(共34张PPT)
§3 不等式
3.1 不等式的性质
1.通过实数大小的比较及不等式性质的证明,提升逻辑推理素养.2.借助不等式性质的应用,提升数学运算素养.
【课程标准要求】
知识点一 两个实数的大小关系的基本事实
对于任意的实数a,b,有以下基本事实:
a>b ;
a=b ;
a
a-b>0
a-b=0
a-b<0
知识点二 不等式的性质
[思考1] 由a≥b,b≥c能否得到a≥c呢 如果a≥b,b>c,能否一定得到a≥c呢
提示:由a≥b,b≥c可以得到a≥c;而如果a≥b,b>c,则一定可以得到a>c.又a≥c包含a>c或a=c,所以a≥c是一定成立的.故如果a≥b,b>c,则一定可以得到a≥c.
[思考2] 两个不同向不等式的两边可以分别相除吗
提示:不可以.两个不同向不等式的两边不能分别相除,在需要求商时,可利用不等式性质转化为同向不等式相乘.
[例1] 某汽车货运公司需要购进一批汽车,且计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元,90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.
题型一 用不等式(组)表示不等关系
·解题策略·
将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
[变式训练] 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于216 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系.
题型二 实数(式)的比较大小
[例2] 比较下列各题中两个代数式的大小:
(1)x2+2x+6与(x+3)(x-1);
【解】 (1)因为x2+2x+6-(x+3)(x-1)=x2+2x+6-(x2+2x-3)=9>0,
所以x2+2x+6>(x+3)(x-1).
(2)x2+y2+2与2(x+2y-2).
【解】 (2)因为x2+y2+2-2(x+2y-2)=(x-1)2+(y-2)2+1>0,
所以x2+y2+2>2(x+2y-2).
·解题策略·
作差比较法比较两式大小的步骤
(1)作差:对要比较大小的两个式子作差.
(2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形.
(3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号.
(4)得出结论.
[变式训练] 已知a=x3+y3,b=x2y+xy2,其中x,y均为正实数,比较a,b的大小.
【解】 因为a=x3+y3,b=x2y+xy2,
作差得a-b=x3+y3-(x2y+xy2)=x2(x-y)+y2(y-x)=(x-y)(x2-y2)=(x+y)(x-y)2,
因为x>0,y>0,所以x+y>0,(x-y)2≥0,
所以a-b≥0,即a≥b.
[例3] (1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac题型三 不等式的性质及其应用
【证明】 (1)因为a>b,c>0,所以ac>bc,
即-ac<-bc.
又e>f,即f·解题策略·
不等式的性质常与比较大小或不等式的证明等问题结合起来考查,此类题目一般可以结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以利用特殊值求解.
D
ABD
【学海拾贝】
利用不等式的性质求范围
已知含有参数的不等式的范围,求其他含有参数的不等式的范围,通常把已知含有参数的不等式看作一个整体来解决,不能根据已知不等式的范围,求解每一个参数的范围,然后利用每一个参数的范围求含有参数的不等式的范围.因为所给的不等式范围,不能保证每一个参数同时取得最大或最小值,这样会使所求的范围增大.
[典例探究] 已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
因为1≤a-b≤2,
所以3≤3(a-b)≤6.
又2≤a+b≤4,
所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10,
即5≤4a-2b≤10.
所以4a-2b的取值范围为[5,10].
[应用探究] 已知1≤a+b≤2,3≤4a+b≤4,求9a+b的取值范围.
当堂检测
1.完成一项装修工程,请木工需支付工资每人400元,请瓦工需支付工资每人500元,要求工人工资不超过20 000元.设请木工x人,瓦工y人,则下列关系式正确的是( )
A.4x+5y≤200 B.4x+5y<200
C.5x+4y≤200 D.5x+4y<200
A
【解析】 由题意知,请木工共需支付400x元,请瓦工共需支付500y元,可得共需支付工资(400x+500y)元.
又工人工资不超过20 000元,
故400x+500y≤20 000,
化简可得4x+5y≤200.
