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章末复习提升
『网络建构』
『知识辨析』
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
1.函数的零点是函数图象与x轴交点的坐标.( )
2.若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.( )
3.二次函数一定有零点.( )
4.若函数y=f(x)有两个零点x1,x2,则方程f(x)=0一定有两根x=x1或x=x2.( )
5.所有函数零点都可以用二分法求解.( )
6.某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.( )
×
×
×
√
×
×
核心题型突破
题型一 函数的零点
C
【解析】 令h(x)=-x-a,
则g(x)=f(x)-h(x).
在同一平面直角坐标系中画出y=f(x),y=h(x) 的图象,如图所示.
若g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a过点(0,1)时,有2个交点,此时1=-0-a,a=-1.当y=-x-a在y=-x+1上方,即a<-1时,仅有1个交点,不符合题意.当y=-x-a在y=-x+1下方,即a>-1时,有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围为[-1,+∞).故选C.
·规律方法·
数形结合是解决函数零点个数问题的基本思想,其要点是通过构造函数,把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题.一般地,含参数函数零点个数的讨论,若能分离参数,可借助不含参数一端函数的图象数形结合求解.
题型二 零点存在定理的应用
C
B
·规律方法·
若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且单调,且有f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有唯一零点.
题型三 函数模型的实际应用
(1)求出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百辆)的函数关系式.
(2)年产量为多少百辆时,企业所获利润最大 并求出最大利润.
·规律方法·
解函数应用问题的步骤
(1)审题.弄清题意,理顺数量关系,初步选择数学模型.
(2)建模.将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,建立相应的数学模型.
(3)解模.求解数学模型,得出数学结论.
(4)还原.将数学问题还原为实际问题的意义.章末复习提升
网络建构
知识辨析
判断对错.(正确的画“√”,错误的画“×”)
1.函数的零点是函数图象与x轴交点的坐标.( × )
2.若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.( × )
3.二次函数一定有零点.( × )
4.若函数y=f(x)有两个零点x1,x2,则方程f(x)=0一定有两根x=x1或x=x2.( √ )
5.所有函数零点都可以用二分法求解.( × )
6.某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.( × )
题型一 函数的零点
[典例1] 已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )
A.[-1,0) B.[0,+∞)
C.[-1,+∞) D.[1,+∞)
【答案】 C
【解析】 令h(x)=-x-a,
则g(x)=f(x)-h(x).
在同一平面直角坐标系中画出y=f(x),y=h(x) 的图象,如图所示.
若g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a过点(0,1)时,有2个交点,此时1=-0-a,a=-1.当y=-x-a在y=-x+1上方,即a<-1时,仅有1个交点,不符合题意.当y=-x-a在y=-x+1下方,即a>-1时,有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围为[-1,+∞).故选C.
数形结合是解决函数零点个数问题的基本思想,其要点是通过构造函数,把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题.一般地,含参数函数零点个数的讨论,若能分离参数,可借助不含参数一端函数的图象数形结合求解.
题型二 零点存在定理的应用
[典例2] (1)函数f(x)=-ln x+2的零点所在的大致区间为( )
A.(1,e) B.(e,e2)
C.(e2,e3) D.(e3,e4)
(2)已知函数f(x)=81ln x-()x-3-80的零点位于区间(k,k+1)内,则整数k等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】 (1)C (2)B
【解析】 (1)f(x)=-ln x+2在(0,+∞)上连续不断,且单调递减,f(1)=3>0,f(e)=+1>0,f(e2)=>0,f(e3)=-1<0,f(e4)=-2<0,所以零点所在的大致区间为(e2,e3).故选C.
(2)因为函数y=81ln x与y=-()x-3-80在(0,+∞)上均为增函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,因为f(2)=81ln 2-83<0,f(3)=81ln 3-81>0,f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故k=2.故选B.
若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且单调,且有f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有唯一零点.
题型三 函数模型的实际应用
[典例3] 某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2 000万元,每生产x(单位:百辆),需另投入成本C(x)(单位:万元),
且C(x)=(30≤c≤90).已知每辆车售价5万元,由市场调研知,全年生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:百辆)的函数关系式.
(2)年产量为多少百辆时,企业所获利润最大 并求出最大利润.
