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3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式(一)
1.通过推导基本不等式,提升逻辑推理、直观想象素养.2.灵活变换条件使用基本不等式解决问题,培养逻辑推理能力,提升数学运算素养.
【课程标准要求】
知识点一 重要不等式
xy
x=y
知识点二 基本不等式
a=b
算术
平均值
几何平均值
大于或等于
题型一 对基本不等式的理解
其中正确的推导为( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
B
·解题策略·
②
题型二 利用基本不等式比较大小
B
B
·解题策略·
利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a≥0,b≥0.
D
题型三 用基本不等式证明不等式
·解题策略·
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助基本不等式、不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(2)注意事项:多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用.
【学海拾贝】
对基本不等式的灵活应用
我们在利用基本不等式解决问题时,如果所给的式子不能直接利用基本不等式求解,那么我们需要根据所给的条件,将其进行适当的变换,配凑成基本不等式的形式,再利用基本不等式求解.
·解题策略·
(1)条件不等式的证明,要将待证不等式与已知条件结合起来考虑,比如本题通过1的代换,将不等式的左边化成齐次式,一方面为使用基本不等式创造条件,另一方面可实现约分,与不等式的右边建立联系.
(2)先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质(注意限制条件),通过相加(乘)合成为待证的不等式,既是运用基本不等式的一种重要技能,也是证明不等式的一种常用方法.
当堂检测
B
C
B3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式(一)
基础巩固
1.若a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是( )
A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|
C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab|
【答案】 A
【解析】 a2+b2=|a|2+|b|2≥2|ab|.故选A.
2.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x<2y
【答案】 B
【解析】 基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数,又x-2y≠0,所以x-2y>0,即x>2y.故选B.
3.给出下列条件:
①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.
其中可使+≥2成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 显然①③④成立.故选C.
4.下列不等式以及不等式中的等号一定成立的是( )
A.+≥2
B.x+3+≥2(其中x>-3)
C.≥2
D.x-1+≥2(其中x>2)
【答案】 B
【解析】 对于A,当x<0时,不等式不成立,A错误;对于B,因为x>-3,所以x+3>0,所以x+3+≥2=2,当且仅当x+3=,即x=-2时,等号成立,B正确;对于C,因为≥2,所以==+≥2=2,当且仅当=,即=1时,等号成立,又≥2,所以等号取不到,C错误;对于D,因为x>2,所以x-1>1,所以x-1+≥2=2,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立,又x>2,所以等号取不到,D错误.故选B.
5.(多选题)设a>0,b>0,则下列不等式恒成立的有( )
A.a2+1>a
B.(a+)(b+)≥4
C.(a+b)(+)≥4
D.a2+9>6a
【答案】 ABC
【解析】 a2+1-a=(a-)2+>0,故A恒成立;(a+)(b+)=ab+++≥2+2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立,故B恒成立;(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b时, 等号成立,故C恒成立;当a=3时,a2+9=6a,故D不恒成立.故选A,B,C.
6.杠杆原理是使用天平称物品的理论基础,当天平平衡时,左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ(λ≠1).一名顾客到店里购买20克黄金,售货员先将10克砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,再将10克砝码放在天平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将两次称得的黄金交给顾客,则顾客购得的黄金质量( )
A.大于20克
B.小于20克
C.等于20克
D.当λ>1时,大于20克;当λ∈(0,1)时,小于20克
【答案】 A
【解析】 设第一次取出的黄金质量为a克,第二次取出的黄金质量为b克,由题意可得a=10λ,λb=10,
所以b=.又λ>0且λ≠1,
所以a+b=10λ+=10(λ+)≥10×2=20,当且仅当λ=,即λ=1时,等号成立.
又因为λ≠1,等号不成立,所以a+b>20.故选A.
7.不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是 .
【答案】 x=5
【解析】 由基本不等式知等号成立的条件为=x-2,即x=5(x=-1舍去).
8.已知实数a,b满足ab=1,c=a+b,则a+b的取值范围是 .
【答案】 {c|c≤-2或c≥2}
【解析】 因为ab=1,所以a≠0,且b≠0,
所以b=,所以c=a+b=a+.