故选A.
2.设M=2a2-4a+7,N=a2-3a+6,则有( )
A.MC.M>N D.M≥N
C
3.已知a>c,b>d,则下列结论正确的是( )
A.ab>cd B.a-b>c-d
C.ab+cd>ad+bc D.|a+b|>|c+d|
C
【解析】 若a=2,c=1,b=-1,d=-2,
则ab=cd=-2,a-b=c-d=3,
|a+b|=|c+d|=1,A,B,D错误.
因为b>d,所以b-d>0,又a>c,
所以a(b-d)>c(b-d) ab+cd>ad+bc,C正确.故选C.
4.已知a>b>c,且a+b+c=0,则b2-4ac 0.(选填“>”“<”或“=”)
>
【解析】 因为a+b+c=0,所以b=-(a+c),
所以b2=a2+c2+2ac.
所以b2-4ac=a2+c2-2ac=(a-c)2.
因为a>c,所以(a-c)2>0,
所以b2-4ac>0.3.1 不等式的性质
基础巩固
1.某同学准备用自己节省的零钱买一套名著.他现在已存60元,计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )
A.30x-60≥400 B.30x+60≥400
C.30x-60≤400 D.30x+40≤400
【答案】 B
【解析】 x个月后他至少有400元,可表示成30x+60≥400.故选B.
2.已知a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是( )
A.若a>b,则2-a>2-b
B.若a>b,则<
C.若ac2>bc2,则a>b
D.若a<-b,则a2【答案】 C
【解析】 若a>b,则-a<-b,故2-a<2-b,A错误;
令a=1,b=-1,满足a>b,但>,故B错误;
对于C,ac2>bc2,则c2>0,故a>b,C正确;
对于D,取a=-2,b=1,满足a<-b;但a2>b2,故D错误.故选C.
3.已知P=a2+4a+1,Q=-b2+2b-4,则( )
A.P>Q B.PC.P≥Q D.P≤Q
【答案】 C
【解析】 因为P-Q=a2+b2+4a-2b+5=(a+2)2+(b-1)2≥0,所以P-Q≥0.故选C.
4.(多选题)下列四个命题正确的是( )
A.若a>b,则>1
B.若>,则a>b
C.若c>a>b>0,则>
D.若a【答案】 BC
【解析】 对于A,取a=1,b=-1,满足a>b,但=-1<1,故A错误;
对于B,因为>,所以c2≠0,故c2>0,所以a>b,故B正确;
对于C,因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0,a-b>0,则-=>0,所以>,故C
正确;
对于D,取a=-2,b=-1,满足a5.已知n∈N*,则+与+的大小关系为( )
A.+>+
B.+<+
C.+=+
D.不能确定
【答案】 B
【解析】 (+)2=n+4+2+n+1=2n+5+2,同理(+)2=2n+5+2.
由n2+5n+6>n2+5n+4得
(+)2>(+)2,
所以+>+.故选B.
6.生活中有这样一个实际问题:如果一杯糖水不够甜,可以选择加糖的方式,使得糖水变得更甜.若b>a>0,n∈R*,则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是( )
A.a+n>b+n B.>
C.a+n【答案】 B
【解析】 若b>a>0,n∈R*,设糖的量为a,糖水的量设为b,添加糖的量为n,
选项A,C不能说明糖水变得更甜;
糖水甜的程度可用浓度体现,而>,能体现糖水变甜,B符合题意;
选项D等价于b7.若x【答案】 M>N
【解析】 因为M-N=(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=-2xy(x-y),且x则-2xy<0,x-y<0,
可得M-N=-2xy(x-y)>0,即M>N.
8.已知-1【答案】 (-3,3)
【解析】 因为1又-19.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受 7.5 折优惠.”乙车队说:“你们属于团体票,按原价的 8 折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.
【解】 设该单位职工有 n(n∈N+) 人去参观学习,一张全票的价格为x元,包甲车队需花y1元,包乙车队需花y2元,
则y1=x+x·(n-1)=x+nx,y2=nx.