【解】 (1)由题知利润L(x)=收入-总成本,
所以利润L(x)=5x×100-2 000-C(x)=
故年利润L(x)关于年产量x的函数关系式为
L(x)=
(2)当0
又因为30≤c≤90,故当x=20时,L(x)max=2 000;
当x≥c时,L(x)=-x-+2 500≤-2·+2 500=2 380,当且仅当x=,即x=60时,等号成立.
若30≤c≤60,则L(x)max=L(60)=2 380>2 000,所以此时L(x)max=L(60)=2 380.若602 000,所以此时L(x)max=L(c)=-c-+2 500.
综上所述,若30≤c≤60,当产量为60百辆时,企业所获利润最大,最大利润为2 380万元;
若60解函数应用问题的步骤
(1)审题.弄清题意,理顺数量关系,初步选择数学模型.
(2)建模.将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,建立相应的数学模型.
(3)解模.求解数学模型,得出数学结论.
(4)还原.将数学问题还原为实际问题的意义.
第五章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知x=1是函数f(x)=2x+mx-5的零点,则m为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 依题意,f(1)=0,即2+m-5=0,所以m=3.故选C.
2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
A.y=log2|x| B.y=2x-1
C.y=ln x D.y=x2+1
【答案】 A
【解析】 由于y=2x-1,y=ln x是非奇非偶函数,y=x2+1是偶函数但没有零点,只有y=log2|x|是偶函数又有零点.故选A.
3.函数f(x)=2x+log2x-的零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,5)
【答案】 C
【解析】 因为y=2x是R上的增函数,y=log2x是(0,+∞)上的增函数,所以f(x)=2x+log2x-是(0,+∞)上的增函数,则f(x)若有零点一定唯一,
因为f(1)=21+log21-=2-<0,f(2)=22+log22-=5-<0,
且f(3)=23+log23-=log23->log22-=0,所以f(2)·f(3)<0,可得f(x)的零点属于区间(2,3).故选C.
4.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-k(0A.2 B.1或2 C.3 D.1或3
【答案】 A
【解析】 由f(x)-k=0得f(x)=k,
在同一坐标系内作出函数y=f(x)和直线y=k的图象,
如图所示,由函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-k(0则两函数图象有两个交点.故选A.
5.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同,之后甲通过学习,“日能力值”都在前一天的基础上进步2%,而乙疏于学习,“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么,大约需要经过多少天,甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据:lg 102≈2.008 6,lg 99≈1.995 6,lg 2≈0.301 0)( )
A.23 B.100 C.150 D.232
【答案】 B
【解析】 设甲和乙刚开始的“日能力值”为1,则n天后,甲、乙的“日能力值”分别为(1+2%)n,
(1-1%)n,
依题意,=20,即()n=20,两边取常用对数得nlg=lg 20,
因此n=≈≈100,
所以大约需要经过100天,甲的“日能力值”是乙的20倍.故选B.
6.国外一生物学家和人口统计学家提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线,称为“皮尔曲线”.常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f(x)=(P>0,a>1,k<0)的形式.已知f(x)=(x∈N)描述的是一种植物的高度随着时间x(单位:年)变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1 m,经过一年,该植物的高为1.5 m,要让该植物的高度超过2.8 m,至少需要( )
A.3年 B.4年 C.5年 D.6年
【答案】 C
【解析】 依题意可得则
解得所以f(x)=,x∈N,
因为y=1+2-x+1在定义域上单调递减,且1+2-x+1>0,又y=在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在其定义域上单调递增,而f(5)==>2.8,f(4)==<2.8,即f(4)<2.87.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a+b+c等于( )
A.0 B.2 C.4 D.6
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,
h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,所以2a+a=0,log2b+b=0,c3+c=0,
所以2a=-a,log2b=-b,c3=-c,
所以a,b,c即为函数y=-x分别与y=2x,y=log2x,y=x3图象的交点的横坐标,
作出函数图象如下.
因为y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称,且直线y=-x与y=x互相垂直,
所以a+b=0,c=0,所以a+b+c=0.故选A.
8.已知函数f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0有且仅有两个实数根,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(-∞,0)∪(0,1)
C.[1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)
【答案】 C
【解析】 令u=f(x),则f(u)=0.
