2.1 简单随机抽样
2.2 分层随机抽样
【课程标准要求】 1.了解简单随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数法的一般步骤,提升数学抽象的核心素养.2.了解分层随机抽样的方法与概念,并会应用分层随机抽样抽取样本,提升逻辑推理与数学运算的核心素养.3.了解简单随机抽样与分层随机抽样的区别和联系,提升逻辑推理的核心素养.
知识点一 随机抽样
在抽样调查中,每个个体被抽到的可能性均相同的抽样方法,称为随机抽样.
知识点二 简单随机抽样
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中逐个抽取n(1≤n如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
知识点三 抽签法与随机数法
1.抽签法的具体步骤
(1)给总体中的每个个体编号.
(2)抽签.
2.随机数法的具体步骤
(1)把总体中的N个个体依次编码为0,1,2,…,N-1.
(2)利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0,1,2,…,N-1中的随机数,产生的随机数是几,就选第几号个体,直至选到预先设定的样本容量.
知识点四 分层随机抽样
将总体按其属性特征分成互不交叉的若干类型(有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的个体,这种抽样方法通常叫作分层随机抽样.
知识拓展
两种抽样方法的联系与区别
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单 随机 抽样 抽样过程中每个个体被抽到的机会均等 从总体中逐个抽取 各层抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数有限
分层 随机 抽样 将总体分成几层,分层进行抽取 总体由差异明显的几部分组成
题型一 简单随机抽样
角度1 对简单随机抽样的理解
[例1] 下面的抽样方法是简单随机抽样吗 为什么
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验,在抽样操作过程中,从中任取一种玩具检验后再放回;
(3)国家跳水队选出较优秀的10名跳水队员,备战奥运会;
(4)一位彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中不放回地抽出6个号签.
【解】 (1)不是简单随机抽样,因为简单随机抽样要求总体中的个体数是有限的.
(2)是简单随机抽样,因为总体中的个体数有限,且是从总体中逐个抽取,是放回的,等可能的抽样.
(3)不是简单随机抽样,因为这10名跳水队员是挑选出来的较优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
(4)是简单随机抽样,因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样.
可用简单随机抽样抽取样本的依据
(1)总体中的个体之间无明显差异.
(2)总体中个体数N有限.
(3)抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N.
(4)每个个体被抽到的可能性均为.
[变式训练] 在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性( )
A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性大一些
B.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等
C.与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性要大些
D.与第几次抽样无关,每次都是等可能地抽取,但各次抽取的可能性不一定
【答案】 B
【解析】 在简单随机抽样中,每一个个体被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关,故A,C,D不正确,B正确.故选B.
角度2 随机数法
[例2] 把60名同学看成一个总体,且给60名同学进行编号,分别为00,01,…,59,现从中抽取一容量为6的样本,请从随机数表的倒数第5行(下表为某个随机数表的最后5行)第11列开始向右读取,直到取足样本,则抽取样本的第6个号码为( )
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7680 2692 8280 8425 39
9084 6079 8024 3659 8738 8207 5389 3596 3523 7918 0598 9007 35
4640 6298 8054 9720 5695 1574 8008 3216 4670 5080 6772 1642 79
2031 8903 4338 4682 6872 3214 8299 7080 6047 1897 6349 3021 30
7159 7305 5008 2223 7177 9101 9320 4982 9659 2694 6639 6798 60
A.32 B.38 C.39 D.26
【答案】 D
【解析】 根据随机数表抽取样本的号码分别为18,00,38,58,32,26,所以抽取样本的第6个号码为26.故选D.
(1)在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的,所以每个数被抽到的概率是一样的.
(2)利用随机数法抽取样本时,选定的初始数是任意的,读数的方向是任意的,但是对一组样本来说,读数的方向必须是统一的.
[变式训练] 从某班50名同学中选出5名参加户外活动,利用随机数法抽取样本时,先将50名同学按01,02,…,50进行编号,然后从随机数表的第 1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取2个数字,则选出的第5个个体的编号为(注:下表为某个随机数表的第1行与第2行)( )
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676
A.24 B.36 C.46 D.47
【答案】 A
【解析】 依次选取43,36,47,46,24,选出的第5个个体的编号为24.故选A.
