课时分层作业(十六) 抛物线的简单几何性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条
B．有且仅有两条
C．有无穷多条
D．不存在
2．抛物线y＝12x2上的点到焦点F的距离的最小值为( )
A．3 B．6
C． D．
3．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为( )
A．2 B．
C．2 D．4
4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若直线l的倾斜角为60°，则的值为( )
A．2 B．3
C． D．
5．已知点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是( )
A．x－p＝0 B．4x－3p＝0
C．2x－5p＝0 D．2x－3p＝0
二、填空题
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________．
7．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
8．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________．
三、解答题
9．在抛物线y2＝2x上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
10．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．
11．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为( )
A． B．p
C．2p D．无法确定
12．有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图中所示的方法进行折叠，使折叠后的点B落在边AD上，此时将B记为B′(注：图中EF为折痕，点F也可能落在边CD上)．过点B′ 作B′T∥CD交EF于点T，则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分( )
A．圆 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线
13．(多选题)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角可能是( )
A． B．
C． D．
14．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
15．已知点O为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．
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1．B [由抛物线性质知|AB|＝5＋2＝7，∵当线段AB与x轴垂直时，|AB|min＝4，∴这样的直线有两条．]
2．C [将方程化为标准形式是x2＝y，则p＝．
设M是抛物线y＝12x2上的一点，则＝y0＋，当且仅当y0＝0时，取等号，故抛物线y＝12x2上的点到焦点F的距离的最小值为．]
3．A [根据题意，抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，设A(m，n)，则|AF|＝n＋1＝5，所以n＝4，因为A为C上一点，则m2＝4n，m＝±4．
所以S△OAF＝×1×4＝2．故选A．]
4．B [由题意知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2)，因为直线l的倾斜角为60°，所以直线的斜率为，
则直线l的方程为y＝(x－1)，
联立可得3x2－10x＋3＝0，
解得x1＝3，x2＝．
由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1＝4，|BF|＝x2＋1＝，则＝3，故选B．]
5．C [如图所示，∵F为△AOB的垂心，F为焦点，
|OA|＝|OB|，∴OF垂直平分线段AB，
∴直线AB垂直于x轴．
设A(2pt2，2pt)，B(2pt2，－2pt)，其中t>0．
∵F为垂心，∴OB⊥AF，∴kOB·kAF＝－1，
即·＝－1，解得t2＝，
∴直线AB的方程为x＝2pt2＝p，
即2x－5p＝0．故选C．]
6．8 [|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．]
7． [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，∴x1＋x2＝4－，∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋．]
8．5 4 [由题意得点F(1，0)，设点M(x，±2)，
则|FM|＝＝6，解得x＝5(x＝－7舍去)．
易得点N(5，0)，从而S△FMN＝(xN－xF)·|MN|＝．]
9．解：法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝，
当y0＝1时，dmin＝，∴P．
法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由得y2－2y＋2m＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，∴m＝．
∴平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝，此时点P的坐标为．
10．解：过A，B分别作准线的垂线AA'，BD，垂足分别为A'，D，则|BF|＝|BD|，
又2|BF|＝|BC|，
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°．
又|AF|＝3，∴|AA'|＝3，
|AC|＝6，|FC|＝3．
∴F到准线距离p＝．
∴y2＝3x．
11．C [当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p．]
12．B [由于B'T∥CD，故B'T⊥AD，连接TB(图略)，由折叠关系，知|B'T|＝|TB|，即动点T到直线AD 的距离等于到定点B的距离．由抛物线的定义，知动点T的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线在矩形ABCD内的部分．故选B．]
13．AC [设l为抛物线C的准线，如图，作AH⊥l于点H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于点E，则|AE|＝3－，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为．]
14．x＝－ [法一：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以，即，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－．
法二：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－．]
15．证明：设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－x，由题意知k≠0．
由
即点A的坐标为，同样由
解得点B的坐标为(2k2，－2k)．
故AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，
化简并整理，得y＝x－2．
不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0．故直线过定点P(2，0)．
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