①当a=0时,若u≤0,f(u)=0;
若u>0,由f(u)=log2u=0,得u=1.
所以由f(f(x))=0,可得f(x)≤0或f(x)=1.
如图所示,满足f(x)≤0的x有无数个,方程f(x)=1只有一个解,不满足题意;
②当a≠0时,若u≤0,
则f(u)=a·2u≠0;
若u>0,由f(u)=log2u=0,得u=1.
所以由f(f(x))=0,可得f(x)=1,
当x>0时,由f(x)=log2x=1,可得x=2,
因为关于x的方程f(f(x))=0有且仅有两个实数根,则方程f(x)=1在(-∞,0]上有且仅有一个实数根,
若a>0且x≤0,f(x)=a·2x∈(0,a],故a≥1;
若a<0且x≤0,f(x)=a·2x<0,不满足题意.
综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).故选C.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.某工厂12年来某产品总产量S与时间t(单位:年)的函数关系如图所示,下列四个选项中,正确的是( )
A.前三年总产量增长的速度越来越快
B.前三年总产量增长的速度越来越慢
C.第3年后至第8年这种产品停止生产了
D.第8年后至第12年间总产量匀速增加
【答案】 BCD
【解析】 对于A,B,根据图象可知前三年总产量增长的速度是先快后慢,即增长速度越来越慢,A错误,B正确;对于C,第3～8年总产量未发生变化,可见产品停止生产了,C正确;对于D,第8～12年,总产量模型为直线模型,体现为匀速增长,D正确.故选B,C,D.
10.某同学求函数f(x)=ln x+2x-6.5的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示:
f(2)≈-1.807 f(3)≈0.599 f(2.5)≈-0.584
f(2.75)≈0.012 f(2.625)≈-0.285 f(2.687 5)≈-0.136
则方程ln x+2x-6.5=0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A.2.72 B.2.69 C.2.61 D.2.55
【答案】 AB
【解析】 由函数f(x)=ln x+2x-6.5在(0,+∞)上单调递增,要使得精确度为0.1,结合表格可知,f(2.687 5)≈-0.136<0,f(2.75)≈0.012>0,此时2.75-2.687 5=0.062 5<0.1,
所以方程ln x+2x-6.5=0的近似解在区间[2.687 5,2.75]内.故选A,B.
11.研究表明,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8
+1.5M,则( )
A.震级为2级的地震释放能量为106.8焦耳
B.释放能量为109.3焦耳的地震震级为3级
C.9级地震释放能量是8级地震释放能量的10倍
D.释放能量之比为1 000∶1的两场地震的震级相差2级
【答案】 BD
【解析】 当M=2时,lg E=4.8+1.5×2=7.8,解得E=107.8,A错误;当E=109.3时,9.3=4.8+1.5M,解得M=3,B正确;令9级地震释放能量为E1,8级地震释放能量为E2,则lg =lg E1-lg E2
=(4.8+1.5×9)-(4.8+1.5×8)=1.5,于是=101.5>10,C错误;释放的能量为E0,对应的震级为M0,释放的能量为1 000E0,对应的震级为M′,则lg E0=4.8+1.5M0,lg 1 000E0=4.8+1.5M′,两式相减得1.5(M′-M0)=3,解得M′-M0=2,D正确.故选B,D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某公司第x(x∈N*)年的纯利润为f(x)万元,且f(x)=3x+-15,则该公司第 年当年的纯利润(单位:万元)开始为正数.
【答案】 5
【解析】 已知某公司第x(x∈N*)年的纯利润为f(x)万元,且f(x)=3x+-15,
因为y=3x-15,y=均为增函数,
所以f(x)为增函数,
又f(4)=-1<0,f(5)=>0,
所以该公司第5年当年的纯利润开始为正数.
13.函数y=(1-k)x2-2x-1有唯一零点,则实数k的值为 .
【答案】 1或2
【解析】 ①当1-k=0,即k=1时,y=-2x-1,
令y=-2x-1=0得x=-,所以函数有唯一零点-,
②当1-k≠0时,函数有唯一零点,则Δ=4+4(1-k)=0,解得k=2.综上,实数k的值为1或2.