题型二 分层随机抽样
[例3] (1)某校高二年级统计了参加课外兴趣小组的学生人数,每人只参加一类,数据如表所示.
学科类别 文学 新闻 经济 政治
人数 400 300 100 200
若采用分层随机抽样的方法从以上学生中抽取50名进行问卷调查,则从文学、新闻、经济、政治四类兴趣小组中抽取的学生人数分别为( )
A.15,20,10,5 B.15,20,5,10
C.20,15,10,5 D.20,15,5,10
(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层随机抽样的方法抽取容量为n的样本,其中甲种型号产品有18件,则样本容量n为( )
A.45 B.54 C.90 D.126
【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)根据分层随机抽样的等比例性质,知
文学小组抽取人数为50×=20;
新闻小组抽取人数为50×=15;
经济小组抽取人数为50×=5;
政治小组抽取人数为50×=10.故选D.
(2)甲种型号产品所占的比例为=,
18÷=90,故样本容量n=90.故选C.
分层随机抽样问题的解题策略
(1)确定抽样比.可依据总体个数与样本量之比,确定抽样比.
(2)求某一层的样本数或总体个数.可依据题意求出抽样比,再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本量(或总体个数).
(3)求各层的样本量.可依据题意,先求出抽样比,再求出各层样本量.
[变式训练] (1)某市举办“红歌大传唱”主题活动,以传承红色革命精神.某高中高一、高二、高三分别有600人、500人、700人,欲采用分层随机抽样的方法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队,则应抽取高三( )
A.5人 B.6人 C.7人 D.8人
(2)某单位有职工750人,其中青年职工 350人,中年职工250人,年长职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层随机抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为14人,则样本容量为( )
A.15 B.20 C.25 D.30
【答案】 (1)C (2)D
【解析】 (1)依题意得该高中高一、高二、高三分别有600人、500人、700人,欲采用分层随机抽样的方法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队,则应抽取高三的人数为18×=7.故选C.
(2)设样本容量为x,由题意得=,得x=30.故选D.
当堂检测
1.某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛,制作了11个形状、大小相同的签,抽签中确保公平性的关键是( )
A.制签 B.搅拌均匀
C.逐一抽取 D.抽取后不放回
【答案】 B
【解析】 确保公平性的关键是要保证每个签被抽到是等可能的,因此抽签法要做到搅拌均匀,才具有公平性.故选B.
2.下列抽样试验中,适合用抽签法的是( )
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
【答案】 B
【解析】 选项A中,总体中的个体数较大,样本容量也较大,不适合用抽签法;
选项B中,总体中的个体数较小,样本容量也较小,且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了,可用抽签法;
选项C中,甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,不能满足搅拌均匀的条件,不能用抽签法;
选项D中,总体中的个体数较大,不适合用抽签法.故选B.
3.总体由编号01,02,…,29,30的30个个体组成.利用随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
第1行 7816 6232 0802 6242 6252 5369 9728 0198
第2行 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.27 B.26 C.25 D.24
【答案】 C
【解析】 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,第1个数为23,符合条件,第2个数为20,符合条件,第3个数为80,不符合条件,以下符合条件的数依次为26,24,25,故第5个数为25.故选C.
4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有50名,高二年级有30名.现用分层随机抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本,已知在高二年级的学生中抽取了6名,则在高一年级的学生中应抽取的人数为 .
【答案】 10
【解析】 设样本容量为N,则N×=6,解得N=16,所以高一年级所抽人数为16×=10.
基础巩固
1.下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.某医院从200名医生中,挑选出50名较优秀的医生去参加志愿活动
B.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验
C.从平面直角坐标系中抽取10个点作为样本
D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前排的10箱进行质量检查
【答案】 B
【解析】 对于A,某医院从200名医生中,挑选出50名较优秀的医生去参加志愿活动,每个人被抽到的可能性不相等,故错误;
对于B,从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验,是简单随机抽样,故正确;
对于C,从平面直角坐标系中抽取10个点作为样本,由于被抽取的样本的总体个数是无限的,所以不是简单随机抽样,故错误;
对于D,饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查,前排被抽取的可能性大,后排被抽取的可能性小,所以不是简单随机抽样,故错误.故选B.
