2.2 换底公式
基础巩固
1.等于( )
A. B. C.2 D.3
【答案】 D
【解析】 =log327=3.故选D.
2.已知lg 2=a,lg 3=b,则log3018等于( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 log3018===.
故选B.
3.log932·log6427+log92·log4等于( )
A. B.2 C. D.
【答案】 C
【解析】 原式=×+×
=×+×
=×+×
=+=.
故选C.
4.(多选题)若2x=3,y=log38,则下列等式正确的是( )
A.x= B.y2=8
C.x+y=3 D.xy=3
【答案】 AD
【解析】 由2x=3,可得x=log23,利用换底公式可得x=,A项正确;
y2≠8,B项错误;
x+y=log23+log38≠3,C项错误;
因为xy=log23·log38=·=3×=3,所以xy=3,D项正确.故选A,D.
5.已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为( )
A. B.60 C. D.
【答案】 B
【解析】 由已知得logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=,logmx=,logmy=,
故logmz=-logmx-logmy=--=,所以logzm=60.故选B.
6.(多选题)若10a=4,10b=25,5c=4,则下列计算正确的是( )
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab=1 D.-=
【答案】 AD
【解析】 若10a=4,10b=25,5c=4,则a=lg 4,b=lg 25,c=log54,所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,A正确;b-a=lg 25-lg 4=lg ≠1,B错误;由ab≤()2=1,当且仅当a=b时,等号成立,但a=lg 4,
b=lg 25,所以等号不成立,即ab<1,C错误;-=-=log410-log45=log42=,D正确.故选A,D.
7.若x·log32=1,则2x= .
【答案】 3
【解析】 由x·log32=1,得x==log23,
所以2x==3.
8.设实数x满足0【答案】
【解析】 因为logx4=2logx2=,
所以logx4-log2x=-log2x=1,
即+log2x-2=0,解得log2x=-2或log2x=1,所以x=或x=2.
因为09.计算:
(1)(2log45+3log225)(log52+6log254);
(2)()-2e0+lg 2-2+lg 5-2+log34×log49.
【解】 (1)原式=(log425+log2253)(log52+log2546)
=(+)(+)
=(+)(+)
=·=49.
(2)原式=[()3]-2+lg(2-2×5-2)+·=()-2-2+lg 10-2+=-2-2+2=.
10.(1)设3a=4b=36,求+的值;
(2)已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.
【解】 (1)因为3a=4b=36,所以a=log336,b=log436,
则==log363,==log364.
所以+=2log363+log364=log369+log364=log3636=1.
(2)因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,
则=logc3,=logc5,
则+=logc15.
由题意可得logc15=2,
则c2=15,且c>0,c≠1,
所以c=.
能力提升
11.已知a=log23+log94,3a+4a=5b,则( )
A.a>b>2 B.b>a>2
C.a>2>b D.b>2>a
【答案】 A
【解析】 因为a=log23+log94=log23+log32>2=2,故a>2,5b=3a+4a>32+42=52,故b>2,所以==()a+()a<()2+()2=1,
故5b<5a,所以a>b>2.
故选A.
12.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a+2b= .
【答案】 8
【解析】 由logab+logba=,
且logab·logba=1,
得logab,logba是方程x2-x+1=0的两根,
解得logba=2或logba=.
又a>b>1,
所以logba=2,即a=b2.
又ab=ba,
所以b2b=ba a=2b,且a=b2,则b=2,a=4.
所以a+2b=8.
13.设a,b,c是直角三角形的三边长,其中c为斜边长,且a≠1.求证:log(c+b)a+log(c-b)a=
2log(c+b)a·log(c-b)a.
【证明】 由勾股定理,得a2+b2=c2.
log(c+b)a+log(c-b)a
=+
=
=
=
=2log(c+b)a·log(c-b)a.
所以原式成立.
应用创新
14.已知函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N+),定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N+)叫作“企盼数”.若k∈[1,2 024],则这样的“企盼数”共有 个.
【答案】 9
【解析】 令g(k)=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k),
因为f(k)=log(k+1)(k+2)=,
所以g(k)=··…·==log2(k+2).
