课时分层作业(二十五)
1．C [对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量，是正确的：
对于B，由平面的法向量的定义可知，若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直，是正确的：
对于C，由平面的法向量的定义可知，0是任意一个平面的一个法向量，是错误的：
对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，是正确的．
故选C．]
2．C [经检验，只有向量(－1，－7，5)分别与垂直，故选C．]
3．A [由题意知，点P在平面α内 ⊥n ·n＝0，经检验选项A符合题意．]
4．C [设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
则 ∴x＝y＝z．]
5．A [∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3)，
∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，
故设＝km．
∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k．
解得k＝－，y＝z＝．∴y－z＝0．]
6．，其中z≠0
7．45° [∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC，又∵BD∩SO＝O，∴AC⊥平面SBD．
∴为平面SBD的一个法向量．
∴<>＝45°．]
8．4 [∵，
∴·＝0，
即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，
∴，
则
∴x＋y＝．]
9．解：(1)取AD的中点M，连接MF，
∵E，F分别是PC，PB的中点，
∴EF∥BC且EF＝BC，
又BC∥AD且BC＝AD，
∴EF∥AD且EF＝AD，
则由EF∥DM且EF＝DM知四边形DEFM是平行四边形，
∴MF∥DE，∴就是直线DE的一个方向向量．
(2)∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，
∵DE 平面PCD，
∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，
∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，
∴是平面PBC的一个法向量，由(1)可知，
∴就是平面PBC的一个法向量．
10．解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，
于是＝(1，，0)．
设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，
则
所以
令y＝－1，则x＝z＝．
所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．
11．AC [依题意得＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，不存在实数λ，使得成立，即不共线，A不正确：
与×(2，1，0)＝，B正确：
＝(－3，1，1)，则，C不正确：
设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝－2，z＝5，即n＝(1，－2，5)是平面ABC的一个法向量，D正确． 故选AC．]
12．BC [∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，
∴可以作为平面ABC的法向量．]
13． [由OP⊥OQ，得·＝0．
即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0．
∴cos x＝0或cos x＝．
∵x∈[0，π]，∴x＝．]
14．解：(1)证明：∵·＝－2－2＋4＝0，
∴AP⊥AB．
又∵·＝－4＋4＋0＝0，
∴AP⊥AD．
∵AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线，
∴AP⊥底面ABCD．
(2)设的夹角为θ，则cos θ＝，
V＝|·||·sin θ·|＝16．
(3)|()·|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P ABCD体积的3倍．
猜测：|()·|在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积．
1 / 1课时分层作业(二十五) 直线的方向向量与平面的法向量
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分
一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
A．若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量
B．若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直
C．0是任意一个平面的一个法向量
D．一个平面的法向量是不唯一的
2．若＝(1，2，3)，＝(－1，3，4)，则以下向量中，能成为平面OAB的法向量的是( )
A．(1，7，5) B．(1，－7，5)
C．(－1，－7，5) D．(1，－7，－5)
3．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(2，－1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1)
C．P(－4，4，0) D．P(3，－3，4)
4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A．(－1，1，1) B．(1，－1，1)
C．(1，1，1) D．(1，1，－1)
5．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于( )
A．0 B．1
C． D．3
二、填空题
6．若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示为________．
7．如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，O为底面中心，则平面SBD的法向量与的夹角等于________．
8．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数z＝________，x＋y＝________．
三、解答题
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD，E，F分别是PC，PB的中点．
(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；
(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
11．(多选题)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列说法不正确的是( )
A．与是共线向量
B．与同向的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5)
12．(多选题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是( )
A． B．
C． D．
13．在空间直角坐标系O-xyz中，已知点P(2cos x＋1，2cos 2x＋2，0)和点Q(cos x，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
14．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求四棱锥P-ABCD的体积；
(3)对于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算()·的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算()·的绝对值的几何意义．
1 / 1
