第2课时 基本不等式的简单应用
【课前预习】
知识点一
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)要求a,b都为正实数且等号能取到,才会有最值,故(1)错误;(2)取不到等号,错误.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)+3 (2)8 (3) (4)2 [解析] (1)(凑配法)因为x>3,所以2x-6>0,所以x+=x-3++3≥2+3=+3,当且仅当x-3=,即x=3+时,等号成立,故x+的最小值为+3.
(2)(常数代换法)因为x>0,y>0,且+=1,所以x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当即时,等号成立,所以x+2y的最小值为8.
(3)(凑配法)∵0
(4)(分离变量法) ∵x>1, ∴ y===x-1+≥2=2, 当且仅当x-1=,即x=+1时等号成立,∴y=的最小值为2.
变式 (1)1 (2)36 [解析] (1)因为x<,所以5-4x>0,所以y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.故y=4x-2+的最大值为1.
(2)因为x>0,y>0,所以+=≥==(当且仅当y=9x时,等号成立),又因为+=1,所以≤1,则xy≥36,当且仅当x=2,y=18时,等号成立,即xy的最小值为36.
拓展 A [解析] (多元化一元法)由a>0,b>0,2a+b=ab,得(a-1)(b-2)=2,∴b-2=,∴b=>0,故a-1>0.又a-1=,∴+= +(a-1)≥2,当且仅当=a-1,即a=2,b=4时等号成立,即+的最小值为2,故选A.
探究点二
例2 解:(1)设DO边的长为y m,则x2+4xy=200,即y=,∴S=4200x2+210×4xy+80×4×y2=38 000+4000x2+(0(2)S=38 000+4000x2+≥38 000+2=118 000,当且仅当4000x2=,即x=时,等号成立,故Smin=118 000.
因此,至少要投入118 000元才能建造这个休闲区域.
变式 解:(1)设阴影部分直角三角形中EF边上的高为y cm,
则阴影部分的面积S=6×xy=3xy=36 000,所以xy=12 000,又x=60,所以y=200.
由图可知AD=y+20=220(cm),AB=3x+50=230(cm),
故海报纸的周长为2×(220+230)=900(cm).
(2)由(1)知xy=12 000,x>0,y>0,
则S矩形ABCD=(3x+50)(y+20)=3xy+60x+50y+1000≥3xy+2+1000=49 000,
当且仅当6x=5y,即x=100,y=120时等号成立,
此时,AB=350 cm,AD=140 cm.
故选择长、宽分别为350 cm,140 cm的矩形海报纸,可使用纸量最少.第2课时 基本不等式的简单应用
1.C [解析] ab≤=4,当且仅当a=b=2时取等号,所以ab的最大值为4.故选C.
2.C [解析] 因为00,所以x(3-x)≤=,当且仅当x=3-x,即x=时取等号,所以x(3-x)的最大值为.故选C.
3.C [解析] ∵x>0,y>0,且+=1,∴x+y=(x+y)=5++≥2+5=9,当且仅当x=3,y=6时取等号,∴(x+y)min=9,故选C.
4.C [解析] 设该直角三角形的直角边的长分别为a,b,则易知ab=8,其周长为a+b+ ≥2 + =4 +4,当且仅当a=b=2时取等号,故其周长的最小值为4+4.故选C.
5.D [解析] 因为a,b均为正实数,且a+4b--3=0,所以a+4b=+3≥2=4,当且仅当a=4b时取等号,则3≥3,可得06.B [解析] =≥==2,当且仅当x=z=时,等号成立,即的最小值为2.故选B.
7.C [解析] 设原价为1.对于方案①,降价后的价格x1=(1-a%)(1-b%),对于方案②,降价后的价格x2=(1-a%),对于方案③,降价后的价格x3=,对于方案④,降价后的价格x4=1-(a+b)%.因为(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%b%>1-(a+b)%,所以x1>x4;因为a>b,所以(1-a%)(1-b%)<=,所以x1b,所以%>%,所以1-%<1-%,所以(1-a%)<,所以x28.CD [解析] 因为ab>0,所以>0,>0,所以+=(a+b)=3++≥3+2=3+2,当且仅当即a=-1,b=2-时,等号成立,所以+≥3+2,故选CD.