14.若函数f(x)=x-()x+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,-)
【解析】 函数f(x)=x-()x+a在定义域上单调递增,又函数f(x)=x-()x+a的零点在区间(1,+∞)上,所以f(1)=1-+a<0,解得a<-,所以实数a的取值范围是(-∞,-).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是P(单位:万元)和Q(单位:万元),它们与投入资金t(单位:万元)的关系有经验公式P=,Q=.现将4万元资金投入生产甲、乙两种产品,其中对甲种产品投资x(单位:万元).
(1)试建立总利润y(单位:万元)关于x的函数关系式;
(2)如何安排投入资金使得该企业所获利润最大 并求出所获利润的最大值.
【解】 (1)对甲种产品投资x万元,则对乙种产品投资(4-x)万元,则y=x+·,x∈[0,4].
(2)令m=∈[0,2],则x=4-m2,y=(4-m2)+m=-(m2-2m-4)=-[(m-)2-6]=-(m-)2+2.
当m=,即x=2时,此时y取得最大值2.
所以对甲种产品投资2万元,乙种产品投资2万元,此时该企业所获利润最大,最大利润为2万元.
16.(本小题满分15分)
据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可用公式v=v0ln 计算火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v0(单位:m/s)是喷流相对速度,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”,已知A型火箭的喷流相对速度为500 m/s.
(1)当总质比为200时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度;
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
(参考数据:ln 2≈0.7,ln 5≈1.6,2.718【解】 (1)由已知可得v=500ln 200=500(ln 2+ln 100)=500[ln 2+2(ln 2+ln 5)]
=500(3ln 2+2ln 5)≈2 650 (m/s).
(2)设在材料更新和技术改进前总质比为x,
且v1=v0ln x=500ln x,v2=1 000ln ,
若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,
所以v2-v1=1 000ln -500ln x≥500,
即2ln -ln x≥1,ln()2-ln x=ln ≥1,
所以≥e,
解得x≥4e,
因为2.71817.(本小题满分15分)
已知函数f(x)对一切实数x,y∈R,都有f(x+y)-f(y)=x2+2xy-2x成立,且f(1)=0,f(x)=xg(x),其中x≠0.
(1)求g(x)的解析式;
(2)若关于x的方程g(|2x-1|)+-3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.
【解】 (1)因为f(x+y)-f(y)=x2+2xy-2x=x(x+2y-2),
令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=1-2=-1,
又f(1)=0,所以f(0)=1,
在f(x+y)-f(y)=x(x+2y-2)中,
令y=0,得f(x)-f(0)=x(x-2),
所以f(x)=x2-2x+1,
所以g(x)===x+-2,
且x≠0.
(2)令t=|2x-1|>0,x≠0,
函数t=|2x-1|的图象如图.
方程g(|2x-1|)+-3k=0,
可化为 t+-2+-3k=0,
即t2-(2+3k)t+1+2k=0(t>0),
因为方程g(|2x-1|)+-3k=0有三个不同的实数解,
由函数t=|2x-1|的图象可知,
方程t2-(2+3k)t+1+2k=0有两个不等实根t1,t2,
不妨设t1令h(t)=t2-(2+3k)t+1+2k,
则此时解得k>0,
或此时无解,
综上所述,实数k的取值范围是(0,+∞).
18.(本小题满分17分)
如图,某度假村拟在道路的一侧修建一条趣味滑行赛道,赛道的前一部分为曲线ABM,当x∈[0,3)时,该曲线为二次函数图象的一部分,其中顶点为B(2,1),且过点M(3,2);赛道的后一部分为曲线MN,当x∈[3,9]时,该曲线为函数y=loga(x-1)+b(a>0,且a≠1)图象的一部分,其中点N(9,0).
(1)求函数关系式y=f(x);
(2)已知点P(5,4),函数h(x)=2f(x)-3(3≤x≤9),设点Q是曲线y=h(x)上的任意一点,求线段|PQ|长度的最小值.
【解】 (1)由题意得,当x∈[0,3)时,设f(x)=m(x-2)2+1,因为曲线过点M(3,2),所以m+1=2,所以m=1,所以f(x)=(x-2)2+1=x2-4x+5.