当a>0时,c=a+≥2=2,当且仅当a==1时,等号成立;
当a<0时,c=a+b=a+=-[(-a)+]≤-2=-2,
当且仅当a==-1时,等号成立.
综上所述,c≤-2或c≥2.
9.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c<++.
【证明】 因为a,b,c都是正实数,且abc=1,
所以+≥=2c,+≥=2a,
+≥=2b,
以上三个不等式相加,得2(++)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.
因为a,b,c不全相等,所以上述三个不等式中的“=”不都同时成立,所以a+b+c<++.
10.已知a,b,c>0,且a+b+c=3,求证:
(1)++≥3;
(2)++≥3.
【证明】 (1)由题意得(a+b+c)=1,
所以++=(a+b+c)(++)=(++++++3)≥
(2+2+2+3)=3,
当且仅当a=b=c=1时,等号成立.
(2)因为a2+b2≥2ab,所以2a2+2b2≥(a+b)2,
即≥(a+b).
同理可得≥(a+c),≥(b+c),
所以++≥(2a+2b+2c)=3,当且仅当a=b=c=1时,等号成立.
能力提升
11.(多选题)下面四个不等式恒成立的是( )
A.>
B.a(1-a)≤
C.a2+b2+c2≥ab+bc+ca
D.+≥2
【答案】 BC
【解析】 对于A,取a=b=-1,则=-1,=1,所以>不成立,故A错误;对于B,a(1-a)≤[]2=,当且仅当a=1-a,即a=时,等号成立,故B正确;对于C,因为(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab;同理可证,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,相加得,a2+b2+c2≥ab+bc+ca.即证.故C正确;对于D,取a=1,b=-1,则+=-2,所以+≥2不成立.故D错误.故选B,C.
12.某工厂的产值第二年比第一年的增长率是p1,第三年比第二年的增长率是p2,而这两年的平均增长率为p,在p1+p2为定值的情况下,p的最大值为 .(用p1,p2表示)
【答案】
【解析】 根据题意,(1+p)2=(1+p1)(1+p2),
整理得,1+p=≤
=1+,
故p≤,当且仅当p1=p2时,等号成立.
13.设a>0,b>0,a+b=2.求证:
(1)≥4;
(2)a3+b3≥2.
【证明】 已知a>0,b>0,a+b=2.
(1)==1+,
易知ab≤=1(当且仅当a=b=1时,等号成立),
所以1+≥1+=4,即≥4.
(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=a3+b3+3ab(a+b)=a3+b3+6ab
≤a3+b3+6×=a3+b3+6,
当且仅当a=b=1时取等号,
又(a+b)3=23=8,所以a3+b3≥2.
应用创新
14.定义min{p,q,r}表示p,q,r中的最小值.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=-1,则( )
A.min{a,b,c}的最大值是-1
B.min{a,b,c}的最大值是-
C.min{a,b,c}的最小值是-1
D.min{a,b,c}的最小值是-
【答案】 B
【解析】 因为abc=-1,所以在a,b,c中,负数的个数为1或3.又a+b+c=0,所以在a,b,c中,有1个为负数,2个为正数.不妨设c<0,则min{a,b,c}=c.因为2≤a+b=-c,所以ab=-≤,因为c<0,所以≤-1,则c≤-,故min{a,b,c}的最大值是-,无最小值.故选B.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式(一)
【课程标准要求】 1.通过推导基本不等式,提升逻辑推理、直观想象素养.2.灵活变换条件使用基本不等式解决问题,培养逻辑推理能力,提升数学运算素养.
知识点一 重要不等式
对于任意实数x和y,≥xy,当且仅当x=y时,等号成立.
知识点二 基本不等式
如果a≥0,b≥0,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立.
这个不等式称为基本不等式,又称为均值不等式,其中,称为a,b的算术平均值, 称为a,b的几何平均值,可表述为两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.
[思考] 重要不等式≥ab和基本不等式≥ 成立的条件有什么不同
提示:重要不等式≥ab对任意实数a,b都成立;基本不等式≥中要求a,b都是非负实数.