9.ABD [解析] 因为m>0,n>0,所以2m+n=1≥2,故mn≤,当且仅当2m=n,即n=,m=时取等号,故A正确;4m2+n2=(2m+n)2-4mn=1-4mn≥1-4×=,当且仅当n=,m=时取等号,故B正确;+=[(2m+2)+(n+2)]=≥=5,当且仅当=,即m=0,n=1时取等号,但m>0,n>0,故+>5,故C错误;+=(2m+n)=3++≥3+2=3+2,当且仅当=,即m=,n=-1时等号成立,故D正确.故选ABD.
10.9 [解析] 由x>1,得x-1>0,于是=x+=x-1++1≥2+1=9,当且仅当x-1=,即x=5时取等号,所以的最小值为9.
11.3 [解析] 由4ab=a+b+6得a+b+6=4ab≤a2+b2+2ab=(a+b)2,当且仅当a=b时取等号,整理可得(a+b)2-(a+b)-6≥0,可得a+b≥3或a+b≤-2,又因为a,b均为正数,所以a+b≥3,所以a+b的最小值为3.
12.30 [解析] 设一年的总运费与总存储费用之和为y万元,则y=4x+×6=4≥4×2=240,当且仅当x=,即x=30时,等号成立,此时y取得最小值.
13.解:(1)∵x>0,y>0,且+=1,∴1=+≥2=,当且仅当x=4,y=16时取等号,∴xy≥64,故xy的最小值是64.
(2)∵x>0,y>0,x+2y=1,∴+=(x+2y)=1++2+≥3+2=3+2,当且仅当x=-1,y=1-时取等号,故+的最小值是3+2.
14.解:(1)由题意可知当m=0时,x=1(万件),所以1=3-k,得k=2,所以x=3-(m≥0).因为每件产品的销售价格为元,所以y=1.5×·x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m=-+29(m≥0).
(2)当m≥0时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时取等号,所以y≤-8+29=21,所以当m=3(万元)时,y有最大值21万元,
所以该厂家在2024年投入的年促销费用为3万元时,厂家所获利润最大,最大为21万元.
15.3-2 [解析] 由题设,+==,又a=1-b>0,b>0,所以==1+=1+=3-2b-,所以+-=3-2b-且016.解:(1)当C不在点O处时,△FCO是直角三角形,此时在Rt△FCO中,斜边FC大于直角边FO;当C在点O处时,FC=FO.
所以FC≥FO.因为FO=AB=,OC=|OB-BC|==,所以FC2=OC2+FO2=+=,所以≥.
与基本不等式比较可得,≥≥(a≥0,b≥0),当且仅当a=b时等号成立.
(2)证明:因为a>0,b>0,≥,当且仅当a=b时等号成立,所以把不等式中的a替换成,b替换成,不等式同样成立,
整理可得≥,当且仅当a=b时等号成立.第2课时 基本不等式的简单应用
【学习目标】
1.能够运用基本不等式变形求最值.
2.掌握基本不等式在实际问题中的应用.
◆ 知识点一 基本不等式与最大(小)值
当x,y均为正数时,下面的命题均成立:
(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值;
(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最小值2.
拓展:当a>0,b>0时,≤≤≤,当且仅当a=b时,等号同时成立.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于实数a,b,若ab为定值,则a+b有最小值. ( )
(2)若x>2,则x+的最小值为2. ( )
◆ 知识点二 基本不等式在实际问题中的应用
用基本不等式解决实际问题时的常用思路
(1)理解题意,设出变量,设变量时一般把需要求最大值或最小值的变量定义为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题;
(3)根据已知变量的范围,求出函数的最大值或最小值;
(4)结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题.
◆ 探究点一 利用基本不等式的变形求最值
例1 (1)若x>3,则x+的最小值为 .
(2)若x>0,y>0,且+=1,则x+2y的最小值是 .
(3)设0(4)设x>1,则y=的最小值为 .
变式 (1)已知x<,则y=4x-2+的最大值为 .
(2)已知x>0,y>0,且+=1,则xy的最小值为 .
[素养小结]
(1)利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,小于0的项可以通过取相反数或绝对值变为大于0的项后再求解;(2)等号能否成立是一个关键步骤,要认真验证,不能省略;(3)主要方法有常数代换法、凑配法、分离变量法、多元化一元法等.
拓展 [2024·黑龙江龙东五地高一期中] 已知a>0,b>0,2a+b=ab,则+的最小值为 ( )
A.2 B.3 C.2 D.4
◆ 探究点二 基本不等式在实际问题中的应用
例2 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境,计划建一个八边形的休闲区域,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的“十字形”地域,如图所示.现计划在正方形MNPO上建一花坛,造价为4200元/m2,在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为210元/m2,再在四个空角上铺草坪,造价为80元/m2.设总造价为S元,AD边的长为x m.