所以y1-y2=x+nx-nx=x-nx=x(1-).
当n=5 时,y1=y2;
当n>5 时,y1当n<5 时,y1>y2.
因此,当该单位去的人数为5 时,两车队收费相同;多于 5 时,甲车队更优惠;少于 5 时,乙车队更优惠.
10.(1)设a,b,c,d均为正数,ab=cd且a+b>c+d,求证:+> +.
(2)已知a>0,b>0且a≠b,比较+和a+b的大小.
(1)【证明】 因为ab=cd>0,a+b>c+d>0,所以 a+b+2>c+d+2,
即(+)2>(+)2,
所以 +>+.
(2)【解】 因为a>0,b>0且a≠b,
所以+-(a+b)=-
==
=>0.
所以+>a+b.
能力提升
11.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是 .
【答案】 [-1,20]
【解析】 令m=x-y,n=4x-y,
则
则z=9x-y=n-m.
因为-4≤m≤-1,
所以≤-m≤.
又-1≤n≤5,所以-≤n≤,
所以-1≤z=9x-y=n-m≤20.
12.若0【答案】 x2
【解析】 因为0所以>1,0<<1,0因为=<1,=x<1,
所以x<,x2即x213.购买黄金是一种常见的投资方式.现有两种不同的投资策略:第一种是每次购买黄金定量为m克(m>0),第二种是每次购买黄金定额为n万元(n>0).在黄金价格有波动的情况下,选择一种策略购买黄金两次,以平均单价衡量,哪种购买方式更有利于控制投资成本
【解】 设两次黄金的单价分别为x,y(x>0,y>0,x≠y),
第一种购买方式,黄金的平均单价为
=,
第二种购买方式,黄金的平均单价为
=,
因为-==-,
因为x>0,y>0,x≠y,
所以>0,即-<0,
则<,
所以第二种购买方式,黄金的平均单价较低.
故第二种购买方式更有利于控制投资成本.
应用创新
14.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,有以下四个命题:
(1)以, , 为边长的三角形一定存在;
(2)以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在;
(3)以,,为边长的三角形一定存在;
(4)以ab,bc,ca为边长的三角形一定存在.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 △ABC的三边长分别为a,b,c,不妨设 a≥b≥c,则b+c>a.
对于(1), (+)2-()2=b+c-a+2>0,所以+>,所以以,,为边长的三角形一定存在,故(1)正确;
对于(2),当△ABC为直角三角形时,b2+c2=a2,因此以a2,b2,c2为边长的三角形不一定存在,故(2)不正确;
对于(3),+-=c>0,因此以,,为边长的三角形一定存在,故(3)正确;
对于(4), 取a=5,b=4,c=2,b+c>a,因此a,b,c能构成一个三角形的三边长,而ac+bc21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1 不等式的性质
【课程标准要求】 1.通过实数大小的比较及不等式性质的证明,提升逻辑推理素养.2.借助不等式性质的应用,提升数学运算素养.
知识点一 两个实数的大小关系的基本事实
对于任意的实数a,b,有以下基本事实:
a>b a-b>0;
a=b a-b=0;
a知识点二 不等式的性质
性质 名称 性质内容 注意点
1 传递性 a>c —
2 可加性 a>b a+c>b+c 可逆
3 可乘性 ac>bc c的符号
ac4 同向 可加性 a+c>b+d 同向
5 同向同号 可乘性 ac>bd 同向
ac6 可开方性 a>b>0 > (n∈N+,n≥2) 同正
7 可乘方性 a>b>0 an>bn (n∈N+,n≥2) 同正
[思考1] 由a≥b,b≥c能否得到a≥c呢 如果a≥b,b>c,能否一定得到a≥c呢
提示:由a≥b,b≥c可以得到a≥c;而如果a≥b,b>c,则一定可以得到a>c.又a≥c包含a>c或a=c,所以a≥c是一定成立的.故如果a≥b,b>c,则一定可以得到a≥c.