题型一 对基本不等式的理解
[例1] 给出下列三个推导过程:
①因为a,b为正实数,所以+≥2=2;
②因为a∈R,a≠0,所以+a≥2=4;
③因为x,y∈R,xy<0,所以+=-[(-)+(-)]≤
-2=-2.
其中正确的推导为( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
【答案】 B
【解析】 ①因为a,b为正实数,所以,为正实数,符合基本不等式的条件,故①的推导正确.
②因为a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,
所以+a≥2=4是错误的.
③由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,-,-均变为正数,符合基本不等式的条件,故③正确.故选B.
(1)基本不等式≤(a≥0,b≥0)反映了两个非负实数的和与积之间的关系.
(2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:
①定理成立的条件是a,b都是非负实数;
②“当且仅当”的含义:a=b =;反之= a=b.
[变式训练] 下列不等式的推导过程正确的是 (填序号).
①若x>1,则x+≥2=2.
②若x<0,则x+=-[(-x)+(-)]≤-2=-4.
③若a,b∈R,则+≥2=2.
【答案】 ②
【解析】 ①中忽视了基本不等式等号成立的条件,当x=,即x=1时,x+≥2等号成立,因为x>1,所以x+>2,③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为非负实数这一条件.
题型二 利用基本不等式比较大小
[例2] (1)已知a,b为正实数,A=,=+,G=,则( )
A.G≤H≤A B.H≤G≤A
C.G≤A≤H D.H≤A≤G
(2)某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则( )
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
【答案】 (1)B (2)B
【解析】 (1)因为a,b为正实数,所以A=≥=G,当且仅当a=b时,等号成立.=+≥2=,所以H≤,当且仅当a=b时,等号成立.综上,H≤G≤A.故选B.
(2)由题意知,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,
所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤()2=(1+)2,当且仅当a=b时,等号成立.
所以1+x≤1+,
所以x≤.
故选B.
利用基本不等式比较实数大小的注意事项
(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积).
(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a≥0,b≥0.
[变式训练] 已知a,b>1且a≠b,下列各式中最大的是( )
A. B. C. D.()2
【答案】 D
【解析】 因为a,b>1,a≠b,则+>,所以<<,
可得在选项A,B,C中,选项C最大,
又a,b>1,故>1,
所以()2>,
故选D.
题型三 用基本不等式证明不等式
[例3] 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)a2+b2+c2≥;
(2)++≥1.
【证明】 (1)由a+b+c=1,得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1,
又由基本不等式可知当a,b,c均为正数时,2ab≤a2+b2,2ac≤a2+c2,2bc≤b2+c2,
当且仅当a=b=c=时,上述不等式等号同时成立,
所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3a2+3b2+3c2,
即3(a2+b2+c2)≥1,
所以a2+b2+c2≥,当且仅当a=b=c=时等号成立.
(2)因为a,b,c均为正数,
则+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,当且仅当a=b=c=时,
不等式等号同时成立,
则+++b+c+a≥2a+2b+2c,
即++≥a+b+c=1,当且仅当a=b=c=时等号成立.
所以++≥1.
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助基本不等式、不等式的性质和有关
定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.
(2)注意事项:多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用.
[变式训练] 设x>0,y>0,求证:≥.
【证明】 因为x>0,y>0,
所以要证≥,只需证1≥,
只需证x+y≥2,
根据基本不等式可知x+y≥2显然成立,当且仅当x=y时等号成立,
所以≥成立,命题得证.
【学海拾贝】
对基本不等式的灵活应用
我们在利用基本不等式解决问题时,如果所给的式子不能直接利用基本不等式求解,那么我们需要根据所给的条件,将其进行适当的变换,配凑成基本不等式的形式,再利用基本不等式求解.
[典例探究] 已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,求证:++>9.
【证明】 因为a,b,c∈R+,且a+b+c=1,
所以++=++
=3++++++
=3+(+)+(+)+(+)
≥3+2+2+2
=3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c时取等号,
又a,b,c互不相等,所以++>9.