要使g(k)为整数,则需k+2=2n(n∈N+,且n>1).
因为k∈[1,2 024],所以(k+2)∈[3,2 026],
即2n∈[3,2 026].
因为22=4,…,210=1 024,211=2 048>2 026,所以可取n=2,3,…,10,故这样的企盼数共有9个.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2 换底公式
【课程标准要求】 1.了解对数的换底公式,通过换底公式的推导,提升逻辑推理的核心素养.2.通过换底公式的应用,提升数学运算的核心素养.
知识点 对数的换底公式
一般地,若a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1,
则logab=.
知识拓展
对数换底公式的变形及推论(公式中的字母均使公式有意义).
logab·logba=1,lobm=logab,logab=等.
题型一 利用换底公式化简或求值
[例1] 计算:(1)log1627·log8132;
(2)(log32+log92)(log43+log83).
【解】 (1)log1627·log8132=·=·=·=.
(2)(log32+log92)(log43+log83)=(log32+)(+)=(log32+log32)(log23+log23)
=log32·log23=×·=.
利用换底公式化简、求值的思路
一是先利用对数的运算性质进行部分运算,最后再换成同一底数进行计算;二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、通分、求值.
[变式训练] 计算:
(1)log25·log57·log716;
(2).
【解】 (1)log25·log57·log716=··===4.
(2)原式===-log32·log23=-.
题型二 利用已知对数式表示对数值
[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.
【解】 因为2b=3,所以b=log23,即log32=,
log1456=====.
[变式探究1] 若把本例中条件“2b=3”换为“3b=2”,其他条件不变,用a,b表示log1456.
【解】 因为3b=2,所以b=log32.
又因为a=log37,所以log1456====.
[变式探究2] 本例中a不变,b=log36,试用a,b表示log1456.
【解】 因为log36=log33+log32=b,
所以log32=b-1.
又因为log37=a,
所以log1456==.
用已知对数式的值表示不同底数的对数值,首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数,然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.
当堂检测
1.等于( )
A. B.2 C. D.
【答案】 B
【解析】 原式=log39=log332=2log33=2.故选B.
2.已知x,y∈N+,则loy等于( )
A.xlog2y B.
C.2logxy D.
【答案】 B
【解析】 loy==.故选B.
3.若logab·log3a=4,则b= .
【答案】 81
【解析】 因为logab·log3a=4,
所以·=4,
即lg b=4lg 3=lg 34,
所以b=34=81.
4.已知log1227=a,则log616用a表示为 .
【答案】
【解析】 由log1227===a,
得log32=,
故log616====.
基础巩固
1.等于( )
A. B. C.2 D.3
【答案】 D
【解析】 =log327=3.故选D.
2.已知lg 2=a,lg 3=b,则log3018等于( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 log3018===.
故选B.
3.log932·log6427+log92·log4等于( )
A. B.2 C. D.
【答案】 C
【解析】 原式=×+×
=×+×
=×+×
=+=.
故选C.
4.(多选题)若2x=3,y=log38,则下列等式正确的是( )
A.x= B.y2=8
C.x+y=3 D.xy=3
【答案】 AD
【解析】 由2x=3,可得x=log23,利用换底公式可得x=,A项正确;
y2≠8,B项错误;
x+y=log23+log38≠3,C项错误;
因为xy=log23·log38=·=3×=3,所以xy=3,D项正确.故选A,D.
5.已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为( )
A. B.60 C. D.
【答案】 B
【解析】 由已知得logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=,logmx=,logmy=,
故logmz=-logmx-logmy=--=,所以logzm=60.故选B.
6.(多选题)若10a=4,10b=25,5c=4,则下列计算正确的是( )
A.a+b=2 B.b-a=1
C.ab=1 D.-=
【答案】 AD
【解析】 若10a=4,10b=25,5c=4,则a=lg 4,b=lg 25,c=log54,所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,A正确;b-a=lg 25-lg 4=lg ≠1,B错误;由ab≤()2=1,当且仅当a=b时,等号成立,但a=lg 4,
b=lg 25,所以等号不成立,即ab<1,C错误;-=-=log410-log45=log42=,D正确.故选A,D.
