2025年北京高三（上）入学定位考数学（PDF版，含答案）

数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（ 1） B （ 2） D （ 3） C （ 4） C （ 5） A
（ 6） C （ 7） B （ 8） A （ 9） B （10）D
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） ( ,0]
（12） 0 2
π π
（13） π (0, ) （答案不唯一,满足 (kπ,kπ ),k Z 即可）
2 2
（14） 3 3
（15）① ② ③
说明：12, 13, 14 题都是第一个空 3 分，第二个 2 分
15 题对一个给 3 分，对两个给 4分，全对给 5分，如果有错的，则给 0 分
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）因为 25sin 2A 6a cos A
所以 25 2sin Acos A 6acos A， ……2 分

又因为C为钝角，所以 A (0, ) ， cos A 02 ,
sin A 3
所以 ， ……4 分
a 25
a c
由正弦定理 ，
sin A sinC
所以 sinC 24 ． ……6 分
25
（Ⅱ）选择条件①
sinC 24因为 ，且C为钝角， 所以 cosC 1 sin 2C 7 . ……7 分
25 25
由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC， ……9 分
数学 参考答案 第 1 页（共 8 页）
代入整理得到 5b2 14b 39 0
解得 b 39 5，b （舍）. ……11 分
5
所以△ABC 1的面积 S ab sinC 12 ……13 分
2
选择条件②.
sinC 24 C 7因为 ，且 为钝角， 所以 cosC . ……7 分
25 25
4
因为 cos A ，所以 sin A 3 , ……8 分
5 5
又 sin B sin(A C ) sin A cosC cos A sinC 3 ……9分
5
a c
由正弦定理 ， ……10 分
sin A sinC
所以 a 5 ， ……11 分
ABC S 1所以△ 的面积 ac sin B 12 ……13 分
2
（17）（共 14 分）
解：（Ⅰ）取 PO中点M ，连接MF，AM，
因为M ,F 分别为 PO， PC 的中点，
1
所以MF OC，且 MF OC 2 ……2分
2
又 AB OC, AB 2
所以 AB MF ， AB MF ……4分
所以 ABFM 为平行四边形，所以 BF AM ……5分
又 BF 平面 PAO， AM 平面 PAO
所以 BF 平面 PAO． ……6 分
（Ⅱ）因为 PO 平面 ABCD，且 AO DC
所以 PO OC， PO OA
建立空间直角坐标系O ACP， ……8 分
数学 参考答案 第 2 页（共 8 页）
则 A(2,0,0),D(0, 2,0),P(0,0,4),B(2,2,0)，

因此 AD ( 2, 2,0) ， AP ( 2,0,4) ， AB (0，2,0) ．
设平面 PAB的法向量为 n (x, y, z)，则

n AP 2x 4z 0, x 2z,
即 ……10 分
n AB y 0, y 0,
令 z 1，于是 n (2,0,1) ． ……11 分
设直线 AD与平面 PAB所成角为 ．

所以 sin | cos AD, n | n AD 10 ． ……14 分
| n || AD | 5
（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）样本中有9名男教师中有 2人使用人工智能模型时长不足 20 小时. ……1分
2
所以男教师使用人工智能模型时长不足 20 小时的职工的概率约为 ． ……2分
9
2
故男教师约有180 = 40需要参加此次专项调研. ……3分
9
5 1
（Ⅱ）从女教师中随机选出1人，其使用人工智能模型时长不少于35小时的概率为 ；
10 2
3 1
从男教师随机选出1人，其使用人工智能模型时长不少于35小时的概率为 .
9 3
……4 分
由题设， X 的可能取值为 0, 1, 2, 3． ……5分
且 P(X 0) C02 (1
1
)2 (1 1) 1 ；
2 3 6
P(X 1) C12 (1
1 1 1 1 1 5
) (1 ) C0 (1 )2 ；
2 2 3 2 2 3 12
P(X 2) C2 (1 )2 12 (1 ) C
1 (1 1 1 1 12 ) ；2 3 2 2 3 3
P(X 3) C2 (1)2 1 12 .2 3 12
所以 X 的分布列为：
数学 参考答案 第 3 页（共 8 页）
X 0 1 2 3
1 5 1 1
P
6 12 3 12
……9分
1 5 1 1 4
数学期望 E(X ) 0 1 2 3 ． ……11 分
6 12 3 12 3
（Ⅲ）s2 s2 ． ……13 分1 2
（19）（共 15 分）
a 2,

解：（Ⅰ）由题设， b c,
2 2 2
a b c
所以 b2 c2 2
2 2
所以C x y的方程为 1． ……4 分
4 2
（Ⅱ）方法一：
设直线 AM 的方程为 y k(x 2) ． ……5分
y k (x 2)