2.在容量为100的总体中用随机数法抽取5个样本,总体编号为00,01,02,03,…,99,给出下列几组号码:(1)00,01,02,03,04;(2)10,30,50,70,90;(3)49,17,46,09,62;(4)11,22,33,44,55,则可能成为所得样本编号的是( )
A.只可能为(3)
B.只可能为(3)(4)
C.只可能为(2)(3)(4)
D.(1)(2)(3)(4)均有可能
【答案】 D
【解析】 用随机数法抽样,每个个体都有可能被抽到且各个个体被抽到的可能性相等.故选D.
3.某校高一共有10个班,编号1至10,某项调查要从中抽取三个班作为样本,现用抽签法抽取样本,每次抽取一个号签,共抽3次,设编号为5的班级第一次被抽到的可能性为a,第二次被抽到的可能性为b,则( )
A.a=,b= B.a=,b=
C.a=,b= D.a=,b=
【答案】 D
【解析】 由简单随机抽样的定义知,每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到,
故编号为5的班级在每次抽样中被抽到的可能性都是,所以a=,b=.故选D.
4.某市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1 200人,其中一、二、三年级的人数比为3∶4∶3,要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本,则应抽取的一年级学生的人数为( )
A.52 B.48 C.36 D.24
【答案】 C
【解析】 用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本,则应抽取的一年级学生的人数为×120=36.故选C.
5.现有以下两项调查:①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测;②某中学高一年级有1 000人,高二年级有1 350人,学校计划从这两个年级共抽取235人进行视力调查.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( )
A.①②都采用简单随机抽样
B.①②都采用分层随机抽样
C.①采用简单随机抽样,②采用分层随机抽样
D.①采用分层随机抽样,②采用简单随机抽样
【答案】 C
【解析】 由题意对于①,40台刚出厂的大型挖掘机中每台被抽取的可能性一样,故为简单随机抽样,对于②,由于各年级的年龄段、学段不一样,因此应采用分层随机抽样.故选C.
6.(多选题)下列关于随机抽样的说法正确的是( )
A.总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法
B.在对分层随机抽样的每一部分进行抽样时,采用的是简单随机抽样
C.在分层随机抽样的整个抽样过程中,每个个体被抽取的可能性相等(有剔除时例外)
D.百货商场的抽奖活动可以使用抽签法
【答案】 ABD
【解析】 总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法,因此A正确;
在对分层随机抽样的每一层进行抽样时,采用的是简单随机抽样,因此B正确;
在分层随机抽样的整个抽样过程中,每个个体被抽取的可能性相等(有剔除时可能性也相等),因此C错误;
百货商场的抽奖活动可以使用抽签法,也叫抓阄,因此D正确.故选A,B,D.
7.利用随机数法从00,01,02,…,59这些编号中抽取一个容量为6的样本,抽取方法是从随机数表的第1行第11列开始向右读取,每次读取两位,直到取足样本,则第4个被抽取的样本的编号为 .
6301 6378 5916 9555 6719 9810 5071 7512
8673 5807 4439 5238 7933 2112 3429 7864
5607 8252 4207 4438 1551 0013 42
【答案】 10
【解析】 由随机数法可知,样本的前4个个体的编号分别为16,55,19,10.
8.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组):
项目 武术组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层随机抽样,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果武术组被抽出12人,则a的值为 .
【答案】 30
【解析】 由题意可知三个小组的人数比为60∶40∶(a+20),从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果武术组被抽出12人,
故×30=12,
解得a=30.
9.某班共有60名学生,现有10张学术报告的入场券,请用抽签法和随机数表法把10张入场券分发下去,试写出过程.
【解】 (1)抽签法:
①先将60名学生随机编号为1,2,…,60;
②把号码写在形状、大小相同的号签上;
③将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀,抽签时每次从中抽出一个号签,不放回地连续抽10次;
④根据抽到的10个号码对应10名同学,10张入场券就分发给这10名同学.
