课时分层作业(二十二)
1．B [由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6．]
2．C [由·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．∴cos θ＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．]
3．A [因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D．又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C．故选A．]
4．C [因为，所以···＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12．]
5．B [因为＝()＋()＝，所以()·()＝||2－||2＝0，
所以||，即△ABC是等腰三角形．]
6．0 [原式＝···()＝·()＋·()＝··＝0．]
7．3 [由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3．]
8．90° [不妨设棱长为2，则，
cos<
＝＝0，所以<>＝90°．]
9．解：(1)．
因为·＝0，·＝0，·＝0，
所以··．
又|，所以cos<．
(2)证明：因为)，
所以·＝0，
所以．
10．解：(1)·>＝5×3×cos 60°＝7.5．
(2)||2＝()2＝||2＋||2＋||2＋2(···)＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°)＝98＋56，
所以AC'≈13.3．
11．C [根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得··＝0，所以·＝()··|2＋·|2＝1，所以cos<，所以AB与CD所成的角为60°．]
12．A [因为)－，
所以||2＝)2＝···)．
又由已知得||＝2，·＝2，所以||2＝(4＋4＋4＋4)＝4．所以||＝2，即EF＝2．]
13．ABC [只有D是假命题．]
14．60° 1 [法一：连接A1D，则∠PA1D就是所成角．连接PD，
在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，
从而∠PA1D＝60°，即所成角的大小为60°．
因此·×cos 60°＝1．
法二：根据向量的线性运算可得·＝()·＝1．
由题意可得PA1＝B1C＝，则>＝1，从而<>＝60°．]
15．解：(1)证明：．
因为BB1⊥平面ABC，
所以·＝0，·＝0．又△ABC为正三角形，
所以<．
因为·＝()·()＝···
＝||·||·cos<＝－1＋1＝0，
所以AB1⊥BC1．
(2)结合第一问知·|·||·cos<－1．
又||．
所以cos<，
所以||＝2，即侧棱长为2．
1 / 1课时分层作业(二十二) 空间向量的运算(三)
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分
一、选择题
1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是 ( )
A．与 B．与
C．与 D．与
4．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6
C．12 D．144
5．设空间中有四个互异的点A，B，C，D，已知(－2)·()＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
二、填空题
6．在空间四边形ABCD中，＝________．
7．若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________．
8．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
三、解答题
9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1．
(1)求〈〉的余弦值；
(2)求证：⊥．
10．(源自人教A版教材)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°．求：
(1)；(2)AC′的长(精确到0.1)．
11．已知在空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
12．在三棱锥O-ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝( )
A．2 B．4
C． D．3
13．(多选题)已知a，b是两个非零向量，下列结论中，正确的是( )
A．a·b＞0 〈a，b〉∈
B．a·b＝0 〈a，b〉＝
C．a·b＜0 〈a，b〉∈
D．|a·b|＝|a||b| 〈a，b〉＝0
14．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，＝________．
15．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为．
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
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