所以 x2 y2
1 4 2
化简，得到 (2k 2 1)x2 8k 2x 8k 2 4 0， ……6 分
设M (x0 , y0 )，
8k 2 4 4k 22x x 2所以 0 2 ， ……7分2k 1 0 2k 2 1
4k 2y k( 2 2) 4k所以 0 2 ……8分2k 1 2k 2 1
M (4k
2 2 , 4k所以
2k2
)，
1 2k2 1
N( 4k
2 2 , 4k所以 )
2k2 1 2k2 1
数学 参考答案 第 4 页（共 8 页）
4k
2
直线 AN 1的斜率 k 2k 1AN 4k 2
． ……9分
2 2k
2
2k 2 1
1
所以直线 AN 的方程为 y (x 2) ，
2k
x 2 1令 0 ，得 yQ ……10 分2k k
1
所以Q(0， )
k
同理可得 P(0， 2k)
2
所以 | PQ | | 2k 1 2k 1 | | | ……11 分
k k
2
又 |MN | 2 4k 2｜ 2 ｜， ……12 分2k 1
4k2 2 2k2 1
所以 2 | 2 | | |2k 1 k
因为M 与 N不重合，所以 2k 2 1 0
所以 2k 2 1 | 4k | ，所以 | y0 | 1， ……13 分
所以 | x0 | 2 ……14 分
所以 |MN | 2 2 ……15 分
方法二：
2
M (x , y ) N ( x , y ) x0 y
2
设点 0 0 ， 0 0 ，所以
0 1 ……5 分
4 2
y
所以直线 AM 的方程为 y 0 (x 2) ……6 分
x0 2
2y
令 x 0 ，所以 y 0P ……7分x0 2
y
同理直线 AN的方程为 y 0 (x 2)
x0 2
2y 2y
令 x 0 ，所以 y 0 0Q ……9 分 x0 2 x0 2
数学 参考答案 第 5 页（共 8 页）
又 |MN | 2 | x0 |，
| PQ | | 2y0 2y0 | | 2y0 2y 0 | | 4x 0 y0 | ……10 分
x0 2 x0 2 x0 2 x0 2 x 20 4
x 2 y 2
因为 0 0 1，所以 x 2 2
4 2 0
4 2y0 ， ……11 分
所以 | PQ | |
4x0 y0 | | 2x 02 | ……12 分 2y0 y0
所以 2 | x | |
2x
00 |，所以 | y0 | 1 ……13 分y0
所以 | x0 | 2 ……14 分
所以 |MN | 2 2 ……15 分
（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ）因为 f (x) e x (x2 a) ，所以 f '(x) e x (x2 2x a) ， ……2 分
所以 f '(0) a． ……3 分
又 f (0) a． ……4 分
所以曲线 y f (x) 在点 (0, f (0))处的切线方程为 y ax a ……5 分
当 x 1时， y 0
所以曲线 y f (x) 在点 (0, f (0))处切线经过点 ( 1,0) ……6 分
（Ⅱ）当 a 3 时， f '(x) e x (x2 2x 3)
令 f '(x) 0 ，得 x1 1, x2 3 ……7分
f '(x)与 f (x) 的变化情况如下表：
数学 参考答案 第 6 页（共 8 页）
x ( , 3) 3 ( 3,1) 1 (1, )
f '(x) 0 0
f (x) ↗ ↘ ↗
……9 分
所以函数 f (x) 的单调递增区间为 ( , 3) ， (1, )
单调递减区间为 ( 3,1) ……11 分
（Ⅲ）假设存在实数 a，使得函数 f (x) 与 g(x) 在 x x0 处同时取得极值，
因为 f '(x) e x (x2 2x a) ， g '(x) e x (x2 4x a)
所以 f '(x ) e x0 (x 2 2x a) 0 ， g '(x ) e x0 (x 20 0 0 0 0 4x0 a 2) 0 ……13 分
所以 2x0 2 0，所以 x0 1， a 1， ……14 分
此时 f '(x) e x (x2 2x 1) e x (x 1)2 0 恒成立，不存在极值，矛盾，
所以不存在实数 a，使得函数 f (x) 与 g(x) 在 x x0 处同时取得极值 ……15 分
（21）（共 15 分）
解：（Ⅰ） B :1,2,2,1， Sn 10，Tn 6，Dn 4 ……4 分
（Ⅱ）由题意知， A中元素两两互异，故 A中的任一元素，如 ak ，在 B 中至多在
min{ak 1 ，ak}和 min{ak ，ak 1}中出现两次，
且若出现两次则这两个数处于邻位（ b1 和bn也视为邻位）．
所以 B的所有项中至多有两个1， 两个 2 ，依次类推，
当 n n n(n 2)为偶数时，Tn b1 b2 bn 2(1 2 3 ) 2 4
当 n为奇数时，
2
Tn b1 b2 bn 2(1 2 3
n 1) n 1 (n 1)
2 2 4
数学 参考答案 第 7 页（共 8 页）
S a a a = n(n 1)而 n 1 2 n ，2
1
所以总有Tn Sn ……10 分2
（Ⅲ）不妨设 a1 1, ak n，其中 k {2,3, ,n}
因为 |a1 a2 | | a2 a3 | | ak 1 ak | |ak a1 | n 1
|ak ak +1 | | ak 1 ak 2 | | an 1 an | | an a1 | |ak a1 | n 1
所以 |a1 a2 | | a2 a3 | | ak 1 ak | +|ak ak+1 |
| ak 1 ak 2 | | an 1 an | | an a1 | 2(n 1)
当 ai i时，等号成立
记 ci max{ai ,ai 1}, cn max{an ,a1},
其中max{x1, x2}表示 x1, x2 这 2 个数中最大的数.
所以 (b1 b2 bn ) (c1 c2 cn ) 2(1 2 n) n
2 n
而 (c1 c2 cn ) (b1 b2 bn ) 2(n 1)
所以 2(b 2 21 b2 bn ) n n 2(n 1) n n 2
T n
2 n 2
所以 n ，且当 ai i时，等号成立2
所以Dn的最小值为 n 1，且当 ai i时取到. ……15 分
数学 参考答案 第 8 页（共 8 页）