(2)随机数表法:
①先将60名学生随机编号为01,02,…,60;
②在随机数表中任选一个数字作为起点,则从选定的数字开始向右依次选取一个两位数,若取到的数在01至60之间,则将它取出,否则舍去,依此下去,直到取满10个满足条件且不重复的数为止;
③根据号码对应的编号,再对应选出10名同学,10张入场券就分发给这10名同学.
10.某单位组织了一次健身活动,活动分为登山和游泳,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,年长者占10%,登山组的职工占参加活动总人数的,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,年长者占10%.为了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度,现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本.试求:
(1)游泳组中,青年人、中年人、年长者分别所占的比例;
(2)游泳组中,青年人、中年人、年长者分别应抽取的人数.
【解】 (1)设登山组人数为x,总人数为4x,则游泳组人数为3x,游泳组中,青年人、中年人、年长者所占比例分别为a,b,c,
则=47.5%,
=10%,
解得b=50%,c=10%,
故a=1-50%-10%=40%.
即游泳组中,青年人、中年人、年长者所占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组中,抽取的青年人人数为200××40%=60;
抽取的中年人人数为200××50%=75;
抽取的年长者人数为200××10%=15.
能力提升
11.在对101个人进行一次抽样时,先采用抽签法从中剔除一个人,再在剩余的100人中随机抽取10人,那么下列说法正确的是( )
A.这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的,因为他们失去了被抽到的机会
B.每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等,因为每个人被剔除的可能性相等,那么,不被剔除的机会也是均等的
C.由于采用了两步进行抽样,所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D.每个人被抽到的可能性不相等
【答案】 B
【解析】 由于第一次剔除时采用抽签法,对每个人来说可能性相等,然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的,所以总的来说每个人的机会都是均等的,被抽到的可能性都是相等的.故选B.
12.某学校在校学生有2 000人,为了加强学生的体育锻炼意识,学校举行了跑步和跳绳比赛,每人都参加且每人只参加其中一项比赛,各年级参加比赛的人数情况如下表所示.
项目 高一年级 高二年级 高三年级
跑步人数 a b c
跳绳人数 x y z
其中a∶b∶c=2∶5∶3,全校参加跳绳的人数占总人数的.为了解学生对本次活动的满意程度,用分层随机抽样的方法从中抽取一个200人的样本进行调查,则高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为 ;若x=y=150,则z的值是 .
【答案】 45 200
【解析】 由题意知,全校参加跑步的人数占总人数的,所以高三年级参加跑步的总人数为×2 000×=450,则高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为×450=45.
z=×2 000-150×2=200.
13.某中学举行了体育运动会,同时进行了全校精神文明擂台赛,为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别对全校500名教职工、3 000名初中生、4 000名高中生进行问卷调查.
(1)如果要在所有问卷中抽出120份用于评估,请说明如何抽取才能得到比较客观的评估结论,并写出抽样过程.
(2)要从3 000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本,如果采用简单随机抽样,应选什么方法 请说明理由.
【解】 (1)由于总体容量较大,这次活动对教职工、初中生、高中生产生的影响差异较大,故采取分层随机抽样的方法进行抽样才能得到比较客观的评估结论.
因为样本容量为120,总体容量为500+3 000+4 000=7 500,
则抽样比为=,500×=8,3 000×=48,4 000×=64,
所以在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
分层随机抽样的步骤如下:
①分层:分为教职工、初中生、高中生共三层;
②确定每层抽取个体的个数:在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64;
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本;
④综合每层抽取的个体,组成样本.
(2)简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数法.
若用抽签法,则要做3 000个号签,费时费力,因此应采用随机数法抽取样本.
应用创新
14.某校高中年级举办科技节活动,开设A,B两个会场,其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场,剩下的同学去B会场.已知A,B会场学生年级及比例情况如下表所示:
项目 高一 高二 高三
A会场 50% 40% 10%
B会场 40% 50% 10%
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x,y,z,利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本.
则x∶y∶z= ;若抽到的B会场的高二学生有150人,则n= .
【答案】 17∶19∶4 400
【解析】 设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c,
则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c),去B会场的学生总数为0.75(a+b+c),则对应人数如下表所示:
项目 高一 高二 高三
A会场 0.125(a+b+c) 0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c)
B会场 0.3(a+b+c) 0.375(a+b+c) 0.075(a+b+c)
则x∶y∶z=0.425(a+b+c)∶0.475(a+b+c)∶0.1(a+b+c)=17∶19∶4.
