§3 不等式
3.1 不等式的性质
【课前预习】
知识点二
> > < > > <
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)取a=3,b=2,c=-1,d=-3,满足a>b,c>d,但a-c
(2)取a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,则a>b,c>d,但ac(3)∵b>0,>1,∴·b>b,即a>b,故(3)正确.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)> [解析] ∵===>=1,b>0,∴a>b.
(2)解:(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),
∵x2-x+1=+≥>0,
∴当x>1时,(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x;
当x=1时,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;
当x<1时,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.
变式 B [解析] a-b=+-,且(+)2=5+2>7,故a>b;a-c=2-且(2)2=8>6,故a>c;b-c=(+)-(+)且(+)2=9+2>9+2=(+)2,故c>b.所以a>c>b,故选B.
探究点二
例2 (1)D [解析] 因为a>b,所以a+c>b+c,故A不成立;当c=0时,ac=bc=0,故B不一定成立;当c=0时,=0,故C不一定成立;因为a>b,所以a-b>0,又c2≥0,所以(a-b)c2≥0,故D一定成立.故选D.
(2)证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,
a-c>b-c>0,则(a-c)(b-c)>0,则>0,
所以·(a-c)>·(b-c)>0,
即>>0.
又c<0,所以>.故得证.
变式 (1)BCD [解析] 对于A选项,当a=4,b=1,c=2,d=1时满足已知条件,但此时a-c>b-d,A选项错误;对于B选项,由不等式的同向可加性及a>b,c>d,可得a+c>b+d,B选项正确;对于C选项,由a>b>0,c>d>0,可得ac>bd>0,所以<,C选项正确;对于D选项,由a>b>0,c>d>0,可得(b+c)(b+d)>0,(a+c)(b+d)-(b+c)(a+d)=ad+bc-bd-ac=(a-b)(d-c)<0,所以>0,0<(a+c)(b+d)<(b+c)(a+d),得<,D选项正确.故选BCD.
(2)证明:-=.
∵>且a,b∈(0,+∞),∴b>a>0.
又∵x>y>0,∴bx>ay>0,x+a>0,y+b>0,
∴>0,∴>.
探究点三
例3 解:(1)因为-1(2)由-1变式 BC [解析] 因为2≤x≤5,13.1 不等式的性质
1.D [解析] 原糖水的浓度为,加入m克糖后糖水的浓度为,因为加入m克糖后糖水浓度变大了,所以>.故选D.
2.B [解析] M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1),∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0,∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,∴M>N.
3.B [解析] P-Q=-=,∵a>b>c>0,∴b-a<0,a+b-c>0,ab>0,∴P-Q<0,即P4.C [解析] 因为a+b>0,b<0,所以a>-b>0,-a-b>0>b>-a,即a>-b>b>-a.故选C.
5.C [解析] A中,a>b,若c=0,则ac2=bc2,故A是假命题;B中,>,若c<0,则ab3,则a>b,又ab<0,∴∴>,故C为真命题;D中,a2>b2且ab>0,则a>b>0或a>,故D是假命题.故选C.
6.C [解析] 因为a>b>a+b,所以b0,a>b,所以>,故A中结论正确;对于选项B,因为0>b>a+b,所以(a+b)2>b2,故B中结论正确;对于选项C,取a=-1,b=-2,则ab=2,(a+b)2=9,即ab<(a+b)2,故C中结论错误;对于选项D,因为<0,>0,所以<,故D中结论正确.故选C.
7.D [解析] 由08.BC [解析] 对于A,D,当a=c=2,b=d=1时,a+d=b+c=3,==1,不满足a+d>b+c,>,故A,D均错误;对于B,C,因为a>b>0,c>d>0,所以c2>0,所以ac>bd,ac2>bc2,故B,C均正确.故选BC.
9.AB [解析] 对于A,因为c<0b>0,所以a3>b3,所以a3+c2>b3+c2,故B正确;对于C,-==,因为c<00,但b+c的符号不确定,所以与的大小关系不确定,故C错误;对于D,因为a>b>0,所以>>0,所以>>0,又c<0,所以<,又b10. [解析] 因为311.3 [解析] 由题意知,若成立,则成立,所以bc>ad成立;若成立,则>0成立,所以>成立;若成立,则成立,所以ab>0成立.故可组成3个真命题.
12.T [解析] 因为S-R=1+x-2=(1-)2>0,所以S>R.因为T-S=-(1+x)=>0,所以T>S.故最大的是T.
13.解:(1)M=-=,N=-=,因为+>+>0,所以<,
即-<-,所以M>N.
(2)因为M-N=(x+3)(x+4)-(x+2)(x+5)=(x2+7x+12)-(x2+7x+10)=2>0,所以M>N.
(3)方法一(作差法):M-N=-=
=
=,
因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0,
所以>0,所以M>N.
方法二(作商法):因为a>b>0,所以>0,>0,2ab>0,所以====1+>1,所以M>N.
14.证明:(1)∵a>b>c>d,即a>b,-d>-c,
∴a-d>b-c>0,∴>0,则<.
(2)∵a>b>0,c-d>0,
∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,又e<0,
∴-===>0,∴>.
