课时分层作业(十三)
1．A
2．B [由题意知，34－n2＝n2＋16，∴2n2＝18，n2＝9．∴n＝±3．]
3．D [设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而14．B [因为双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，故1＋＝9，所以k＝，故选B．]
5．A [若方程表示双曲线，则(k－3)(k＋3)>0，
∴k<－3或k>3，故“k>3”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件．]
6． [由题意知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝．]
7．16 [由双曲线方程得，2a＝8．
由双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2a＝8，①
|QF2|－|QF1|＝2a＝8，②
①＋②，得|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝16，
所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝16．]
8．－8 [将x2－y2＝16化为标准形式为＝1，所以a2＝16，2a＝8，因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8．]
9．解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)．
由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，
所以
故所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)椭圆＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(－，4)．
设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则
故所求双曲线的标准方程为＝1．
10．解：(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径均为2，设圆C的半径为r．由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4．
则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，
∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1．
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．
又|MF|＝＝2，
∴||MP|－|FP||的最大值为2．
11．B [在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝|F1F2|2，又∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2，
则|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝8，(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1||PF2|＝8．又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，则4＋|PF1|·|PF2|＝8，所以|PF1|·|PF2|＝4．]
12．BCD [对于A，当方程＝1表示圆时，16＋k＝k－9>0，无解，故A错误：
对于B，当k>9时，＝1，16＋k>k－9，表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确：
对于C，当－160，9－k>0，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确：
对于D，当方程＝1表示双曲线时，c2＝16＋k＋9－k＝25：当方程＝1表示椭圆时，c2＝16＋k－(k－9)＝25，所以焦距均为10，故D正确．故选BCD．]
13．ACD [由双曲线E：＝1，
知a＝4，b＝3，c＝5，
对于A，设P(m，n)，m>0，n>0，
由已知得|F1F2|n＝cn＝5n＝20，
即n＝4，由＝1，可得m＝，故A正确：
对于B，由P，F2(5，0)，
可得>0，则∠PF2F1为钝角，
所以△PF1F2为钝角三角形，故B错误：
对于C，利用两点之间的距离，
可知|PF1|＝，
|PF2|＝，
则△PF1F2的周长为，故C正确：
对于D，设△PF1F2的内心为I，
连接IP，IF1，IF2(图略)，内切圆半径为r，
利用等面积法可得r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝20，可得r＝40，解得r＝，故D正确．故选ACD．]
14．－2 [设双曲线的另一焦点为F'，则有F'(－2，0)，F(2，0)，连接AF'(图略)，易知点A在双曲线内，点B在双曲线外，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋(|PF'|－2)≥|AF'|－2＝－2：|PB|＋|PF|≥|BF|＝．]
15．解：(1)如图所示，设PF1，PF2，F1F2分别与圆I相切于点A，B，C，
则|PA|＝|PB|，|AF1|＝|CF1|，
|BF2|＝|CF2|．
由双曲线的定义，
可得|PF1|－|PF2|＝(|PA|＋|AF1|)－(|PB|＋|BF2|)＝|AF1|－|BF2|＝|CF1|－|CF2|＝2．
设点I的横坐标为t，则点C(t，0)，
所以|CF1|－|CF2|＝(t＋2)－(2－t)＝2t＝2，
解得t＝1，所以点I的横坐标为1．
(2)设圆I的半径为r，
由，
得r·|PF1|＝r·|PF2|＋λr·|F1F2|，
所以|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，
即4λ＝2，解得λ＝．
1 / 1课时分层作业(十三) 双曲线及其标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分
一、选择题
1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3
B．|PF1|－|PF2|＝±4
C．|PF1|－|PF2|＝±5
D．|PF1|2－|PF2|2＝±4
2．椭圆＝1和双曲线＝1有相同的焦点，则实数n的值是( )
A．±5 B．±3
C．5 D．9
3．双曲线＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )
A．1或21 B．14或36
C．2 D．21
4．若双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(3，0)，则实数k＝( )
A． B．
C． D．
5．若k∈R，则“k>3”是“方程＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．双曲线＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________．
7．已知F1，F2是双曲线＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________．
8．已知P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________．
三、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)与椭圆＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4．
10．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．
11．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
12．(多选题)已知方程＝1(k∈R)，则下列说法中正确的有( )
A．方程＝1可表示圆
B．当k>9时，方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆
C．当－16D．当方程＝1表示椭圆或双曲线时，焦距均为10
13．(多选题)已知点P是双曲线E：＝1的右支上在x轴上方的一点，F1，F2分别为双曲线E的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有( )
A．点P的横坐标为
B．△PF1F2为锐角三角形
C．△PF1F2的周长为
D．△PF1F2的内切圆半径为
14．设P是双曲线x2－＝1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3，1)，B(3，6)，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为________．
15．如图所示，已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，△PF1F2的内切圆的圆心为I．
(1)求点I的横坐标；
(2)若△PIF1，△PIF2，△F1IF2的面积满足＝，求λ的值．
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