依题意,n×0.75×0.5=150,解得n=400.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1 简单随机抽样
2.2 分层随机抽样
基础巩固
1.下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.某医院从200名医生中,挑选出50名较优秀的医生去参加志愿活动
B.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验
C.从平面直角坐标系中抽取10个点作为样本
D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前排的10箱进行质量检查
【答案】 B
【解析】 对于A,某医院从200名医生中,挑选出50名较优秀的医生去参加志愿活动,每个人被抽到的可能性不相等,故错误;
对于B,从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验,是简单随机抽样,故正确;
对于C,从平面直角坐标系中抽取10个点作为样本,由于被抽取的样本的总体个数是无限的,所以不是简单随机抽样,故错误;
对于D,饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查,前排被抽取的可能性大,后排被抽取的可能性小,所以不是简单随机抽样,故错误.故选B.
2.在容量为100的总体中用随机数法抽取5个样本,总体编号为00,01,02,03,…,99,给出下列几组号码:(1)00,01,02,03,04;(2)10,30,50,70,90;(3)49,17,46,09,62;(4)11,22,33,44,55,则可能成为所得样本编号的是( )
A.只可能为(3)
B.只可能为(3)(4)
C.只可能为(2)(3)(4)
D.(1)(2)(3)(4)均有可能
【答案】 D
【解析】 用随机数法抽样,每个个体都有可能被抽到且各个个体被抽到的可能性相等.故选D.
3.某校高一共有10个班,编号1至10,某项调查要从中抽取三个班作为样本,现用抽签法抽取样本,每次抽取一个号签,共抽3次,设编号为5的班级第一次被抽到的可能性为a,第二次被抽到的可能性为b,则( )
A.a=,b= B.a=,b=
C.a=,b= D.a=,b=
【答案】 D
【解析】 由简单随机抽样的定义知,每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到,
故编号为5的班级在每次抽样中被抽到的可能性都是,所以a=,b=.故选D.
4.某市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1 200人,其中一、二、三年级的人数比为3∶4∶3,要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本,则应抽取的一年级学生的人数为( )
A.52 B.48 C.36 D.24
【答案】 C
【解析】 用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本,则应抽取的一年级学生的人数为×120=36.故选C.
5.现有以下两项调查:①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测;②某中学高一年级有1 000人,高二年级有1 350人,学校计划从这两个年级共抽取235人进行视力调查.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是( )
A.①②都采用简单随机抽样
B.①②都采用分层随机抽样
C.①采用简单随机抽样,②采用分层随机抽样
D.①采用分层随机抽样,②采用简单随机抽样
【答案】 C
【解析】 由题意对于①,40台刚出厂的大型挖掘机中每台被抽取的可能性一样,故为简单随机抽样,对于②,由于各年级的年龄段、学段不一样,因此应采用分层随机抽样.故选C.
6.(多选题)下列关于随机抽样的说法正确的是( )
A.总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法
B.在对分层随机抽样的每一部分进行抽样时,采用的是简单随机抽样
C.在分层随机抽样的整个抽样过程中,每个个体被抽取的可能性相等(有剔除时例外)
D.百货商场的抽奖活动可以使用抽签法
【答案】 ABD
【解析】 总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法,因此A正确;
在对分层随机抽样的每一层进行抽样时,采用的是简单随机抽样,因此B正确;
在分层随机抽样的整个抽样过程中,每个个体被抽取的可能性相等(有剔除时可能性也相等),因此C错误;
百货商场的抽奖活动可以使用抽签法,也叫抓阄,因此D正确.故选A,B,D.
7.利用随机数法从00,01,02,…,59这些编号中抽取一个容量为6的样本,抽取方法是从随机数表的第1行第11列开始向右读取,每次读取两位,直到取足样本,则第4个被抽取的样本的编号为 .
6301 6378 5916 9555 6719 9810 5071 7512
8673 5807 4439 5238 7933 2112 3429 7864
5607 8252 4207 4438 1551 0013 42
【答案】 10
【解析】 由随机数法可知,样本的前4个个体的编号分别为16,55,19,10.
