2.2 换底公式
【课前预习】
知识点
1. 2.
诊断分析
解:底数a是大于0,且不等于1的任意数.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2) [解析] (1)由换底公式得log45·log56·log64=··=1,故选B.
(2)原式===×××=.
变式 (1)C [解析] 原式=(log32)2+2log32·log23+(log23)2-=(log32)2+2×1+(log23)2-=2.故选C.
(2)解:①lg 20+log10025=1+lg 2+=1+lg 2+lg 5=2.
②(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52)=(log253+lo52+lo5)·(lo23+lo22+log52)=×log25×(1+1+1)×log52=×3=13.
探究点二
例2 解:(1)方法一:∵18b=5,∴log185=b,
又log189=a,∴log3645=====.
方法二:∵18b=5,∴log185=b,又log189=a,∴log3645===.
方法三:∵log189=a,18b=5,∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18,
∴log3645====.
(2)∵2a=3b=5,∴a=log25,b=log35,∴lg 15====.
变式 [解析] ∵lg 2=a,lg 3=b,∴log1815====.
探究点三
例3 证明:令3x=4y=6z=m,由x,y,z均为正实数,
得m>1,x=log3m,y=log4m,z=log6m,
∴=logm3,=logm4,=logm6,
∴-=logm6-logm3=logm2=.故得证.
变式 A [解析] 由已知,得52a=404b=2020c=2022,得2a=log52022,b=log4042022,c=log20202022,所以=log20225,=log2022404,=log20222020,又5×404=2020,所以+=,即+=.故选A.2.2 换底公式
1.C [解析] lg 2·log210=lg 2·=lg 10=1,故选C.
2.C [解析] ∵=,∴log75=a,则7a=5.故选C.
3.B [解析] 由题意得··=log416=log442=2,所以=2,即lg m=2lg 3=lg 9,所以m=9,故选B.
4.D [解析] 对于①,右边=logab2-logac2=loga≠左边,故①不正确;对于②,当a=3时,(loga3)2=1≠2loga3=2,故②不正确;对于③,=log315>1,lg 5<1,则≠lg 5,故③不正确;对于④,由对数的运算性质知logax2=loga|x|2=2loga|x|,故④正确;对于⑤,由换底公式知logab·logba=·=1,故⑤正确.其中正确的是④⑤.故选D.
5.A [解析] log3528====,故选A.
6.A [解析] ∵logax==2,∴logxa=.同理可得logxb=,logxc=,则logabcx====1.
7.B [解析] 由3x=5y=k,得x=log3k,y=log5k,易知k>0且k≠1,所以+=+=logk3+logk5=logk15=2,则k2=15,k=(负值舍去).故选B.
8.ABC [解析] 根据对数换底公式可知A,B,C均正确;D中,logab=,故D错误.故选ABC.
9.BC [解析] 对于A,取a=2,b=4,c=2,则logab=2,=,logab≠,故A不正确;对于B,===,故B正确;对于C,×=log2×log5=log25×log54=log24=2,故C正确;对于D,log39+log42=2+≠0,故D不正确.故选BC.
10. [解析] +log164=log84+lo22=+=.
11.4 [解析] ∵2a=3,∴a=log23.同理b=log35,c=log57,d=log716.则由换底公式可得abcd=log23·log35·log57·log716=···==4.
12.11 [解析] 设需要的普通玻璃的层数为n(n∈N*),由题意可得k·≤,可得≥3,所以n≥lo3==≈10.37,又n∈N*,所以n≥11,因此,至少需要的普通玻璃的层数为11.
13.解:(1)log34·log249·log79=··=··=8.
(2)(log43+log29)(log92-log278)==-.
14.解:(1)因为alog918=1, 所以a=log189,18a+18-a=1+1=9+=.
(2)由18b=5得log185=b,
所以log365=====.
15.C [解析] 由题知,M,N为线段AB的三等分点,易得M,N,将点M,N的坐标分别代入y=xa,y=xb,得=,=,解得a=lo,b=lo,所以ab=lo×lo=×=1.故选C.
16.证明:(1)由勾股定理得a2+b2=c2.又a≠1,∴log(c+b)a+log(c-b)a=+=
==
=2log(c+b)a·log(c-b)a,∴原等式成立.
(2)∵lob1=lob2=…=lobn=λ,∴b1=,b2=,…,bn=,∴b1b2…bn=…
=(a1a2…an)λ,
∴lo(b1b2…bn)=λ.2.2 换底公式
【学习目标】
1.通过对数换底公式的推导,提升逻辑推理的核心素养.
2.通过用对数换底公式进行化简求值,培养数学运算的核心素养.
◆ 知识点 对数换底公式
1.换底公式
logab= (a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1).
2.几个重要结论
lobm= logab(a>0,b>0,且a≠1,n≠0);
logab= (a>0,b>0,且a≠1,b≠1).
【诊断分析】 对数换底公式中底数a是特定数还是任意数
◆ 探究点一 用换底公式化简计算
例1 (1)log45·log56·log64= ( )
A. B.1
C.2 D.3
(2)化简:(log43+log83)·(log32+log92)= .
变式 (1)(log32+log23)2--的值为 ( )
A.log26 B.log36
C.2 D.1
(2)计算下列各式的值:
①lg 20+log10025;
②(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52).
[素养小结]
在解题方向尚不明确的情况下,一般统一将对数换成常用对数(当然也可以换成以其他非1正数为底数的对数或自然对数),然后再化简计算.
◆ 探究点二 用已知对数表示其他对数
例2 (1)已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log3645;
(2)已知2a=3b=5,用a,b表示lg 15的值.