[思考2] 两个不同向不等式的两边可以分别相除吗
提示:不可以.两个不同向不等式的两边不能分别相除,在需要求商时,可利用不等式性质转化为同向不等式相乘.
题型一 用不等式(组)表示不等关系
[例1] 某汽车货运公司需要购进一批汽车,且计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元,90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.
【解】 设分别购买A型汽车和B型汽车x辆,y辆,
则即
将不等关系表示成不等式(组)的思路
(1)读懂题意,找准不等式所联系的量.
(2)用适当的不等号连接.
(3)多个不等关系用不等式组表示.
[变式训练] 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于216 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系.
【解】 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18 m,所以0这时菜园的另一条边长为=(15-)(m).
因此菜园面积S=x·(15-),
依题意有S≥216,
即x(15-)≥216,
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
题型二 实数(式)的比较大小
[例2] 比较下列各题中两个代数式的大小:
(1)x2+2x+6与(x+3)(x-1);
(2)x2+y2+2与2(x+2y-2).
【解】 (1)因为x2+2x+6-(x+3)(x-1)=x2+2x+6-(x2+2x-3)=9>0,
所以x2+2x+6>(x+3)(x-1).
(2)因为x2+y2+2-2(x+2y-2)=(x-1)2+(y-2)2+1>0,
所以x2+y2+2>2(x+2y-2).
作差比较法比较两式大小的步骤
(1)作差:对要比较大小的两个式子作差.
(2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形.
(3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号.
(4)得出结论.
[变式训练] 已知a=x3+y3,b=x2y+xy2,其中x,y均为正实数,比较a,b的大小.
【解】 因为a=x3+y3,b=x2y+xy2,
作差得a-b=x3+y3-(x2y+xy2)=x2(x-y)+y2(y-x)=(x-y)(x2-y2)=(x+y)(x-y)2,
因为x>0,y>0,所以x+y>0,(x-y)2≥0,
所以a-b≥0,即a≥b.
题型三 不等式的性质及其应用
[例3] (1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac(2)已知a>b>0,c.
【证明】 (1)因为a>b,c>0,所以ac>bc,
即-ac<-bc.
又e>f,即f(2)因为c-d>0,
又a>b>0,
所以a+(-c)>b+(-d)>0,
即a-c>b-d>0,
所以0<<,
又e<0,所以>.
不等式的性质常与比较大小或不等式的证明等问题结合起来考查,此类题目一般可以结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以利用特殊值求解.
[变式训练] (1)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的是( )
A.a2C.ac>bd D.->0
(2)(多选题)若aA.a2>b2 B.ab>b2
C.< D.>
【答案】 (1)D (2)ABD
【解析】 (1)当a=3,c=-2,d=-3时,a2>cd,故A错误;当a=3,b=1,c=-2,d=-3时,a-c>b-d,ac<
bd,故B,C错误;因为a>b>0>c>d,所以-=>=>0,故->0,故D正确.故选D.
(2)由a|b|,则a2>b2,A正确;由ab2,B正确;由a,D正确.故选A,B,D.
【学海拾贝】
利用不等式的性质求范围
已知含有参数的不等式的范围,求其他含有参数的不等式的范围,通常把已知含有参数的不等式看作一个整体来解决,不能根据已知不等式的范围,求解每一个参数的范围,然后利用每一个参数的范围求含有参数的不等式的范围.因为所给的不等式范围,不能保证每一个参数同时取得最大或最小值,这样会使所求的范围增大.
[典例探究] 已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.
【解】 法一(待定系数法) 因为4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(-m+n)b,
所以解得
所以4a-2b=3(a-b)+(a+b).
因为1≤a-b≤2,
所以3≤3(a-b)≤6.
又2≤a+b≤4,
所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10,
即5≤4a-2b≤10.
所以4a-2b的取值范围为[5,10].
法二(换元法) 设
则a=,b=.
所以4a-2b=2(x+y)-(y-x)=3x+y,
而1≤x=a-b≤2,
2≤y=a+b≤4,
所以5≤4a-2b≤10.