8.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组):
项目 武术组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层随机抽样,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果武术组被抽出12人,则a的值为 .
【答案】 30
【解析】 由题意可知三个小组的人数比为60∶40∶(a+20),从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果武术组被抽出12人,
故×30=12,
解得a=30.
9.某班共有60名学生,现有10张学术报告的入场券,请用抽签法和随机数表法把10张入场券分发下去,试写出过程.
【解】 (1)抽签法:
①先将60名学生随机编号为1,2,…,60;
②把号码写在形状、大小相同的号签上;
③将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀,抽签时每次从中抽出一个号签,不放回地连续抽10次;
④根据抽到的10个号码对应10名同学,10张入场券就分发给这10名同学.
(2)随机数表法:
①先将60名学生随机编号为01,02,…,60;
②在随机数表中任选一个数字作为起点,则从选定的数字开始向右依次选取一个两位数,若取到的数在01至60之间,则将它取出,否则舍去,依此下去,直到取满10个满足条件且不重复的数为止;
③根据号码对应的编号,再对应选出10名同学,10张入场券就分发给这10名同学.
10.某单位组织了一次健身活动,活动分为登山和游泳,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,年长者占10%,登山组的职工占参加活动总人数的,且该组中,青年人占50%,中年人占40%,年长者占10%.为了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度,现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本.试求:
(1)游泳组中,青年人、中年人、年长者分别所占的比例;
(2)游泳组中,青年人、中年人、年长者分别应抽取的人数.
【解】 (1)设登山组人数为x,总人数为4x,则游泳组人数为3x,游泳组中,青年人、中年人、年长者所占比例分别为a,b,c,
则=47.5%,
=10%,
解得b=50%,c=10%,
故a=1-50%-10%=40%.
即游泳组中,青年人、中年人、年长者所占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组中,抽取的青年人人数为200××40%=60;
抽取的中年人人数为200××50%=75;
抽取的年长者人数为200××10%=15.
能力提升
11.在对101个人进行一次抽样时,先采用抽签法从中剔除一个人,再在剩余的100人中随机抽取10人,那么下列说法正确的是( )
A.这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的,因为他们失去了被抽到的机会
B.每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等,因为每个人被剔除的可能性相等,那么,不被剔除的机会也是均等的
C.由于采用了两步进行抽样,所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D.每个人被抽到的可能性不相等
【答案】 B
【解析】 由于第一次剔除时采用抽签法,对每个人来说可能性相等,然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的,所以总的来说每个人的机会都是均等的,被抽到的可能性都是相等的.故选B.
12.某学校在校学生有2 000人,为了加强学生的体育锻炼意识,学校举行了跑步和跳绳比赛,每人都参加且每人只参加其中一项比赛,各年级参加比赛的人数情况如下表所示.
项目 高一年级 高二年级 高三年级
跑步人数 a b c
跳绳人数 x y z
其中a∶b∶c=2∶5∶3,全校参加跳绳的人数占总人数的.为了解学生对本次活动的满意程度,用分层随机抽样的方法从中抽取一个200人的样本进行调查,则高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为 ;若x=y=150,则z的值是 .
【答案】 45 200
【解析】 由题意知,全校参加跑步的人数占总人数的,所以高三年级参加跑步的总人数为×2 000×=450,则高三年级参加跑步的学生中应抽取的人数为×450=45.
z=×2 000-150×2=200.
13.某中学举行了体育运动会,同时进行了全校精神文明擂台赛,为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别对全校500名教职工、3 000名初中生、4 000名高中生进行问卷调查.
(1)如果要在所有问卷中抽出120份用于评估,请说明如何抽取才能得到比较客观的评估结论,并写出抽样过程.
(2)要从3 000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本,如果采用简单随机抽样,应选什么方法 请说明理由.
【解】 (1)由于总体容量较大,这次活动对教职工、初中生、高中生产生的影响差异较大,故采取分层随机抽样的方法进行抽样才能得到比较客观的评估结论.
因为样本容量为120,总体容量为500+3 000+4 000=7 500,
则抽样比为=,500×=8,3 000×=48,4 000×=64,
所以在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.
