课时分层作业(十七) 直线与圆锥曲线的位置关系
说明：选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共100分
一、选择题
1．直线x＝1与椭圆x2＋＝1的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
2．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则( )
A．x3＝x1＋x2 B．x1x2＝x1x3＋x2x3
C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
3．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A． B．
C． D．2
4．设双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A． B．2
C． D．
5．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于( )
A． B．2
C． D．3
二、填空题
6．设P是双曲线＝1右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E，F，则|PE|·|PF|的值为________．
7．过椭圆3x2＋4y2＝48的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，则|AB|等于________．
8．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．
其中，正确结论的序号是________．
三、解答题
9．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，|A1F|＝3，|A2F|＝1．
(1)求椭圆的方程和离心率e；
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2FP的面积的二倍，求直线A2P的方程．
10．(源自人教A版教材)经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．
11．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
12．已知集合A＝B＝则A∩B中元素个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
13．已知斜率为2的直线l过双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点，若直线l与双曲线的左、右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是________；若直线l与双曲线的一支相交，则双曲线的离心率e的取值范围是________．
14．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
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1．B [∵椭圆x2＋＝1的短半轴b＝1，∴直线x＝1与椭圆相切．]
2．B [由 消去y，得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，令kx＋b＝0，得x3＝－，所以x1x2＝x1x3＋x2x3．]
3．A [法一：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2．易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝．
当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．
法二：因为点P在椭圆＋y2＝1上，
所以可设点P(cos θ，sin θ)．
易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sin θ＋2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝．故选A．]
4．C [双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝，代入抛物线方程，整理得ax2－bx＋a＝0，
因渐近线与抛物线相切，故b2－4a2＝0，即c2＝5a2 e＝．]
5．A [kAB＝＝－1，且y2－y1＝2()，
所以x2＋x1＝－，又在直线y＝x＋m上，∴＋m，y2＋y1＝x2＋x1＋2m．又y1＝2，y2＝2，∴2()＝x2＋x1＋2m，2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，∴2m＝3，m＝．]
6． [渐近线方程为2x±y＝0，设P(x0，y0)，则＝1，所以4＝16．
由点到直线的距离公式有|PE|＝，|PF|＝，∴|PE|·|PF|＝．]
7． [由3x2＋4y2＝48，得＝1，
∴a2＝16，b2＝12，c2＝4，
∴F(－2，0)，直线l的方程为y＝x＋2．
由得7x2＋16x－32＝0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|AB|＝·|x1－x2|＝．]
8．②③ [设动点M(x，y)到两定点F1，F2的距离的积等于a2，得曲线C的方程为·＝a2，
∵a>1，故原点坐标不满足曲线C的方程，故①错误．以－x，－y分别代替曲线C的方程中的x，y，其方程不变，故曲线C关于原点对称，即②正确．因为|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2≤|PF1|·|PF2|＝a2，即面积不大于a2，所以③正确．]
9．解：(1)如图，由题意可知
故则b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为＝1，
此椭圆的离心率e＝．
(2)由题易知直线A2P的斜率存在且不为0，所以可设直线A2P的方程为y＝k(x－2)．由消y，可得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，设P(xP，yP)，则由根与系数的关系可知xP＋2＝，即xP＝，则yP＝k(xP－2)＝．
由直线A2P交y轴于点Q可得Q(0，－2k)，
所以×4×|yP－yQ|，×1×|yP|，
因为，所以2|yP－yQ|＝|yP|，
①当2|yP|－2|yQ|＝|yP|时，|yP|＝2|yQ|，即有＝2·|－2k|，解得k＝0，不符合题意，舍去．
②当2|yQ|－2|yp|＝|yp|时，2|yQ|＝3|yp|，即有4|k|＝，解得k＝±．
故直线A2P的方程为y＝±(x－2)．
10．证明： 如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， ①
点A的坐标为(y0≠0)，则直线OA的方程为
y＝x， ②
抛物线的准线方程是x＝－． ③
联立②③，可得点D的纵坐标为－．
因为焦点F的坐标是，当≠p2时，直线AF的方程为y＝． ④
联立①④，消去x，可得y0y2－(－p2)y－y0p2＝0，即
(y－y0)(y0y＋p2)＝0，
可得点B的纵坐标为－，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴．
当＝p2时，易知结论成立．
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．
11．C [的几何意义是椭圆上的点与定点(2，0)连线的斜率．显然直线与椭圆相切时取得最值，
设直线y＝k(x－2)，代入椭圆方程消去y，得x2－4k2x＋4k2－4＝0．
令Δ＝0，则k＝±．∴kmin＝－．]
12．C [由mx－y－2m＋1＝0，得y－1＝m，
∴直线mx－y－2m＋1＝0恒过定点P．
∵－3<2<3，－2<1<2，∴点P在椭圆＝1内，
∴直线mx－y－2m＋1＝0与椭圆＝1相交，
∴A∩B中元素个数为2．]
13．(3，＋∞) [当直线l与双曲线的左、右两支都相交时，双曲线的一条渐近线的斜率，即，因此该双曲线的离心率e＝>3．
当直线l与双曲线的一支相交时，双曲线的一条渐近线的斜率，即，因此该双曲线的离心率e＝≤3．又e>1，∴114．解：(1)设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得
所以双曲线C的方程为＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4．
联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0．
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0．
由根与系数的关系得所以y1＋y2＝y1y2．
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程为，直线NA2的方程为，
所以，得．
因为
＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以点P在定直线x＝－1上．
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