当x∈[3,9]时,把点M(3,2),N(9,0)分别代入y=loga(x-1)+b,
即解得
所以f(x)=
(2)由条件得h(x)===(3≤x≤9).设点Q(x,) (3≤x≤9),又因为点P(5,4),则|PQ|2=(x-1-4)2+(-4)2=(x-1)2-8(x-1)+()2-+32.
令x-1=t(2≤t≤8),则|PQ|2=t2-8t+()2-+32=(t+)2-8(t+)+30,函数u=t+在t∈[2,8]上单调递增,所以u∈[,],|PQ|2=u2-8u+30,则当u=4,即x=3+时,|PQ|min=.
19.(本小题满分17分)
已知f(x)=4x2-ax+1,g(x)=logax,其中a>0,且a≠1.
(1)若 x∈R,f(x)>0,求实数a的取值范围;
(2)用max{a,b}表示a,b中的最大者,设h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)的零点个数.
【解】 (1)因为对 x∈R,f(x)>0恒成立,所以Δ=a2-16<0,解得-40,且a≠1,则实数a的取值范围为(0,1)∪(1,4).
(2)①若00恒成立,此时h(x)无零点;
②若a=4,则当x≠时,h(x)≥f(x)=4x2-4x+1=(2x-1)2>0,
又h()=max{f(),g()}=max{0,log4}=0,所以h(x)恰有1个零点;
③若40,h(x)在(1,+∞)内无零点;当x∈(0,1)时,g(x)<0,又f(0)=1>0,f()=1-<0,f(1)=5-a>0,所以f(x)在区间(0,1)内恰有2个零点,则h(x)在区间(0,1)内恰有2个零点;又h(1)=max{f(1),g(1)}=max{5-a,0}=5-a>0,所以h(x)恰有2个零点;
④若a≥5,则当x∈(1,+∞)时,h(x)≥g(x)>0,h(x)在(1,+∞)内无零点;当x∈(0,1)时,g(x)<0,又f(0)=1>0,f()=1-<0,f(1)=5-a≤0,所以f(x)在区间(0,1)内恰有1个零点,则h(x)在区间(0,1)内恰有1个零点;又h(1)=max{f(1),g(1)}=max{5-a,0}=0,所以h(x)恰有2个零点.
综上所述,当a∈(0,1)∪(1,4)时,h(x)的零点个数为0;当a=4时,h(x)的零点个数为1;当a∈(4,+∞)时,h(x)的零点个数为2.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第五章 检测试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知x=1是函数f(x)=2x+mx-5的零点,则m为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 依题意,f(1)=0,即2+m-5=0,所以m=3.故选C.
2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
A.y=log2|x| B.y=2x-1
C.y=ln x D.y=x2+1
【答案】 A
【解析】 由于y=2x-1,y=ln x是非奇非偶函数,y=x2+1是偶函数但没有零点,只有y=log2|x|是偶函数又有零点.故选A.
3.函数f(x)=2x+log2x-的零点所在的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,5)
【答案】 C
【解析】 因为y=2x是R上的增函数,y=log2x是(0,+∞)上的增函数,所以f(x)=2x+log2x-是(0,+∞)上的增函数,则f(x)若有零点一定唯一,
因为f(1)=21+log21-=2-<0,f(2)=22+log22-=5-<0,
且f(3)=23+log23-=log23->log22-=0,所以f(2)·f(3)<0,可得f(x)的零点属于区间(2,3).故选C.
4.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-k(0A.2 B.1或2 C.3 D.1或3
【答案】 A
【解析】 由f(x)-k=0得f(x)=k,
在同一坐标系内作出函数y=f(x)和直线y=k的图象,
如图所示,由函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-k(0则两函数图象有两个交点.故选A.
5.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同,之后甲通过学习,“日能力值”都在前一天的基础上进步2%,而乙疏于学习,“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么,大约需要经过多少天,甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据:lg 102≈2.008 6,lg 99≈1.995 6,lg 2≈0.301 0)( )
A.23 B.100 C.150 D.232
【答案】 B
【解析】 设甲和乙刚开始的“日能力值”为1,则n天后,甲、乙的“日能力值”分别为(1+2%)n,
(1-1%)n,
依题意,=20,即()n=20,两边取常用对数得nlg=lg 20,
因此n=≈≈100,
所以大约需要经过100天,甲的“日能力值”是乙的20倍.故选B.
