3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
1.A [解析] 若不等式m2+1≥2m成立,则m2-2m+1=(m-1)2≥0成立,等号成立的条件是m-1=0,即m=1.故选A.
2.B [解析] 因为x>0,所以x+-2≥2-2=2-2=0,当且仅当x=1时,等号成立.故y=x+-2(x>0)有最小值0.故选B.
3.C [解析] 因为2bc=a2+c2>2ac,所以2bc>2ac,所以b>a,所以可排除A,D.因为a2-c2=(a+c)(a-c)=2c(b-c),且a,b,c均为正数,所以a-c与b-c的符号相同,所以可排除B.令a=2,c=1,可得b=,可知C可能成立.故选C.
4.B [解析] ∵x<0,∴-2x>0,∴-2x-=(-2x)+≥2=2,当且仅当x=-时,等号成立,∴y=1-2x-≥3,故选B.
5.B [解析] 因为0
=,所以排除A.因为a2+b2>2ab,所以排除C.故选B.
6.B [解析] 因为x2=<=a+b,y2=a+b,所以x20,y>0,所以x7.B [解析] 由题意知q=≥=+=p,当且仅当=时取等号.故选B.
8.AD [解析] 对于A,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,所以a2+b2≥2ab,所以A中不等式恒成立;对于B,当b=-1,a=1时,+b<2a,所以B中不等式不恒成立;对于C,当a,b都小于0时,<,所以C中不等式不恒成立;对于D,-ab===≥0,所以≥ab,所以D中不等式恒成立.故选AD.
9.AC [解析] A中,+==a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=±1时等号成立,正确;B中,当x=y=-1时,满足xy=1,但x+y=-2,不正确;C中,m2-4m+6=(m-2)2+2≥2,当且仅当m=2时等号成立,正确;D中,+≥2=2,显然t2+4≥4>1,所以等号不可能成立,不正确.故选AC.
10.正 [解析] ∵a>2,∴a-2>0,∴a+-3=-1≥2-1=1>0(当且仅当a=3时取等号),∴该代数式的值的符号为正.
11.2 [解析] 因为2a·4b=16,即2a·22b=24,即2a+2b=24,所以a+2b=4.又a,b为正实数,所以ab=×a×(2b)≤×=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时取等号,故ab的最大值为2.
12.≥ [解析] 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,则=≥,当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.
13.解:根据基本不等式可知,当a,b,c∈R+时,+≥,当且仅当a=b时取等号;+≥,当且仅当c=b时取等号;+≥,当且仅当a=c时取等号.
所以2≥2,即++≥++,当且仅当a=b=c时取等号.
14.证明:∵a,b,c∈R+且a+b+c=1,
∴a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2,当且仅当a=b=c=时等号同时成立.
∵=··,∴≤··=,当且仅当a=b=c=时等号成立,故得证.
15.10 [解析] 要使xy≥m-2恒成立,即使m≤xy+2恒成立,只要m≤(xy+2)min即可.∵x>0,y>0,xy=x+2y,∴xy=x+2y≥2,当且仅当x=4,y=2时取等号,则xy≥8,∴xy+2的最小值为10,∴m≤10,即实数m的最大值为10.
16.证明:(1)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,所以ab+bc+ac=-(a2+b2+c2),
因为abc=1,所以a,b,c都不为0,则a2+b2+c2>0,
所以ab+bc+ac=-(a2+b2+c2)<0.
(2)因为a≤b0,b<0,a<0,因为a+b+c=0,所以c=-a-b,由abc=1可得c=,所以c3=c2·c=(-a-b)2·==≥=4,所以c≥,当且仅当a=b时等号成立.3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
【学习目标】
1.掌握基本不等式,从代数结构、几何直观、数量关系、实际意义等角度分析、理解基本不等式.
2.初步运用基本不等式解决简单的证明问题,发展数学运算素养和逻辑推理素养,培养发现问题、提出问题的意识与能力.
◆ 知识点 基本不等式
1.基本不等式:≥(a≥0,b≥0),当且仅当 时,等号成立.
2.算术平均值与几何平均值:设a≥0,b≥0,则 称为a,b的算术平均值, 称为a,b的几何平均值.