(1)条件不等式的证明,要将待证不等式与已知条件结合起来考虑,比如本题通过1的代换,将不等式的左边化成齐次式,一方面为使用基本不等式创造条件,另一方面可实现约分,与不等式的右边建立联系.
(2)先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质(注意限制条件),通过相加(乘)合成为待证的不等式,既是运用基本不等式的一种重要技能,也是证明不等式的一种常用方法.
[应用探究] 本例条件不变,求证:(-1)(-1)·(-1)>8.
【证明】 因为a,b,c∈R+,且a+b+c=1,
所以-1=>0,-1=>0,
-1=>0,
所以(-1)(-1)(-1)=··≥=8,
当且仅当a=b=c时取等号.
又a,b,c互不相等,
所以(-1)(-1)(-1)>8.
当堂检测
1.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的关系是( )
A.x>y B.x
C.x>y D.y【答案】 B
【解析】 x2=≤=a+b,因为a,b是不相等的正数,所以等号取不到,即x20,y>0,所以 x2.“x>0”是“x+≥2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 当x>0时,利用基本不等式可得x+≥2成立;反之x+≥2时,因为x,同号,x<0时,显然不成立,所以x>0.故选C.
3.下列不等式恒成立的是( )
A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2ab
C.a+b≥-2 D.a+b≤2
【答案】 B
【解析】 由重要不等式可知a2+b2≥2ab,故A不正确;
由(a+b)2=a2+b2+2ab≥0,可得a2+b2≥-2ab,故B正确;
当a=-1,b=0时,a+b≥-2不成立,故C不正确;
当a=0,b=1时,a+b≤2不成立,故D不正确.
故选B.
4.已知a>b>c,则与的大小关系是 .
【答案】 ≤
【解析】 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,
所以≤=,当且仅当a-b=b-c,即a+c=2b时,等号成立.
基础巩固
1.若a,b∈R,则a2+b2与2|ab|的大小关系是( )
A.a2+b2≥2|ab| B.a2+b2=2|ab|
C.a2+b2≤2|ab| D.a2+b2>2|ab|
【答案】 A
【解析】 a2+b2=|a|2+|b|2≥2|ab|.故选A.
2.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为( )
A.x≥2y B.x>2y
C.x≤2y D.x<2y
【答案】 B
【解析】 基本不等式成立的前提条件是各项均为非负数,又x-2y≠0,所以x-2y>0,即x>2y.故选B.
3.给出下列条件:
①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.
其中可使+≥2成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 显然①③④成立.故选C.
4.下列不等式以及不等式中的等号一定成立的是( )
A.+≥2
B.x+3+≥2(其中x>-3)
C.≥2
D.x-1+≥2(其中x>2)
【答案】 B
【解析】 对于A,当x<0时,不等式不成立,A错误;对于B,因为x>-3,所以x+3>0,所以x+3+≥2=2,当且仅当x+3=,即x=-2时,等号成立,B正确;对于C,因为≥2,所以==+≥2=2,当且仅当=
,即=1时,等号成立,又≥2,所以等号取不到,C错误;对于D,因为x>2,所以x-1>1,所以x-1+≥2=2,当且仅当x-1=,即x=2时等号成立,又x>2,所以等号取不到,D错误.故选B.
5.(多选题)设a>0,b>0,则下列不等式恒成立的有( )
A.a2+1>a
B.(a+)(b+)≥4
C.(a+b)(+)≥4
D.a2+9>6a
【答案】 ABC
【解析】 a2+1-a=(a-)2+>0,故A恒成立;(a+)(b+)=ab+++≥2+2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立,故B恒成立;(a+b)(+)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b时, 等号成立,故C恒成立;当a=3时,a2+9=6a,故D不恒成立.故选A,B,C.
6.杠杆原理是使用天平称物品的理论基础,当天平平衡时,左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ(λ≠1).一名顾客到店里购买20克黄金,售货员先将10克砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,再将10克砝码放在天平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将两次称得的黄金交给顾客,则顾客购得的黄金质量( )
A.大于20克
B.小于20克
C.等于20克
D.当λ>1时,大于20克;当λ∈(0,1)时,小于20克
【答案】 A
【解析】 设第一次取出的黄金质量为a克,第二次取出的黄金质量为b克,由题意可得a=10λ,λb=10,
所以b=.又λ>0且λ≠1,
所以a+b=10λ+=10(λ+)≥10×2=20,当且仅当λ=,即λ=1时,等号成立.
