课时分层作业(十五) 抛物线及其标准方程
说明：选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、选择题
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
2．已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( )
A．双曲线 B．椭圆
C．圆 D．抛物线
3．抛物线y2＝12ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝12x
C．y2＝16x D．y2＝20x
4．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝( )
A．1 B．2
C．2 D．4
5．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是抛物线y2＝2px(p＞0)上的三点，点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，则( )
A．x1＋x3>2x2
B．x1＋x3＝2x2
C．x1＋x3<2x2
D．x1＋x3与2x2的大小关系不确定
二、填空题
6．抛物线x2＝－12y的准线方程是________．
7．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．
8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________．
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
10．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3 C．6 D．9
11．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2 B．3
C．4 D．8
12．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心的轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
13．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＝0，则△ABC重心的坐标为________；||＋||＋||＝________．
14．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)．观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
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1．C [由准线方程x＝－2，顶点在原点，可得抛物线焦点为F(2，0)，p＝4．故所求抛物线方程为y2＝8x．]
2．D [连接MF(图略)．由垂直平分线性质知|MB|＝|MF|，即点M到定点F的距离与它到直线l的距离相等，因此，点M的轨迹是抛物线．故选D．]
3．A [准线方程l：x＝－3a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋3a＝5．∴a＝．
∴抛物线方程为y2＝8x，故选A．]
4．B [抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，它到直线y＝x＋1的距离为d＝ p＝2．故选B．]
5．B [由|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，得，即x1＋x3＝2x2．]
6．y＝3 [依题意p＝6，故准线方程为y＝3．]
7．6 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB| |AB|≤6，当AB过焦点F时取最大值为6．]
8． [如图，由抛物线定义：
|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|．
又已知直线AB的倾斜角为30°，
∴|BB1|－|AA1|＝(|AF|＋|BF|)，
∴|BF|－|AF|＝(|AF|＋|BF|)，
整理得|BF|＝3|AF|，∴．]
9．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，
而|MN|＝3＋＝5，
即p＝4．所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2．
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F．
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故
解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2．
10．C [法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以的距离为12，所以＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6．故选C．
法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6．故选C．]
11．D [抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，
椭圆＝1的焦点坐标为(±，0)．
由题意得，∴p＝0(舍去)或p＝8．
故选D．]
12．A [法一：设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r．由两圆外切，得圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．
法二：设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r，点A(0，3)，由题意得|CA|＝r＋1＝y＋1，
∴＝y＋1，化简得y＝x2＋1，
∴圆心的轨迹是抛物线．]
13．(1，0) 6 [因为＝0，所以点F(1，0)为△ABC的重心，则xA＋xB＋xC＝3，所以||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．]
14．解：(1)设曲线方程为y＝ax2＋，由题意可知，0＝64a＋，∴a＝－．
∴曲线方程为y＝－x2＋．
(2)设变轨点为C(x，y)，
联立得4y2－7y－36＝0．
∴y＝4或y＝－(不合题意，舍去)．
由y＝4得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)．
∴C点的坐标为(6，4)，此时|AC|＝2，|BC|＝4．
故当观测点A，B测得离航天器的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令．
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