3.基本不等式又称为均值不等式,也可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.当且仅当a,b两数相等时两者相等.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若ab≥0,则≥. ( )
(2)当x≠0时,有x+≥4. ( )
◆ 探究点一 正确理解基本不等式
例1 (1)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2
B.若a>0,b>0,则ab≤
C.对任意的a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立
D.若a≠0,则a+≥2=2
(2)设0A.aB.a<<C.a<D.变式 (多选题)[2024·石家庄联邦外国语中学高一期中] 下列不等式中恒成立的是 ( )
A.a2+1>2a B.≥2
C.x2+≥1 D.≤2
[素养小结]
基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化,当题目中不等号的一端是“和式”而另一端是“积式”时,就可以考虑利用基本不等式来解决.在应用基本不等式的过程中要注意“一正、二定、三相等”.
◆ 探究点二 利用基本不等式求最值
例2 (1)已知函数y=9x+-2,当x>0时,( )
A.y有最大值4 B.y有最小值4
C.y有最小值8 D.y有最大值8
(2)若x>2,则x+的最小值为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
变式 (1)已知x>0,则4-2x-的最大值为( )
A.-2 B.-1
C.0 D.2
(2)已知x>0,则的最小值为 ( )
A.5 B.3
C.-5 D.-3
[素养小结]
利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时,需满足(1)a,b必须都是正数(一正);(2)当a+b为定值时,可以知道ab的最大值,当ab为定值时,可以知道a+b的最小值(二定);(3)当且仅当a=b时,等号成立(三相等).
◆ 探究点三 利用基本不等式比较大小
例3 已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,试比较+,,4的大小.
变式 已知a>1,则,,三个数的大小关系是 ( )
A.<<
B.<<
C.<<
D.<<
[素养小结]
应用基本不等式比较大小,一般有两种思路:(1)结合基本不等式,确定每个式子的范围,用不等式的传递性比较大小;(2)观察待比较式子的结构特征,合理选取基本不等式或其变式,利用不等式的性质比较大小.
◆ 探究点四 利用基本不等式证明不等式
[提问] 要证明不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx,你会联想到哪些不等式 通过怎样的方式求证呢
例4 设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c.
变式 [2024·福建将乐一中高一月考] 已知a>0,b>0,且a+b=2,证明:+≤2.
[素养小结]
要证明的不等式具有一边或两边是三个式子相加或相乘的形式时,通常先用基本不等式两两结合,再用同向不等式相加或相乘的性质来证明.
拓展 已知a,b,c都是正实数,且a+b+c=1.
求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是 ( )
A.m=1 B.m=±1
C.m=-1 D.m=0
2.已知y=x+-2(x>0),则y有 ( )
A.最大值0 B.最小值0
C.最小值-2 D.最小值2
3.已知a,b,c为互不相等的正数,且a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立的是 ( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.a>c>b
4.[2024·江西抚州南城一中高一月考] 设x<0,则y=1-2x-的最小值是 ( )
A.1 B.3
C.-1 D.0
5.若实数a,b满足0A. B.a2+b2
C.2ab D.a
6.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的大小关系是 ( )
A.x>y B.xC.x=y D.不确定
7.若m,n,a,b,c,d均为正数,p=+,q=·,则p,q的大小关系为 ( )
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.不确定
8.(多选题)设a,b∈R,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A.a2+b2≥2ab B.+b≥2a C.≥ D.≥ab
9.(多选题)[2024·吉林吉化一中高一月考] 下列结论正确的有 ( )
A.若ab=1,则+的最小值为2
B.若xy=1,则x+y的最小值为2
C.m2-4m+6的最小值为2
D.+的最小值为2
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.当a>2时,代数式a+-3的值的符号为 .(填“正”或“负”)
11.[2024·重庆高一期中] 若a,b为正实数,且2a·4b=16,则ab的最大值为 .
12.若a>b>c,则与的大小关系是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知a,b,c∈R+,比较++与++的大小.
14.(10分)[2024·江西赣抚吉高一联考] 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证:≤.
15.(5分)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立,则实数m的最大值是 .
16.(15分)设a,b,c∈R,且a≤b(1)证明:ab+bc+ac<0;
(2)证明:c≥.3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
【课前预习】
知识点
1.a=b 2.