又因为λ≠1,等号不成立,所以a+b>20.故选A.
7.不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是 .
【答案】 x=5
【解析】 由基本不等式知等号成立的条件为=x-2,即x=5(x=-1舍去).
8.已知实数a,b满足ab=1,c=a+b,则a+b的取值范围是 .
【答案】 {c|c≤-2或c≥2}
【解析】 因为ab=1,所以a≠0,且b≠0,
所以b=,所以c=a+b=a+.
当a>0时,c=a+≥2=2,当且仅当a==1时,等号成立;
当a<0时,c=a+b=a+=-[(-a)+]≤-2=-2,
当且仅当a==-1时,等号成立.
综上所述,c≤-2或c≥2.
9.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1.求证:a+b+c<++.
【证明】 因为a,b,c都是正实数,且abc=1,
所以+≥=2c,+≥=2a,
+≥=2b,
以上三个不等式相加,得2(++)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.
因为a,b,c不全相等,所以上述三个不等式中的“=”不都同时成立,所以a+b+c<++.
10.已知a,b,c>0,且a+b+c=3,求证:
(1)++≥3;
(2)++≥3.
【证明】 (1)由题意得(a+b+c)=1,
所以++=(a+b+c)(++)=(++++++3)≥
(2+2+2+3)=3,
当且仅当a=b=c=1时,等号成立.
(2)因为a2+b2≥2ab,所以2a2+2b2≥(a+b)2,
即≥(a+b).
同理可得≥(a+c),≥(b+c),
所以++≥(2a+2b+2c)=3,当且仅当a=b=c=1时,等号成立.
能力提升
11.(多选题)下面四个不等式恒成立的是( )
A.>
B.a(1-a)≤
C.a2+b2+c2≥ab+bc+ca
D.+≥2
【答案】 BC
【解析】 对于A,取a=b=-1,则=-1,=1,所以>不成立,故A错误;对于B,
a(1-a)≤[]2=,当且仅当a=1-a,即a=时,等号成立,故B正确;对于C,因为(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab;同理可证,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,相加得,a2+b2+c2≥ab+bc+ca.即证.故C正确;对于D,取a=1,b=-1,则+=-2,所以+≥2不成立.故D错误.故选B,C.
12.某工厂的产值第二年比第一年的增长率是p1,第三年比第二年的增长率是p2,而这两年的平均增长率为p,在p1+p2为定值的情况下,p的最大值为 .(用p1,p2表示)
【答案】
【解析】 根据题意,(1+p)2=(1+p1)(1+p2),
整理得,1+p=≤
=1+,
故p≤,当且仅当p1=p2时,等号成立.
13.设a>0,b>0,a+b=2.求证:
(1)≥4;
(2)a3+b3≥2.
【证明】 已知a>0,b>0,a+b=2.
(1)==1+,
易知ab≤=1(当且仅当a=b=1时,等号成立),
所以1+≥1+=4,即≥4.
(2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=a3+b3+3ab(a+b)=a3+b3+6ab
≤a3+b3+6×=a3+b3+6,
当且仅当a=b=1时取等号,
又(a+b)3=23=8,所以a3+b3≥2.
应用创新
14.定义min{p,q,r}表示p,q,r中的最小值.已知实数a,b,c满足a+b+c=0,abc=-1,则( )
A.min{a,b,c}的最大值是-1
B.min{a,b,c}的最大值是-
C.min{a,b,c}的最小值是-1
D.min{a,b,c}的最小值是-
【答案】 B
【解析】 因为abc=-1,所以在a,b,c中,负数的个数为1或3.又a+b+c=0,所以在a,b,c中,有1个为负数,2个为正数.不妨设c<0,则min{a,b,c}=c.因为2≤a+b=-c,所以ab=-≤,因为c<0,所以≤-1,则c≤-,故min{a,b,c}的最大值是-,无最小值.故选B.
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