＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝，故选B．]
3．C [不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝．]
4．B [由方程可知，它表示焦点在y轴上的椭圆，且a＝5，b＝4，所以c＝3，所以方程表示的椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，离心率为．]
5．C [设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，
∴＝(－2x0，－2y0)，
∴|．
∵点P在椭圆上，∴0≤≤1，
∴当＝1时，||取最小值2．故选C．]
6．[－] [因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＝1上，
所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，
因此|m|≤，即－．]
7．＝1 [因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以椭圆的标准方程是＝1．]
8． [设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F'，连接OM，MF'，PF'，则F(－2，0)，F'(2，0)，|OM|＝2，|PF'|＝2|OM|＝4．
根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF'|＝6，所以|PF|＝2．
又因为|FF'|＝4，
所以在Rt△MFF'中，tan∠MFF'＝，即直线PF的斜率是．]
9．解：把原方程化成标准方程，得
＝1，
于是a＝5，b＝4，c＝＝3．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝，两个焦点坐标分别是F1(－3，0)和F2(3，0)，四个顶点坐标分别是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)．
10．解：(1)依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又e＝，则a＝4，∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，
∴椭圆的方程为＝1．
(2)设椭圆方程为＝1(a>b>0)．
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
∴c＝b＝4，
∴a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的方程为＝1．
(3)法一：由题意知e2＝1－，
所以，
即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为＝1．
将点M(1，2)代入椭圆方程得＝1，解得b2＝或b2＝3．
故所求椭圆方程为＝1．
法二：设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)，
将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝，
故，
即所求椭圆的标准方程为＝1．
11．B [因为离心率e＝，解得，b2＝a2，A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1，A2，
B为上顶点，所以B(0，b)．
所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为·＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1．
故选B．]
12．C [设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
∵·＝0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．
又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c13．BCD [由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a．
又|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a．
①当点P与F1，F2不共线时，在△PF1F2中，|PF1|－|PF2|<|F1F2|，即a<2c，所以e＝．
②当点P与F1，F2共线时，分析知|PF1|＝a＋c，|PF2|＝a－c，所以a＋c＝2(a－c)，即a＝3c，所以e＝．
综上，椭圆的离心率的取值范围是．故选BCD．]
14．ABD [根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确：
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，速度更慢，运行时间更长，B正确：
－1，若比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误．
根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．]
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