分层随机抽样的步骤如下:
①分层:分为教职工、初中生、高中生共三层;
②确定每层抽取个体的个数:在教职工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64;
③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本;
④综合每层抽取的个体,组成样本.
(2)简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数法.
若用抽签法,则要做3 000个号签,费时费力,因此应采用随机数法抽取样本.
应用创新
14.某校高中年级举办科技节活动,开设A,B两个会场,其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场,剩下的同学去B会场.已知A,B会场学生年级及比例情况如下表所示:
项目 高一 高二 高三
A会场 50% 40% 10%
B会场 40% 50% 10%
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x,y,z,利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本.
则x∶y∶z= ;若抽到的B会场的高二学生有150人,则n= .
【答案】 17∶19∶4 400
【解析】 设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c,
则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c),去B会场的学生总数为0.75(a+b+c),则对应人数如下表所示:
项目 高一 高二 高三
A会场 0.125(a+b+c) 0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c)
B会场 0.3(a+b+c) 0.375(a+b+c) 0.075(a+b+c)
则x∶y∶z=0.425(a+b+c)∶0.475(a+b+c)∶0.1(a+b+c)=17∶19∶4.
依题意,n×0.75×0.5=150,解得n=400.
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§2 抽样的基本方法
2.1 简单随机抽样
2.2 分层随机抽样
1.了解简单随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数法的一般步骤,提升数学抽象的核心素养.2.了解分层随机抽样的方法与概念,并会应用分层随机抽样抽取样本,提升逻辑推理与数学运算的核心素养.3.了解简单随机抽样与分层随机抽样的区别和联系,提升逻辑推理的核心素养.
【课程标准要求】
知识点一 随机抽样
在抽样调查中,每个个体被抽到的可能性均相同的抽样方法,称为随机抽样.
知识点二 简单随机抽样
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中 抽取n(1≤n如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都 ,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内 被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本
逐个
相等
未进入样本的各个个体
知识点三 抽签法与随机数法
1.抽签法的具体步骤
(1)给总体中的每个个体编号.
(2)抽签.
2.随机数法的具体步骤
(1)把总体中的N个个体依次编码为0,1,2,…,N-1.
(2)利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0,1,2,…,N-1中的随机数,产生的随机数是几,就选第几号个体,直至选到预先设定的样本容量.
知识点四 分层随机抽样
将总体按其属性特征分成 的若干类型(有时称作 ),然后在每个类型中按照 随机抽取一定的个体,这种抽样方法通常叫作分层随机抽样.
互不交叉
层
所占比例
『知识拓展』
两种抽样方法的联系与区别
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单
随机
抽样 抽样过程中每个个体被抽到的机会均等 从总体中逐个抽取 各层抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数有限
分层
随机
抽样 将总体分成几层,分层进行抽取 总体由差异明显的几部分组成
题型一 简单随机抽样
角度1 对简单随机抽样的理解
[例1] 下面的抽样方法是简单随机抽样吗 为什么
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
【解】 (1)不是简单随机抽样,因为简单随机抽样要求总体中的个体数是有
限的.
(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验,在抽样操作过程中,从中任取一种玩具检验后再放回;
【解】 (2)是简单随机抽样,因为总体中的个体数有限,且是从总体中逐个抽取,是放回的,等可能的抽样.
(3)国家跳水队选出较优秀的10名跳水队员,备战奥运会;
【解】 (3)不是简单随机抽样,因为这10名跳水队员是挑选出来的较优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
(4)一位彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中不放回地抽出6个号签.
【解】 (4)是简单随机抽样,因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样.
·解题策略·
可用简单随机抽样抽取样本的依据
(1)总体中的个体之间无明显差异.
(2)总体中个体数N有限.
(3)抽取的样本个体数n小于总体中的个体数N.
[变式训练] 在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性( )
A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性大一些
B.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等
C.与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性要大些
D.与第几次抽样无关,每次都是等可能地抽取,但各次抽取的可能性不一定
B
【解析】 在简单随机抽样中,每一个个体被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关,故A,C,D不正确,B正确.故选B.