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)在基本不等式中,要求a,b都是非负数,故(1)错误.
(2)没有考虑x的正负,当x>0时,x+≥2=4(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+=-≤-2=-4(当且仅当x=-2时,等号成立),故(2)错误.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)AB (2)B [解析] (1)由基本不等式可知A,B正确;当a≥0,b≥0时,a+b≥2成立(当且仅当a=b时,等号成立),故C错误;而D中,当a<0时,该不等式不成立.故选AB.
(2)因为b>a>0,所以>,ab>a2,2b>b+a,所以b>,>a,所以a<<变式 BC [解析] 对于A,当a=1时, a2+1=2a=2,故A错误.对于B,由题意可知 x≠0,所以 |x|>0,>0,所以=|x|+≥2=2,当且仅当|x|=,即x=±1时取等号,故B正确.对于C,因为x2+1>0,所以x2+=x2+1+-1≥2-1=1,当且仅当x2+1=,即x=0时取等号,故C正确.对于D,当a=1,b=4时,==>2,故D错误.故选BC.
探究点二
例2 (1)B (2)C [解析] (1)由x>0,得y=9x+-2≥2-2=4,当且仅当9x=,即x=时,等号成立,所以当x>0时,函数y=9x+-2有最小值4.故选B.
(2)由x>2,得x-2>0,所以x+=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立,所以x+的最小值为4.故选C.
变式 (1)C (2)B [解析] (1)因为x>0,所以4-2x-=4-≤4-2=4-4=0,当且仅当2x=,即x=1时,等号成立,所以4-2x-的最大值是0.故选C.
(2)由x>0,得=x+-1≥2-1=3,当且仅当x=,即x=2时等号成立,所以的最小值为3,故选B.
探究点三
例3 解:∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≤=,当且仅当a=b=时,等号成立.
∴+==≥4,==-ab≥-=,即≤4.
故+≥4≥.
变式 C [解析] 易知当a,b是正数时,≤≤(当且仅当a=b时,等号同时成立),令b=1,得≤≤(当且仅当a=1时,等号同时成立).又a>1,所以<<,故选C.
探究点四
提问 解:联想到不等式x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2zx(当且仅当x=y=z时,三式中的等号同时成立),将它们相加再化简即可.
例4 证明:∵a,b,c都是正数,∴,,也都是正数,
∴+≥2c,+≥2a,+≥2b,当且仅当a=b=c时,三式中的等号同时成立,三式相加得2≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.
变式 证明:因为×≤,当且仅当a=1时等号成立,×≤,当且仅当b=1时等号成立,
所以×+×≤+=4,当且仅当a=b=1时,等号成立,则(+)≤4,即+≤2,故得证.
拓展 证明:∵a+b+c=1,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b).
又∵a,b,c都是正实数,∴≥>0,≥>0,≥>0,当且仅当a=b=c=时,三式中的等号同时成立.
∴≥abc,
∴(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.(共27张PPT)
§3 不等式
第1课时 基本不等式
3.2 基本不等式
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.掌握基本不等式，从代数结构、几何直观、数量关系、实际意义等角度
分析、理解基本不等式.
2.初步运用基本不等式解决简单的证明问题，发展数学运算素养和逻辑推
理素养，培养发现问题、提出问题的意识与能力.
知识点 基本不等式
1.基本不等式： ，当且仅当______时，等号成立.
2.算术平均值与几何平均值：设，，则____称为， 的算术平均值，
_____称为， 的几何平均值.
3.基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值
大于或等于它们的几何平均值.当且仅当， 两数相等时两者相等.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若，则 .( )
×
[解析] 在基本不等式中，要求, 都是非负数，故（1）错误.
（2）当时，有 .( )
×
[解析] 没有考虑的正负，当时，（当且仅当 时，
等号成立）；当时， （当且仅当
时，等号成立），故（2）错误.
探究点一 正确理解基本不等式
例1（1） （多选题）下列说法正确的是( )
AB
A.若，且，则
B.若，，则
C.对任意的，，， 均成立
D.若，则
[解析] 由基本不等式可知A,B正确；
当，时， 成立（当且仅当时，等号成立），故C错误；
而D中，当 时，该不等式不成立.故选 .