6.国外一生物学家和人口统计学家提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线,称为“皮尔曲线”.常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f(x)=(P>0,a>1,k<0)的形式.已知f(x)=(x∈N)描述的是一种植物的高度随着时间x(单位:年)变化的规律.若刚栽种时该植物的高为1 m,经过一年,该植物的高为1.5 m,要让该植物的高度超过2.8 m,至少需要( )
A.3年 B.4年 C.5年 D.6年
【答案】 C
【解析】 依题意可得则
解得所以f(x)=,x∈N,
因为y=1+2-x+1在定义域上单调递减,且1+2-x+1>0,又y=在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在其定义域上单调递增,而f(5)==>2.8,f(4)==<2.8,即f(4)<2.87.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a+b+c等于( )
A.0 B.2 C.4 D.6
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,
h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,所以2a+a=0,log2b+b=0,c3+c=0,
所以2a=-a,log2b=-b,c3=-c,
所以a,b,c即为函数y=-x分别与y=2x,y=log2x,y=x3图象的交点的横坐标,
作出函数图象如下.
因为y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称,且直线y=-x与y=x互相垂直,
所以a+b=0,c=0,所以a+b+c=0.故选A.
8.已知函数f(x)=若关于x的方程f(f(x))=0有且仅有两个实数根,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1) B.(-∞,0)∪(0,1)
C.[1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)
【答案】 C
【解析】 令u=f(x),则f(u)=0.
①当a=0时,若u≤0,f(u)=0;
若u>0,由f(u)=log2u=0,得u=1.
所以由f(f(x))=0,可得f(x)≤0或f(x)=1.
如图所示,满足f(x)≤0的x有无数个,方程f(x)=1只有一个解,不满足题意;
②当a≠0时,若u≤0,
则f(u)=a·2u≠0;
若u>0,由f(u)=log2u=0,得u=1.
所以由f(f(x))=0,可得f(x)=1,
当x>0时,由f(x)=log2x=1,可得x=2,
因为关于x的方程f(f(x))=0有且仅有两个实数根,则方程f(x)=1在(-∞,0]上有且仅有一个实数根,
若a>0且x≤0,f(x)=a·2x∈(0,a],故a≥1;
若a<0且x≤0,f(x)=a·2x<0,不满足题意.
综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).故选C.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.某工厂12年来某产品总产量S与时间t(单位:年)的函数关系如图所示,下列四个选项中,正确的是( )
A.前三年总产量增长的速度越来越快
B.前三年总产量增长的速度越来越慢
C.第3年后至第8年这种产品停止生产了
D.第8年后至第12年间总产量匀速增加
【答案】 BCD
【解析】 对于A,B,根据图象可知前三年总产量增长的速度是先快后慢,即增长速度越来越慢,A错误,B正确;对于C,第3～8年总产量未发生变化,可见产品停止生产了,C正确;对于D,第8～12年,总产量模型为直线模型,体现为匀速增长,D正确.故选B,C,D.
10.某同学求函数f(x)=ln x+2x-6.5的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示:
f(2)≈-1.807 f(3)≈0.599 f(2.5)≈-0.584
f(2.75)≈0.012 f(2.625)≈-0.285 f(2.687 5)≈-0.136
则方程ln x+2x-6.5=0的近似解(精确度0.1)可取为( )
A.2.72 B.2.69 C.2.61 D.2.55
【答案】 AB
【解析】 由函数f(x)=ln x+2x-6.5在(0,+∞)上单调递增,要使得精确度为0.1,结合表格可知,f(2.687 5)≈-0.136<0,f(2.75)≈0.012>0,此时2.75-2.687 5=0.062 5<0.1,
所以方程ln x+2x-6.5=0的近似解在区间[2.687 5,2.75]内.故选A,B.