变式 已知lg 2=a,lg 3=b,用a,b表示log1815= .
[素养小结]
用已知对数表示其他对数时,常用换底公式,把其他对数化成和已知对数底数相同的形式,从而进行表示.
◆ 探究点三 利用对数式与指数式的互化解题
例3 已知正实数x,y,z满足3x=4y=6z,求证:-=.
变式 若实数a,b,c满足25a=404b=2020c=2022,则 ( )
A.+= B.+=
C.+= D.+=
[素养小结]
求解此类问题,通常先把指数式化成对数式,然后根据已知条件,利用对数的运算性质进行计算.2.2 换底公式
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.lg 2·log210的值为 ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.若=,则7a= ( )
A. B.
C.5 D.7
3.设log34·log48·log8m=log416,则m的值为 ( )
A. B.9
C.18 D.27
4.[2024·上海青浦高级中学高一期中] 现有下列计算式:
①loga(b2-c2)=2logab-2logac;
②=2loga3;
③=lg 5;
④logax2=2loga|x|;
⑤logab·logba=1.
其中正确的是 ( )
A.①②④ B.②③
C.③④ D.④⑤
5.已知log147=a,log145=b,则log3528用a,b表示为 ( )
A. B.
C. D.
6.若logax=2,logbx=3,logcx=6,则logabcx的值为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
7.若3x=5y=k,且+=2,则k的值为 ( )
A.2 B.
C.15 D.225
8.(多选题)下列各式中正确的是(各字母均为不等于1的正数) ( )
A.logab·logba=1
B.logcd=
C.logcd·logdf=logcf
D.logab=
9.(多选题)[2024·宁夏吴忠秦宁中学高一月考] 以下式子中正确的是 ( )
A.logab=(c>0且c≠1)
B.=
C.×=2
D.log39+log42=0
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.+log164= .
11.已知实数a,b,c,d满足2a=3,3b=5,5c=7,7d=16,则abcd= .
12.太阳光通过一层普通玻璃时,其中的紫外线只会损失原来强度的,而某型号的防紫外线玻璃则能将通过的太阳光中的紫外线过滤为原来强度的.设太阳光中紫外线的强度为k(k>0),则要达到上述型号的防紫外线玻璃的过滤效果,至少需要的普通玻璃的层数为 .(参考数据:lg 3≈0.477)
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)计算:
(1)log34·log249·log79;
(2)(log43+log29)(log92-log278).
14.(10分)已知alog918=1,18b=5.
(1)求18a+18-a的值;
(2)试用a,b表示log365.
15.(5分)对于幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,设幂函数y=xa,y=xb的图象与线段AB分别交于点M,N,那么ab= ( )
A. B.2
C.1 D.
16.(15分)(1)设a,b,c分别是直角三角形三边的长,其中c为斜边的长,c+b≠1,c-b≠1,且a≠1.求证:log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a·log(c-b)a.
(2)已知lob1=lob2=…=lobn=λ,ai>0且ai≠1,其中i∈N*,i≤n,求证:lo(b1b2…bn)=λ.(共21张PPT)
§2 对数的运算
2.2 换底公式
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理的核心素养.
2.通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算的核心素养.
知识点 对数换底公式
1.换底公式
_ ____,,,且, .
2.几个重要结论
___,,且, ;
_____,,且, .
【诊断分析】
对数换底公式中底数 是特定数还是任意数
解：底数 是大于0，且不等于1的任意数.
探究点一 用换底公式化简计算
例1（1） ( )
B
A. B.1 C.2 D.3
[解析] 由换底公式得 ，故选B.
（2）化简： __.
[解析] 原式
.
变式（1） 的值为( )
C
A. B. C.2 D.1
[解析] 原式
.故选C.
（2）计算下列各式的值：
① ；
解: .
② .
解:
.
［素养小结］
在解题方向尚不明确的情况下，一般统一将对数换成常用对数（当然也可以换
成以其他非1正数为底数的对数或自然对数），然后再化简计算.
探究点二 用已知对数表示其他对数
例2（1） 已知,,试用,表示 ；
解：方法一:, ,
又, .
方法二:,,又 ,
.
方法三:,,, ,
.
（2）已知,用,表示 的值.
解：,, ,
.
变式 已知，，用，表示 ______.
[解析] ，， .
［素养小结］
用已知对数表示其他对数时，常用换底公式，把其他对数化成和已知对数底数
相同的形式，从而进行表示.
探究点三 利用对数式与指数式的互化解题
例3 已知正实数，，满足，求证： .
证明：令，由,, 均为正实数，
得，，， ，
，， ,
.故得证.
变式 若实数，，满足 ，则( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由已知，得，得 ，
，，所以， ，
，又，所以，即 .故选A.
［素养小结］
求解此类问题，通常先把指数式化成对数式，然后根据已知条件，利用对数的
运算性质进行计算.
换底公式
（1）换底公式可用于对数式的化简、求值或证明.若对数式的底数和真数可转
化成同底数幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转
化成以10为底的常用对数或以无理数为底的自然对数或以任意数 且
为底的对数式的形式.换底公式可进行不同底数的对数式之间的转化，既
可正用，又可逆用.
（2）对数换底公式的常见变形：
①,,且, ；
②,,,且,, ；
③,,且, ；
④,,且, ；
⑤,,且 .
1.对数方程的求解
例1 解关于 的方程
.
解：因为 ，所以原方程即为
，即 ，
则，解得或.
经检验，当时，， ，不满足真数大于0，舍去；
当 时，满足所有真数都大于0.故方程的解为 .
2.转化思想
例2 设，，，且，若，求 的值.
解：设，，，， ，
，， .
又 ， .