(1)试建立S关于x的函数关系式;
(2)至少要投入多少元才能建造这个休闲区域
变式 [2024·陕西榆林府谷中学高一月考] 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD,如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2.为了美观,要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10 cm(宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10 cm),设EF=x cm.
(1)当x=60时,求海报纸(矩形ABCD)的周长;
(2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)
[素养小结]
在应用基本不等式解决实际问题时,应注意以下两点:
(1)从题意中要确定使得基本不等式中等号成立的条件,或者从构建的函数模型中直接求出等号成立的条件;
(2)所求出的最值必须符合实际情况.(共25张PPT)
§3 不等式
第2课时 基本不等式的简单应用
3.2 基本不等式
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.能够运用基本不等式变形求最值.
2.掌握基本不等式在实际问题中的应用.
知识点一 基本不等式与最大（小）值
当， 均为正数时，下面的命题均成立：
（1）若为定值，则当且仅当时，取得最大值 ；
（2）若为定值，则当且仅当时，取得最小值 .
拓展：当，时，,当且仅当 时,等号同
时成立.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）对于实数，，若为定值，则 有最小值.( )
×
[解析] 要求, 都为正实数且等号能取到，才会有最值，故（1）错误；
（2）若，则 的最小值为2.( )
×
[解析] 取不到等号，错误.
知识点二 基本不等式在实际问题中的应用
用基本不等式解决实际问题时的常用思路
（1）理解题意,设出变量,设变量时一般把需要求最大值或最小值的变量定义为函数;
（2）建立相应的函数关系式,把实际问题转化、抽象为函数的最大值或最小值问题;
（3）根据已知变量的范围,求出函数的最大值或最小值;
（4）结合实际意义求出正确的答案,回答实际问题.
探究点一 利用基本不等式的变形求最值
例1（1） 若，则 的最小值为_______.
[解析] （凑配法）因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为 .
（2）若，，且，则 的最小值是___.
8
[解析] （常数代换法）因为，，且 ，
所以 ，
当且仅当即时，等号成立，所以 的最小值为8.
（3）设，则 的最大值为__.
[解析] （凑配法） ，
，
当且仅当 ,即 时等号成立.
（4）设,则 的最小值为_____.
[解析] （分离变量法） ,
,
当且仅当,即时等号成立，的最小值为 .
变式（1） 已知，则 的最大值为___.
1
[解析] 因为，所以 ，
所以 ，
当且仅当，即时，等号成立.故 的最大值为1.
（2）已知,,且，则 的最小值为____.
[解析] 因为,,所以 （当且仅当
时，等号成立），又因为，所以，则 ，当且仅
当，时，等号成立，即 的最小值为36.
［素养小结］
（1）利用基本不等式求最值时，各项必须为正数，小于0的项可以通过取相反
数或绝对值变为大于0的项后再求解；（2）等号能否成立是一个关键步骤，要
认真验证，不能省略；（3）主要方法有常数代换法、凑配法、分离变量法、多
元化一元法等.
拓展 [2024·黑龙江龙东五地高一期中] 已知，， ，则
的最小值为( )
A
A.2 B.3 C. D.4
[解析] （多元化一元法）由，， ，得
,,，故.
又 ，，
当且仅当，即, 时等号成立，即 的最小值为2，
故选A.
探究点二 基本不等式在实际问题中的应用
例2 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环
境，计划建一个八边形的休闲区域，它的主体造型的平
面图是由两个相同的矩形和 构成的面积为
的“十字形”地域，如图所示.现计划在正方形
上建一花坛，造价为4200元/ ，在四个相同的矩
形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/ ，
再在四个空角上铺草坪，造价为80元/.设总造价为元，边的长为 .
（1）试建立关于 的函数关系式；
解：设边的长为，则，即 ，
.
（2）至少要投入多少元才能建造这个休闲区域？
解： ，
当且仅当，即时，等号成立，故 .
因此，至少要投入118 000元才能建造这个休闲区域.
变式 [2024·陕西榆林府谷中学高一月考] 某公益广告
公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形 ，如图）上设
计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个
全等的直角三角形且 ），宣传栏（图中阴影部
分）的面积之和为 .为了美观，要求海报上所
有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 （宣传栏中
（1）当时，求海报纸（矩形 ）的周长；
相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是），设 .