11.研究表明,地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8
+1.5M,则( )
A.震级为2级的地震释放能量为106.8焦耳
B.释放能量为109.3焦耳的地震震级为3级
C.9级地震释放能量是8级地震释放能量的10倍
D.释放能量之比为1 000∶1的两场地震的震级相差2级
【答案】 BD
【解析】 当M=2时,lg E=4.8+1.5×2=7.8,解得E=107.8,A错误;当E=109.3时,9.3=4.8+1.5M,解得M=3,B正确;令9级地震释放能量为E1,8级地震释放能量为E2,则lg =lg E1-lg E2
=(4.8+1.5×9)-(4.8+1.5×8)=1.5,于是=101.5>10,C错误;释放的能量为E0,对应的震级为M0,释放的能量为1 000E0,对应的震级为M′,则lg E0=4.8+1.5M0,lg 1 000E0=4.8+1.5M′,两式相减得1.5(M′-M0)=3,解得M′-M0=2,D正确.故选B,D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.某公司第x(x∈N*)年的纯利润为f(x)万元,且f(x)=3x+-15,则该公司第 年当年的纯利润(单位:万元)开始为正数.
【答案】 5
【解析】 已知某公司第x(x∈N*)年的纯利润为f(x)万元,且f(x)=3x+-15,
因为y=3x-15,y=均为增函数,
所以f(x)为增函数,
又f(4)=-1<0,f(5)=>0,
所以该公司第5年当年的纯利润开始为正数.
13.函数y=(1-k)x2-2x-1有唯一零点,则实数k的值为 .
【答案】 1或2
【解析】 ①当1-k=0,即k=1时,y=-2x-1,
令y=-2x-1=0得x=-,所以函数有唯一零点-,
②当1-k≠0时,函数有唯一零点,则Δ=4+4(1-k)=0,解得k=2.综上,实数k的值为1或2.
14.若函数f(x)=x-()x+a的零点在区间(1,+∞)上,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,-)
【解析】 函数f(x)=x-()x+a在定义域上单调递增,又函数f(x)=x-()x+a的零点在区间(1,+∞)上,所以f(1)=1-+a<0,解得a<-,所以实数a的取值范围是(-∞,-).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是P(单位:万元)和Q(单位:万元),它们与投入资金t(单位:万元)的关系有经验公式P=,Q=.现将4万元资金投入生产甲、乙两种产品,其中对甲种产品投资x(单位:万元).
(1)试建立总利润y(单位:万元)关于x的函数关系式;
(2)如何安排投入资金使得该企业所获利润最大 并求出所获利润的最大值.
【解】 (1)对甲种产品投资x万元,则对乙种产品投资(4-x)万元,则y=x+·,x∈[0,4].
(2)令m=∈[0,2],则x=4-m2,y=(4-m2)+m=-(m2-2m-4)=-[(m-)2-6]=-(m-)2+2.
当m=,即x=2时,此时y取得最大值2.
所以对甲种产品投资2万元,乙种产品投资2万元,此时该企业所获利润最大,最大利润为2万元.
16.(本小题满分15分)
据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可用公式v=v0ln 计算火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v0(单位:m/s)是喷流相对速度,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为“总质比”,已知A型火箭的喷流相对速度为500 m/s.
(1)当总质比为200时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度;
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
(参考数据:ln 2≈0.7,ln 5≈1.6,2.718【解】 (1)由已知可得v=500ln 200=500(ln 2+ln 100)=500[ln 2+2(ln 2+ln 5)]
=500(3ln 2+2ln 5)≈2 650 (m/s).
(2)设在材料更新和技术改进前总质比为x,
且v1=v0ln x=500ln x,v2=1 000ln ,
若要使火箭的最大速度至少增加500 m/s,
所以v2-v1=1 000ln -500ln x≥500,
即2ln -ln x≥1,ln()2-ln x=ln ≥1,
所以≥e,
解得x≥4e,
因为2.71817.(本小题满分15分)
已知函数f(x)对一切实数x,y∈R,都有f(x+y)-f(y)=x2+2xy-2x成立,且f(1)=0,f(x)=xg(x),其中x≠0.
(1)求g(x)的解析式;
(2)若关于x的方程g(|2x-1|)+-3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.