15.C [解析] 依题意,设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a,b,c,则若c=1,则a+b≥3+2=5,不满足3c>a+b;若c=2,则a+b≥4+3=7,不满足3c>a+b;若c=3,则a+b≥5+4=9,不满足3c>a+b;若c=4,则a+b≥6+5=11,满足3c>a+b,故cmin=4,amin=6,bmin=5,则(a+b+c)min=15.故选C.
16.解:设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),则2a+3b=(m+n)a+(m-n)b,可得解得
则2a+3b=(a+b)-(a-b).
∵13.1 不等式的性质
【学习目标】
1.通过具体情境,感受、理解不等关系在现实生活中是普遍存在的.
2.掌握不等式的基本性质,运用基本性质比较两个实数的大小,掌握证明不等式的基本方法“作差法”.
◆ 知识点一 不等关系基本事实
关于实数a,b大小的比较,有以下基本事实:
如果a-b是正数,那么a>b;
如果a-b等于0,那么a=b;
如果a-b是负数,那么a这个基本事实可以表示为a>b a-b>0;
a=b a-b=0;a◆ 知识点二 不等式的性质
序号 别名 性质内容 注意
1 传递性 a>b,b>c a>c 不可逆
2 可加性 a>b a+c b+c 可逆
3 可乘性 a>b,c>0 ac bc c的符号
a>b,c<0 ac bc
4 同向可加性 a>b,c>d a+c b+d 不可逆
(续表)
序号 别名 性质内容 注意
5 同向正值 可乘性 a>b>0,c>d>0 ac bd 不可逆
a>b>0,c6 可开方性 a>b>0 > n∈N+,n≥2
特殊地,当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a>b,c>d,则a-c>b-d. ( )
(2)若a>b,c>d,则ac>bd. ( )
(3)若b>0,且>1,则a>b. ( )
◆ 探究点一 比较大小
例1 (1)[2024·中央民族大学附中高一月考] 设a=,b=3-,则a b.(填“>”或“<”)
(2)已知x∈R,比较x3-1与2x2-2x的大小.
变式 已知a=,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
[素养小结]
作差法比较两个实数(或代数式)的大小的一般步骤为作差、变形、判断符号、得到结论.这里的“判断符号”是目的,“变形”是关键.其中变形的方法技巧较多,常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.若变形后所得式子的符号不能确定,则需要通过分类讨论来进行大小的比较.
◆ 探究点二 不等式性质的应用
例2 (1)若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是 ( )
A.a+cbc
C.>0 D.(a-b)c2≥0
(2)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:>.
变式 (1)(多选题)[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 已知a,b,c,d都是正数,且a>b,c>d,则下列关系式中正确的有 ( )
A.a-cB.a+c>b+d
C.<
D.<
(2)已知a,b,x,y∈(0,+∞),且>,x>y,求证:>.
[素养小结]
利用不等式的性质进行不等式的证明,常用方法有两种:一是通过作差、变形、判断符号来证明;二是从条件出发,结合不等式的性质,不断变形构造出所证不等式.
◆ 探究点三 利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 已知-1(1)求x-y的取值范围;
(2)求3x+2y的取值范围.
变式 (多选题)[2024·河南济源高级中学高一月考] 设x,y为实数,满足2≤x≤5,1A.3≤x+y≤8 B.2C.-1≤x-y<4 D.<≤5
[素养小结]
在应用不等式的性质求范围时要注意,同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大取值范围.有时需建立待求代数式的整体与已知代数式的整体之间的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,从而求得待求代数式的取值范围.§3 不等式
3.1 不等式的性质
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m(m>0)克糖(假设全部溶解),糖水变甜了,能恰当表示这一事实的不等式为 ( )
A.bm>am B.b+m>a+m
C.> D.>
2.已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是 ( )
A.MN
C.M=N D.不确定
3.已知a>b>c>0,若P=,Q=,则P与Q的大小关系是 ( )
A.P>Q B.PC.P=Q D.不确定
4.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是 ( )
A.a>b>-b>-a
B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a
D.a>b>-a>-b
5.已知a,b,c∈R,那么下列命题为真命题的是 ( )
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若>,则a>b
C.若a3>b3且ab<0,则>
D.若a2>b2且ab>0,则>
6.[2024·内蒙古鄂尔多斯高一期中] 已知a>b>a+b,则下列结论错误的是 ( )
A.> B.(a+b)2>b2
C.ab>(a+b)2 D.<
7.[2024·福建龙岩高一期中] 已知0A.0B.C.ab>a2
D.08.(多选题)[2024·浙江丽水高一期末] 如果a>b>0,c>d>0,那么下面结论正确的是 ( )
A.a+d>b+c B.ac>bd
C.ac2>bc2 D.>
9.(多选题)[2024·江西部分学校高一期中] 已知c<0A.ac+bB.a3+c2>b3+c2
C.<
D.+a<+b
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.已知211.已知①ab>0,②>,③bc>ad,用其中两个作为条件,剩下的一个作为结论,则可组成
个真命题.