解：设阴影部分直角三角形中边上的高为 ，
则阴影部分的面积，所以，
又 ，所以 .
由图可知， ，
故海报纸的周长为 .
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形
的面积最小）？
解：由（1）知，， ，
则 ，
当且仅当，即， 时等号成立，
此时，， .
故选择长、宽分别为， 的矩形海报纸，可使用纸量最少.
［素养小结］
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意以下两点：
（1）从题意中要确定使得基本不等式中等号成立的条件，或者从构建的函数模
型中直接求出等号成立的条件（如函数模型 等）；
（2）所求出的最值必须符合实际情况.
利用基本不等式求最值时，常用的变形方法：
（1）配凑系数；
（2）变符号；
（3）拆补项；
（4）常数代换.
不管哪种方法都要注意“一正、二定、三相等”的条件，尤其是“一正”，例如,对
于函数,当时,不等式不成立,并由此不能得出 的
最小值是2.事实上,当时,,,可见此时 的
最大值是,它在 处取得.
1.在求最值时,利用“1”的巧妙代换,即乘1值不变,转化为用基本不等式能解决的问
题是常用的变形技巧.
例1 已知,为常数，且,，,，若,求 的最小值.
解:由题意得
（当且仅当时，等号成立），
所以 的最小值为 .
2.通过添项使式子变为积为定值的形式是用基本不等式求和的最小值时常用的
变形技巧,变形时也要注意等号成立的条件.
例2 已知，，则 的最小值为___.
2
[解析] 因为， ，
所以 ，
当且仅当，即,时取等号，
所以 的最小值为2.
3.利用基本不等式求最值时,必须满足“一正、二定、三相等”,若定值不是直接给
出的,则应通过适当的配凑（如作商、拆项、换元等）构造定值.
例3（1） 已知实数，满足，，则 的最大值为____.
[解析] 由题意得 ，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为 .
（2）[2024·江西南昌三中高一期中] 已知正数,满足 ，则
的最大值为___.
4
[解析] ，
当且仅当，即,时，等号成立.
因为 ，所以 ，即所求最大值为4.第2课时 基本不等式的简单应用
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.已知a+b=4,a>0,b>0,则ab的最大值为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
2.已知0A. B.3
C. D.4
3.已知 x>0,y>0且+=1,则x+y的最小值是 ( )
A.3 B.6 C.9 D.18
4.面积为4的直角三角形的周长的最小值为 ( )
A.4 B.4+2
C.4+4 D.16+8
5.已知a,b均为正实数,且a+4b--3=0,则ab的取值范围是 ( )
A.(-∞,2] B.
C. D.(0,1]
6.[2024·江西部分高中高一月考] 已知x>0,y>0,z>0,则的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.[2024·河南郑州外国语学校高一月考] 某品牌手机为了打开市场,促进销售,准备对其特定型号的产品降价.有四种降价方案:①先降价a%,再降价b%:②先降价%,再降价a%;③先降价%,再降价%;④一次性降价(a+b)%.若a>b,则最终降价幅度最小的方案是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
8.(多选题)若a,b∈R,ab>0且a+b=1,则+的可能取值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
9.(多选题)[2024·江西丰城九中高一期中] 若实数m>0,n>0,且满足2m+n=1,则以下选项中正确的有 ( )
A.m·n的最大值为
B.4m2+n2的最小值为
C.+的最小值为5
D.+的最小值为3+2
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.若x>1,则的最小值为 .
11.已知a>0,b>0,且4ab=a+b+6,则a+b的最小值为 .
12.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)(1)已知x>0,y>0,且+=1,求xy的最小值;
(2)已知x>0,y>0,且x+2y=1,求+的最小值.
14.(10分)某厂家拟在2024年举办某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(等于该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(m≥0)(单位:万元)满足的函数关系为x=3-(k为常数).若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品的成本包括固定投入和再投入两部分).
(1)将该厂家在2024年销售该产品所获得的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;
(2)该厂家在2024年投入的年促销费用为多少万元时,厂家所获利润最大
15.(5分)若a>0,b>0,a+b=1,则+-的最大值为 .
16.(15分)[2024·江西景德镇高一期中] (1)如图,AB是半圆O的直径,点C在AB上,且AC=a,CB=b.过点O作AB的垂线,交于点F,连接FC.请你判断FC与FO的大小关系,并与基本不等式进行比较.
(2)已知a>0,b>0,证明:≥.