【解】 (1)因为f(x+y)-f(y)=x2+2xy-2x=x(x+2y-2),
令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=1-2=-1,
又f(1)=0,所以f(0)=1,
在f(x+y)-f(y)=x(x+2y-2)中,
令y=0,得f(x)-f(0)=x(x-2),
所以f(x)=x2-2x+1,
所以g(x)===x+-2,
且x≠0.
(2)令t=|2x-1|>0,x≠0,
函数t=|2x-1|的图象如图.
方程g(|2x-1|)+-3k=0,
可化为 t+-2+-3k=0,
即t2-(2+3k)t+1+2k=0(t>0),
因为方程g(|2x-1|)+-3k=0有三个不同的实数解,
由函数t=|2x-1|的图象可知,
方程t2-(2+3k)t+1+2k=0有两个不等实根t1,t2,
不妨设t1令h(t)=t2-(2+3k)t+1+2k,
则此时解得k>0,
或此时无解,
综上所述,实数k的取值范围是(0,+∞).
18.(本小题满分17分)
如图,某度假村拟在道路的一侧修建一条趣味滑行赛道,赛道的前一部分为曲线ABM,当x∈[0,3)时,该曲线为二次函数图象的一部分,其中顶点为B(2,1),且过点M(3,2);赛道的后一部分为曲线MN,当x∈[3,9]时,该曲线为函数y=loga(x-1)+b(a>0,且a≠1)图象的一部分,其中点N(9,0).
(1)求函数关系式y=f(x);
(2)已知点P(5,4),函数h(x)=2f(x)-3(3≤x≤9),设点Q是曲线y=h(x)上的任意一点,求线段|PQ|长度的最小值.
【解】 (1)由题意得,当x∈[0,3)时,设f(x)=m(x-2)2+1,因为曲线过点M(3,2),所以m+1=2,所以m=1,所以f(x)=(x-2)2+1=x2-4x+5.
当x∈[3,9]时,把点M(3,2),N(9,0)分别代入y=loga(x-1)+b,
即解得
所以f(x)=
(2)由条件得h(x)===(3≤x≤9).设点Q(x,) (3≤x≤9),又因为点P(5,4),则|PQ|2=(x-1-4)2+(-4)2=(x-1)2-8(x-1)+()2-+32.
令x-1=t(2≤t≤8),则|PQ|2=t2-8t+()2-+32=(t+)2-8(t+)+30,函数u=t+在t∈[2,8]上单调递增,所以u∈[,],|PQ|2=u2-8u+30,则当u=4,即x=3+时,|PQ|min=.
19.(本小题满分17分)
已知f(x)=4x2-ax+1,g(x)=logax,其中a>0,且a≠1.
(1)若 x∈R,f(x)>0,求实数a的取值范围;
(2)用max{a,b}表示a,b中的最大者,设h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)的零点个数.
【解】 (1)因为对 x∈R,f(x)>0恒成立,所以Δ=a2-16<0,解得-40,且a≠1,则实数a的取值范围为(0,1)∪(1,4).
(2)①若00恒成立,此时h(x)无零点;
②若a=4,则当x≠时,h(x)≥f(x)=4x2-4x+1=(2x-1)2>0,
又h()=max{f(),g()}=max{0,log4}=0,所以h(x)恰有1个零点;
③若40,h(x)在(1,+∞)内无零点;当x∈(0,1)时,g(x)<0,又f(0)=1>0,f()=1-<0,f(1)=5-a>0,所以f(x)在区间(0,1)内恰有2个零点,则h(x)在区间(0,1)内恰有2个零点;又h(1)=max{f(1),g(1)}=max{5-a,0}=5-a>0,所以h(x)恰有2个零点;
④若a≥5,则当x∈(1,+∞)时,h(x)≥g(x)>0,h(x)在(1,+∞)内无零点;当x∈(0,1)时,g(x)<0,又f(0)=1>0,f()=1-<0,f(1)=5-a≤0,所以f(x)在区间(0,1)内恰有1个零点,则h(x)在区间(0,1)内恰有1个零点;又h(1)=max{f(1),g(1)}=max{5-a,0}=0,所以h(x)恰有2个零点.
综上所述,当a∈(0,1)∪(1,4)时,h(x)的零点个数为0;当a=4时,h(x)的零点个数为1;当a∈(4,+∞)时,h(x)的零点个数为2.
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