（2）设 ，则下列不等式中成立的是( )
B
A. B.
C. D.
[解析] 因为，所以，，，所以 ，
,所以 .故选B.
变式 （多选题）[2024·石家庄联邦外国语中学高一期中] 下列不等式中恒成
立的是( )
BC
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当时, ，故A错误.
对于B，由题意可知，所以，,
所以 ,当且仅当，
即时取等号，故B正确.
对于C，因为 ，
所以 ，
当且仅当，即时取等号，故C正确.
对于D，当, 时，，故D错误.故选 .
［素养小结］
基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的一端
是“和式”而另一端是“积式”时，就可以考虑利用基本不等式来解决.在应用基本
不等式的过程中要注意“一正、二定、三相等”.
探究点二 利用基本不等式求最值
例2（1） 已知函数，当 时，( )
B
A.有最大值4 B.有最小值4 C.有最小值8 D. 有最大值8
[解析] 由，得，当且仅当 ，即
时，等号成立，所以当时，函数 有最小值4.故选B.
（2）若，则 的最小值为( )
C
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 由，得 ，
所以，
当且仅当 ，即时，等号成立，
所以 的最小值为4.故选C.
变式（1） 已知，则 的最大值为( )
C
A. B. C.0 D.2
[解析] 因为，所以 ，
当且仅当，即时，等号成立，所以 的最大值是0.故选C.
（2）已知,则 的最小值为( )
B
A.5 B.3 C. D.
[解析] 由,得,当且仅当,即
时等号成立，所以 的最小值为3,故选B.
［素养小结］
利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足（1）， 必须都是正
数（一正）；（2）当为定值时，可以知道的最大值，当 为定值时，可
以知道的最小值（二定）；（3）当且仅当 时，等号成立（三相等）.
探究点三 利用基本不等式比较大小
例3 已知，，且，试比较， ，4的大小.
解：，，,,
当且仅当 时，等号成立.
，，即 .
故 .
变式 已知,则,, 三个数的大小关系是( )
C
A. B.
C. D.
[解析] 易知当,是正数时,（当且仅当 时，等号同时成
立）,令,得（当且仅当时，等号同时成立）.
又 , 所以 ,故选C.
［素养小结］
应用基本不等式比较大小，一般有两种思路：（1）结合基本不等式，确定每个
式子的范围，用不等式的传递性比较大小；（2）观察待比较式子的结构特征，
合理选取基本不等式或其变式，利用不等式的性质比较大小.
探究点四 利用基本不等式证明不等式
［提问］ 要证明不等式 ，你会联想到哪些不等
式？通过怎样的方式求证呢？
解：联想到不等式，， （当且仅当
时，三式中的等号同时成立），将它们相加再化简即可.
例4 设，，都是正数，求证： .
证明：，，都是正数，，， 也都是正数，
，，，
当且仅当 时，三式中的等号同时成立，
三式相加得 ，即 .
变式 [2024·福建将乐一中高一月考] 已知，，且 ，证
明： .
证明：因为，当且仅当时等号成立，
，当且仅当 时等号成立，
所以，当且仅当 时，等号
成立,则，即 ，故得证.
［素养小结］
要证明的不等式具有一边或两边是三个式子相加或相乘的形式时，通常先用基
本不等式两两结合，再用同向不等式相加或相乘的性质来证明.
拓展 已知,,都是正实数,且 .
求证: .
证明： , .
又,,都是正实数,,, ,
当且仅当 时,三式中的等号同时成立.
,
.
1.不等式与 成立的条件
（1）两个不等式成立的条件不同：不等式成立的条件是, 都是
实数；不等式中，要求, 都是非负数.
（2）两个不等式中都有“”,“当且仅当时，等号成立”的含义是当 时，
有与;反过来，当与 时，有
.
2.基本不等式
（1）形式： .
（2）成立的前提条件：, 都是非负数.
（3）等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立.
基本不等式的若干配凑技巧
例（1） 已知,试比较 与1的大小；
解：,, ，
，
当且仅当，即 时，等号成立，
.
（2）若，,,求证： .
证明：,, ,
（当且仅当 时，等
号成立）.