7.若x·log32=1,则2x= .
【答案】 3
【解析】 由x·log32=1,得x==log23,
所以2x==3.
8.设实数x满足0【答案】
【解析】 因为logx4=2logx2=,
所以logx4-log2x=-log2x=1,
即+log2x-2=0,解得log2x=-2或log2x=1,所以x=或x=2.
因为09.计算:
(1)(2log45+3log225)(log52+6log254);
(2)()-2e0+lg 2-2+lg 5-2+log34×log49.
【解】 (1)原式=(log425+log2253)(log52+log2546)
=(+)(+)
=(+)(+)
=·=49.
(2)原式=[()3]-2+lg(2-2×5-2)+·=()-2-2+lg 10-2+=-2-2+2=.
10.(1)设3a=4b=36,求+的值;
(2)已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.
【解】 (1)因为3a=4b=36,所以a=log336,b=log436,
则==log363,==log364.
所以+=2log363+log364=log369+log364=log3636=1.
(2)因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,
则=logc3,=logc5,
则+=logc15.
由题意可得logc15=2,
则c2=15,且c>0,c≠1,
所以c=.
能力提升
11.已知a=log23+log94,3a+4a=5b,则( )
A.a>b>2 B.b>a>2
C.a>2>b D.b>2>a
【答案】 A
【解析】 因为a=log23+log94=log23+log32>2=2,故a>2,5b=3a+4a>32+42=52,故b>2,所以==()a+()a<()2+()2=1,
故5b<5a,所以a>b>2.
故选A.
12.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a+2b= .
【答案】 8
【解析】 由logab+logba=,
且logab·logba=1,
得logab,logba是方程x2-x+1=0的两根,
解得logba=2或logba=.
又a>b>1,
所以logba=2,即a=b2.
又ab=ba,
所以b2b=ba a=2b,且a=b2,则b=2,a=4.
所以a+2b=8.
13.设a,b,c是直角三角形的三边长,其中c为斜边长,且a≠1.求证:log(c+b)a+log(c-b)a=
2log(c+b)a·log(c-b)a.
【证明】 由勾股定理,得a2+b2=c2.
log(c+b)a+log(c-b)a
=+
=
=
=
=2log(c+b)a·log(c-b)a.
所以原式成立.
应用创新
14.已知函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N+),定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N+)叫作“企盼数”.若k∈[1,2 024],则这样的“企盼数”共有 个.
【答案】 9
【解析】 令g(k)=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k),
因为f(k)=log(k+1)(k+2)=,
所以g(k)=··…·==log2(k+2).
要使g(k)为整数,则需k+2=2n(n∈N+,且n>1).
因为k∈[1,2 024],所以(k+2)∈[3,2 026],
即2n∈[3,2 026].
因为22=4,…,210=1 024,211=2 048>2 026,所以可取n=2,3,…,10,故这样的企盼数共有9个.
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2.2 换底公式
1.了解对数的换底公式,通过换底公式的推导,提升逻辑推理的核心素养.
2.通过换底公式的应用,提升数学运算的核心素养.
【课程标准要求】
知识点 对数的换底公式
『知识拓展』
对数换底公式的变形及推论(公式中的字母均使公式有意义).
题型一 利用换底公式化简或求值
[例1] 计算:(1)log1627·log8132;
(2)(log32+log92)(log43+log83).
·解题策略·
利用换底公式化简、求值的思路
一是先利用对数的运算性质进行部分运算,最后再换成同一底数进行计算;二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、通分、求值.
[变式训练] 计算:
(1)log25·log57·log716;
[例2] 已知log37=a,2b=3,试用a,b表示log1456.
题型二 利用已知对数式表示对数值
[变式探究1] 若把本例中条件“2b=3”换为“3b=2”,其他条件不变,用a,b表示log1456.
[变式探究2] 本例中a不变,b=log36,试用a,b表示log1456.
·解题策略·
用已知对数式的值表示不同底数的对数值,首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数,然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.
当堂检测
B
【解析】 原式=log39=log332=2log33=2.故选B.
B
3.若logab·log3a=4,则b= .
81
4.已知log1227=a,则log616用a表示为 .