所以4a-2b的取值范围为[5,10].
[应用探究] 已知1≤a+b≤2,3≤4a+b≤4,求9a+b的取值范围.
【解】 设9a+b=m(a+b)+n(4a+b)=(m+4n)a+(m+n)b,
所以解得
所以9a+b=-(a+b)+(4a+b),
因为1≤a+b≤2,3≤4a+b≤4,
所以≤9a+b≤9.
当堂检测
1.完成一项装修工程,请木工需支付工资每人400元,请瓦工需支付工资每人500元,要求工人工资不超过20 000元.设请木工x人,瓦工y人,则下列关系式正确的是( )
A.4x+5y≤200 B.4x+5y<200
C.5x+4y≤200 D.5x+4y<200
【答案】 A
【解析】 由题意知,请木工共需支付400x元,请瓦工共需支付500y元,可得共需支付工资(400x+500y)元.
又工人工资不超过20 000元,
故400x+500y≤20 000,
化简可得4x+5y≤200.
故选A.
2.设M=2a2-4a+7,N=a2-3a+6,则有( )
A.MC.M>N D.M≥N
【答案】 C
【解析】 因为M-N=2a2-4a+7-a2+3a-6=a2-a+1=(a-)2+>0,所以M>N.故选C.
3.已知a>c,b>d,则下列结论正确的是( )
A.ab>cd B.a-b>c-d
C.ab+cd>ad+bc D.|a+b|>|c+d|
【答案】 C
【解析】 若a=2,c=1,b=-1,d=-2,
则ab=cd=-2,a-b=c-d=3,
|a+b|=|c+d|=1,A,B,D错误.
因为b>d,所以b-d>0,又a>c,
所以a(b-d)>c(b-d) ab+cd>ad+bc,C正确.故选C.
4.已知a>b>c,且a+b+c=0,则b2-4ac 0.(选填“>”“<”或“=”)
【答案】 >
【解析】 因为a+b+c=0,所以b=-(a+c),
所以b2=a2+c2+2ac.
所以b2-4ac=a2+c2-2ac=(a-c)2.
因为a>c,所以(a-c)2>0,
所以b2-4ac>0.
基础巩固
1.某同学准备用自己节省的零钱买一套名著.他现在已存60元,计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是( )
A.30x-60≥400 B.30x+60≥400
C.30x-60≤400 D.30x+40≤400
【答案】 B
【解析】 x个月后他至少有400元,可表示成30x+60≥400.故选B.
2.已知a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是( )
A.若a>b,则2-a>2-b
B.若a>b,则<
C.若ac2>bc2,则a>b
D.若a<-b,则a2【答案】 C
【解析】 若a>b,则-a<-b,故2-a<2-b,A错误;
令a=1,b=-1,满足a>b,但>,故B错误;
对于C,ac2>bc2,则c2>0,故a>b,C正确;
对于D,取a=-2,b=1,满足a<-b;但a2>b2,故D错误.故选C.
3.已知P=a2+4a+1,Q=-b2+2b-4,则( )
A.P>Q B.PC.P≥Q D.P≤Q
【答案】 C
【解析】 因为P-Q=a2+b2+4a-2b+5=(a+2)2+(b-1)2≥0,所以P-Q≥0.故选C.
4.(多选题)下列四个命题正确的是( )
A.若a>b,则>1
B.若>,则a>b
C.若c>a>b>0,则>
D.若a【答案】 BC
【解析】 对于A,取a=1,b=-1,满足a>b,但=-1<1,故A错误;
对于B,因为>,所以c2≠0,故c2>0,所以a>b,故B正确;
对于C,因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0,a-b>0,则-=>0,所以>,故C
正确;
对于D,取a=-2,b=-1,满足a5.已知n∈N*,则+与+的大小关系为( )
A.+>+
B.+<+
C.+=+
D.不能确定
【答案】 B
【解析】 (+)2=n+4+2+n+1=2n+5+2,同理(+)2=2n+5+2.