角度2 随机数法
[例2] 把60名同学看成一个总体,且给60名同学进行编号,分别为00,01,…,59,现从中抽取一容量为6的样本,请从随机数表的倒数第5行(下表为某个随机数表的最后5行)第11列开始向右读取,直到取足样本,则抽取样本的第6个号码为( )
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7680 2692 8280 8425 39
9084 6079 8024 3659 8738 8207 5389 3596 3523 7918 0598 9007 35
4640 6298 8054 9720 5695 1574 8008 3216 4670 5080 6772 1642 79
2031 8903 4338 4682 6872 3214 8299 7080 6047 1897 6349 3021 30
7159 7305 5008 2223 7177 9101 9320 4982 9659 2694 6639 6798 60
A.32 B.38 C.39 D.26
D
【解析】 根据随机数表抽取样本的号码分别为18,00,38,58,32,26,所以抽取样本的第6个号码为26.故选D.
·解题策略·
(1)在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的,所以每个数被抽到的概率是一样的.
(2)利用随机数法抽取样本时,选定的初始数是任意的,读数的方向是任意的,但是对一组样本来说,读数的方向必须是统一的.
[变式训练] 从某班50名同学中选出5名参加户外活动,利用随机数法抽取样本时,先将50名同学按01,02,…,50进行编号,然后从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取2个数字,则选出的第5个个体的编号为(注:下表为某个随机数表的第1行与第2行)( )
A
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6792 4281 1457 2042 5332 3732 1676
A.24 B.36 C.46 D.47
【解析】 依次选取43,36,47,46,24,选出的第5个个体的编号为24.故选A.
题型二 分层随机抽样
[例3] (1)某校高二年级统计了参加课外兴趣小组的学生人数,每人只参加一类,数据如表所示.
学科类别 文学 新闻 经济 政治
人数 400 300 100 200
若采用分层随机抽样的方法从以上学生中抽取50名进行问卷调查,则从文学、新闻、经济、政治四类兴趣小组中抽取的学生人数分别为( )
A.15,20,10,5 B.15,20,5,10
C.20,15,10,5 D.20,15,5,10
D
(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品数量之比为3∶5∶7,现用分层随机抽样的方法抽取容量为n的样本,其中甲种型号产品有18件,则样本容量n为( )
A.45 B.54 C.90 D.126
C
·解题策略·
分层随机抽样问题的解题策略
(1)确定抽样比.可依据总体个数与样本量之比,确定抽样比.
(2)求某一层的样本数或总体个数.可依据题意求出抽样比,再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本量(或总体个数).
(3)求各层的样本量.可依据题意,先求出抽样比,再求出各层样本量.
[变式训练] (1)某市举办“红歌大传唱”主题活动,以传承红色革命精神.某高中高一、高二、高三分别有600人、500人、700人,欲采用分层随机抽样的方法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队,则应抽取高三( )
A.5人 B.6人 C.7人 D.8人
C
(2)某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,年长职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层随机抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为14人,则样本容量为( )
A.15 B.20 C.25 D.30
D
当堂检测
1.某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛,制作了11个形状、大小相同的签,抽签中确保公平性的关键是( )
A.制签 B.搅拌均匀
C.逐一抽取 D.抽取后不放回
B
【解析】 确保公平性的关键是要保证每个签被抽到是等可能的,因此抽签法要做到搅拌均匀,才具有公平性.故选B.
2.下列抽样试验中,适合用抽签法的是( )
A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验
B
【解析】 选项A中,总体中的个体数较大,样本容量也较大,不适合用抽签法;
选项B中,总体中的个体数较小,样本容量也较小,且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了,可用抽签法;
选项C中,甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,不能满足搅拌均匀的条件,不能用抽签法;
选项D中,总体中的个体数较大,不适合用抽签法.故选B.
3.总体由编号01,02,…,29,30的30个个体组成.利用随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
第1行 7816 6232 0802 6242 6252 5369 9728 0198
第2行 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A.27 B.26 C.25 D.24
C
【解析】 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,第1个数为23,符合条件,第2个数为20,符合条件,第3个数为80,不符合条件,以下符合条件的数依次为26,24,25,故第5个数为25.故选C.
4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有50名,高二年级有30名.现用分层随机抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本,已知在高二年级的学生中抽取了6名,则在高一年级的学生中应抽取的人数为 .
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