12.若0三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)[2024·贵州六盘水高一期中] 比较下列M,N的大小:
(1)设x>1,M=-,N=-;
(2)设M=(x+3)(x+4),N=(x+2)(x+5);
(3)设a>b>0,M=,N=.
14.(10分)(1)已知a>b>c>d,求证:<;
(2)已知a>b>0,c.
15.(5分)某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数,加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数,加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和.若该校新生每人只能加入其中一个协会,则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为 ( )
A.9 B.12
C.15 D.18
16.(15分)已知1§3 不等式
3.1 不等式的性质
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过具体情境，感受、理解不等关系在现实生活中是普遍存在的.
2.掌握不等式的基本性质，运用基本性质比较两个实数的大小，掌握证明
不等式的基本方法“作差法”.
知识点一 不等关系基本事实
关于实数, 大小的比较，有以下基本事实：
如果是正数，那么 ；
如果等于0，那么 ；
如果是负数，那么 .反过来也成立.
这个基本事实可以表示为 ;
; .
知识点二 不等式的性质
序号 别名 性质内容 注意
1 传递性 不可逆
2 可加性 可逆
3 可乘性
4 同向可加性 不可逆
5 同向正值可乘性 不可逆
6 可开方性
特殊地，当时，，其中， .
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，，则 .( )
×
[解析] 取,,,,满足，，但 ，故
（1）错误.
（2）若，，则 .( )
×
[解析] 取,，,,则,,但 ,故（2）错误.
（3）若，且，则 .( )
√
[解析] ,,,即 ，故（3）正确.
探究点一 比较大小
例1（1） [2024·中央民族大学附中高一月考] 设，，则
___.（填“ ”或“ ”）
[解析] ，， .
（2）已知，比较与 的大小.
解： ，
，
当时，，即 ；
当时，，即 ；
当时，，即 .
变式 已知，，，则，， 的大小关系为
( )
B
A. B. C. D.
[解析] ，且，故 ；
且，故；
且，故.
所以 ，故选B.
［素养小结］
作差法比较两个实数（或代数式）的大小的一般步骤为作差、变形、判断符号、
得到结论.这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键.其中变形的方法技巧较多，
常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.若变形后所得式子的符号不能确定，
则需要通过分类讨论来进行大小的比较.
探究点二 不等式性质的应用
例2（1） 若,,，且 ，则下列不等式一定成立的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，故A不成立；
当时， ，故B不一定成立；
当时，，故C不一定成立；
因为 ，所以，又，所以 ，故D一定成立.故选D.
（2）已知，且，求证： .
证明：因为，且，所以, ，
，则，则 ，
所以 ，
即 .
又，所以 .故得证.
变式（1） （多选题）[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 已知，，，
都是正数，且， ，则下列关系式中正确的有( )
BCD
A. B. C. D.
[解析] 对于A选项，当,,, 时满足已知条件，
但此时，A选项错误；
对于B选项，由不等式的同向可加性及 ，，
可得，B选项正确；
对于C选项，由， ，可得，
所以，C选项正确；
变式（1） （多选题）[2024·江苏徐州高级中学高一期中] 已知，，，
都是正数，且， ，则下列关系式中正确的有( )
BCD
A. B. C. D.
对于D选项，由 ，，可得 ，
，
所以,，得 ，
D选项正确.故选 .
（2）已知,,,,且,,求证: .
证明： .
且,, .
又,,, ,
, .
［素养小结］
利用不等式的性质进行不等式的证明，常用方法有两种：一是通过作差、变形、
判断符号来证明；二是从条件出发，结合不等式的性质，不断变形构造出所证
不等式.
探究点三 利用不等式的性质求代数式的取值范围
例3 已知， .
（1）求 的取值范围；
解：因为，，所以，所以 .
（2）求 的取值范围.
解：由，，得， ，
所以 .
变式 （多选题）[2024·河南济源高级中学高一月考] 设, 为实数，满足
, ，则下列结论正确的是( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 因为,，所以, ，故A错误，
B正确.
因为，所以，故C正确.
因为 ，所-以，故D错误.故选 .
［素养小结］
在应用不等式的性质求范围时要注意，同向（异向）不等式的两边可以相加
（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就
有可能扩大取值范围.有时需建立待求代数式的整体与已知代数式的整体之间的
关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，从而求得待求代数式的取值范围.
判断两个实数大小的方法：
若,则;若,则 .
比较大小的一般步骤:作差、变形、定号、结论.
1.不等式性质的实际应用
例1 某粮站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克元，二级小麦每千克 元
.现有一级小麦千克，二级小麦 千克，从粮站的角度考虑，能否以两
种价格的平均数收购？为什么？
解：当分级收购时，粮站支出 元；
当按两种价格的平均数收购时，粮站支出 元.
因为，且 ，
所以当 时，粮站占便宜，可以这样收购；
当 时，两种收购方式的支出一样，可以这样收购；
当 时，粮站吃亏，不建议这样收购.
2.求代数式的取值范围
例2 已知，，求 的取值范围.
解：方法一：设，，
则,, ， ，
.
，， ，
则，则 .
即的取值范围为 .
方法二：令 ，
则 ，
解得
则 .
又, ， ，
故的取值范围是 .