由n2+5n+6>n2+5n+4得
(+)2>(+)2,
所以+>+.故选B.
6.生活中有这样一个实际问题:如果一杯糖水不够甜,可以选择加糖的方式,使得糖水变得更甜.若b>a>0,n∈R*,则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是( )
A.a+n>b+n B.>
C.a+n【答案】 B
【解析】 若b>a>0,n∈R*,设糖的量为a,糖水的量设为b,添加糖的量为n,
选项A,C不能说明糖水变得更甜;
糖水甜的程度可用浓度体现,而>,能体现糖水变甜,B符合题意;
选项D等价于b7.若x【答案】 M>N
【解析】 因为M-N=(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=-2xy(x-y),且x则-2xy<0,x-y<0,
可得M-N=-2xy(x-y)>0,即M>N.
8.已知-1【答案】 (-3,3)
【解析】 因为1又-19.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受 7.5 折优惠.”乙车队说:“你们属于团体票,按原价的 8 折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.
【解】 设该单位职工有 n(n∈N+) 人去参观学习,一张全票的价格为x元,包甲车队需花y1元,包乙车队需花y2元,
则y1=x+x·(n-1)=x+nx,y2=nx.
所以y1-y2=x+nx-nx=x-nx=x(1-).
当n=5 时,y1=y2;
当n>5 时,y1当n<5 时,y1>y2.
因此,当该单位去的人数为5 时,两车队收费相同;多于 5 时,甲车队更优惠;少于 5 时,乙车队更优惠.
10.(1)设a,b,c,d均为正数,ab=cd且a+b>c+d,求证:+> +.
(2)已知a>0,b>0且a≠b,比较+和a+b的大小.
(1)【证明】 因为ab=cd>0,a+b>c+d>0,所以 a+b+2>c+d+2,
即(+)2>(+)2,
所以 +>+.
(2)【解】 因为a>0,b>0且a≠b,
所以+-(a+b)=-
==
=>0.
所以+>a+b.
能力提升
11.已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是 .
【答案】 [-1,20]
【解析】 令m=x-y,n=4x-y,
则
则z=9x-y=n-m.
因为-4≤m≤-1,
所以≤-m≤.
又-1≤n≤5,所以-≤n≤,
所以-1≤z=9x-y=n-m≤20.
12.若0【答案】 x2
【解析】 因为0所以>1,0<<1,0因为=<1,=x<1,
所以x<,x2即x213.购买黄金是一种常见的投资方式.现有两种不同的投资策略:第一种是每次购买黄金定量为m克(m>0),第二种是每次购买黄金定额为n万元(n>0).在黄金价格有波动的情况下,选择一种策略购买黄金两次,以平均单价衡量,哪种购买方式更有利于控制投资成本
【解】 设两次黄金的单价分别为x,y(x>0,y>0,x≠y),
第一种购买方式,黄金的平均单价为
=,
第二种购买方式,黄金的平均单价为
=,
因为-==-,
因为x>0,y>0,x≠y,
所以>0,即-<0,
则<,
所以第二种购买方式,黄金的平均单价较低.
故第二种购买方式更有利于控制投资成本.
应用创新
14.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,有以下四个命题:
(1)以, , 为边长的三角形一定存在;
(2)以a2,b2,c2为边长的三角形一定存在;
(3)以,,为边长的三角形一定存在;
(4)以ab,bc,ca为边长的三角形一定存在.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 △ABC的三边长分别为a,b,c,不妨设 a≥b≥c,则b+c>a.
对于(1), (+)2-()2=b+c-a+2>0,所以+>,所以以,,为边长的三角形一定存在,故(1)正确;
对于(2),当△ABC为直角三角形时,b2+c2=a2,因此以a2,b2,c2为边长的三角形不一定存在,故(2)不正确;
对于(3),+-=c>0,因此以,,为边长的三角形一定存在,故(3)正确;
对于(4), 取a=5,b=4,c=2,b+c>a,因此a,b,c能构成一个三角形的三边长,而ac+bc21世纪教育网(www.21cnjy.com)