课时分层作业(十四)
1．A [由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为．故选A．]
2．C [设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，∵e＝，c＝，∴，∴＝2，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选C．]
3．
D [设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，
则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a，
所以M(2a，a)．
将点M的坐标代入双曲线方程＝1，得a＝b，所以e＝．故选D．]
4．A [如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2．由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A．]
5．B [设F2为右焦点，由双曲线的对称性知，|P1F1|＝|P2F2|，∴|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6．]
6．5 [依题意3＝，∴a＝1，由点P在双曲线右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|＝2＋3＝5．]
7． [设点P的坐标为，则＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋，根据双曲线的范围知：≥2，
∴当x＝时，，即．]
8． [由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为，所以
所以A＝(c，y0)，
因为，所以·＝0，即c2－＝0，解得＝4c2．
因为点A在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得，所以e2＝1＋，所以e＝．]
9．解：椭圆D的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，
因此双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5．
设双曲线G的方程为＝1(a>0，b>0)，
∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25．
又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r＝3，
∴＝3，得a＝3，b＝4．
∴双曲线G的方程为＝1．
10．解：(1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，
且双曲线方程为＝1，
∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，
∴双曲线的方程为－y2＝1．
(2)∵a＝，b＝1，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
令x＝－2，则y＝±，
设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B，
则|AB|＝，
记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，则S＝．
11．D [焦点F1(－，0)，F2(，0)，
在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，①
|AF1|2＋|AF2|2＝12，②
联立①②，解得|AF2|－|AF1|＝2，
即2a＝2，
又2c＝2，故双曲线的离心率e＝，故选D．]
12．C [设点A是双曲线的右焦点，由)可知，点E是线段FP的中点，又点O是FA的中点，所以OE∥PA，且|PA|＝2|OE|＝a，再根据双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，可得|PF|＝3a，所以在直角△PFA中，有(3a)2＋a2＝(2c)2，对该式化简可得e＝．]
13．AC
14． [由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，
故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝．]
15．D [根据双曲线的离心率e＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝，所以|AB|＝2，故选D．]
1 / 1课时分层作业(十四) 双曲线的简单几何性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共94分
一、选择题
1．点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为( )
A． B．
C． D．
2．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
3．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A． B．2
C． D．
4．设F为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
5．如图，F1为双曲线C：＝1的左焦点，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是( )
A．3 B．6
C．4 D．8
二、填空题
6．已知P是双曲线＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0．设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________．
7．已知双曲线C：－y2＝1，P为双曲线上任意一点，设点A的坐标为(3，0)，则的最小值为________．
8．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为________．
三、解答题
9．已知椭圆D：＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
10．已知双曲线＝1的右焦点为(2，0)．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．
11．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A． B．
C． D．
12．过双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，直线FE交双曲线右支于点P，若＝)，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
13．(多选题)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．－x2＝1 D．y2－＝1
14．设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
15．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A． B．
C． D．
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