2.2 分层随机抽样
【课前预习】
知识点
1.类型 随机 2.差异明显 3.(3)比例 (4)简单随机抽样
诊断分析
解:(1)适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况;
(2)是等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都是(n为样本容量,N为总体容量).
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C (2)BC (3)简单随机抽样 分层随机抽样
[解析] (1)这三个年级的学生视力之间一般会存在显著差异,所以应采用分层随机抽样.
(2)A中总体所含个体无明显差异且个数较少,适合用简单随机抽样方法;D中总体所含个体无明显差异,不适合用分层随机抽样方法;B,C中总体由差异明显的几个部分组成,并且知道每一类个体在总体中所占的百分比,适合用分层随机抽样方法.故选BC.
(3)从50名学生中抽取5名,可采用简单随机抽样;若男生、女生的身高有显著不同,则需采用分层随机抽样.
探究点二
提问 解:分层随机抽样中分多少层,如何分层都要视具体情况而定,一般遵循的原则是:层内样本的差异要小,两层之间样本的差异要大,且不重叠.
例2 解:(1)因为中年、青年、老年职工身体情况的某项指标有明显的差异,故采用分层随机抽样更合理.
(2)根据分层随机抽样的特点,可知抽取的中年、青年、老年职工的人数分别为×400=200,×400=120,×400=80,
因此中年、青年、老年职工应分别抽取200人,120人,80人.
变式 (1)D (2)808 [解析] (1)方法一:由题可知,抽样比为=,所以态度为最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的观众中应抽取的人数分别为4800×=24,7200×=36,6400×=32,1600×=8.
方法二:态度为最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的观众人数之比为4800∶7200∶6400∶1600=6∶9∶8∶2,所以态度为最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的观众中应抽取的人数分别为×100=24,×100=36,×100=32,×100=8.故选D.
(2)N=×(12+21+25+43)=808.2.2 分层随机抽样
1.C [解析] 已经了解到该市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男、女生的肺活量差异不大,所以按学段进行分层随机抽样最合理.故选C.
2.A [解析] 由题意知,应抽取50×=5(个)红球.
3.D [解析] 设样本容量为x,则由题意得=,解得x=15,所以样本容量为15.故选D.
4.D [解析] 抽出的男生人数为10×=6,女生人数为10×=4,故抽出的男、女生人数之差为6-4=2.故选D.
5.A [解析] 由题意得==,解得x=5,y=3,所以抽取的教师人数为x+y+2=10,故选A.
6.C [解析] 由题意可知,二车间生产的产品数为3600×=3600×=1200.故选C.
7.B [解析] 交税比例为=,所以乙应交的税为350×≈32(钱).
8.AC [解析] 由题设可得来自东部地区、中部地区、西部地区的学生人数之比为12∶8∶5,故用分层随机抽样的方法抽取的来自东部地区、中部地区、西部地区的学生人数分别为100×,100×,100×,即48,32,20,故A正确.来自东部地区、中部地区、西部地区的学生的饮食习惯差异较大,所以不适合用简单随机抽样的方法,故B错误.由分层随机抽样的性质可得无论哪一个地区的学生,被抽取到的可能性均为=,故C正确,D错误.故选AC.
9.ABD [解析] 因为=0.2,所以派遣的青年男教师的数量占派遣人员总数的20%,则派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的1-30%-40%-20%=10%,则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同,均占总数的30%,故A,B正确;派遣的老年教师人数为150×0.3=45,故C错误;派遣的青年女教师的人数为150×0.1=15,故D正确.故选ABD.
10. [解析] 三级品a被抽到的可能性为=.
11.6 [解析] 设样本容量为n,则由题意得=,解得n=6.
12.120 [解析] 从11~12岁年龄段回收的问卷为180份,样本中11~12岁的学生问卷有60份,则抽样比为.因为从回收的问卷中按年龄段分层抽取一个容量为300的样本,所以从9~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷总数为=900(份),则从15~16岁年龄段回收的问卷份数x=900-120-180-240=360,所以在15~16岁学生问卷中抽取的份数为360×=120.
13.解:根据题意可知,该公司员工按照收入水平可分成三部分,即高收入者、中等收入者、低收入者,所以应该采用分层随机抽样的方法抽取样本.
从题中数据可以看出,高收入者有50名,占所有员工的比例为×100%=5%,为保证样本的代表性,在所抽取的100名员工中,高收入者所占的比例也应为5%,所以应抽取的高收入者人数为100×5%=5,
所以应在50名高收入者中采用简单随机抽样的方法抽取5人.同理,应抽取15名中等收入者、80名低收入者,再对抽取的100名员工的收入情况分别进行调查.
14.解:(1)由题意知,=0.13,解得x=130.
因为第一车间的工人数是170+180=350,第二车间的工人数是120+130=250,
所以第三车间的工人数是1000-350-250=400.
所以y=400×=160,z=400×=240.
(2)设在第三车间抽取m名男工,则=,解得m=24,所以应在第三车间抽取24名男工.
15.200,20 [解析] 该地区中小学生的总人数为3500+2000+4500=10 000,则样本容量为10 000×2%=200,其中抽取的高中生中近视学生的人数为2000×2%×50%=20.
16.解:因为样本容量为总体容量的千分之一,所以总体中的每个个体被抽到的可能性都是千分之一,则易得在各层中应抽取的个体数目如下表所示:
学段 城市 县镇 农村
小学 357 222 259
初中 226 134 11
高中 112 43 6
按照上表中数目在各层中用合适的方法抽取个体,将抽取出的个体合在一起形成所需的一个样本.2.2 分层随机抽样
【学习目标】
1.通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围.
2.了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.
◆ 知识点 分层随机抽样
1.分层随机抽样的概念
将总体按其属性特征分成互不交叉的若干 (有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例 抽取一定的个体,这种抽样方法通常叫作分层随机抽样.
2.分层随机抽样的适用条件:总体由 的几个部分组成.
3.分层随机抽样的步骤
(1)分层:将总体按一定标准进行分层;
(2)求比:计算样本容量n与总体容量N的比值;
(3)定数:按 确定每层抽取个体的数量;
(4)抽样:各层分别按 的方法抽取个体,组成样本.
【诊断分析】 分层随机抽样有怎样的特点
◆ 探究点一 抽样方法的选择
例1 (1)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级的学生视力之间是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是 ( )
A.抽签法 B.随机数法
C.分层随机抽样 D.不确定
(2)(多选题)下列问题中,适合用分层随机抽样方法抽取样本的是 ( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500户家庭,其中高收入的家庭有125户,中等收入的家庭有280户,低收入的家庭有95户,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本
C.某学校有男、女生各500名,为了解男、女生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查
D.某啤酒厂质检员从生产流水线上抽取100瓶啤酒检查产品质量
(3)调查某班学生的平均身高,要从50名学生中抽取5名进行测量,则应采用的抽样方法是 ;若男生、女生的身高有显著不同(男生有30人,女生有20人),则应采用的抽样方法是 .(填“简单随机抽样”或“分层随机抽样”)
[素养小结]
1.不论采用哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的可能性都是相同的.
2.分层随机抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
◆ 探究点二 分层随机抽样的应用
[提问] 分层随机抽样的分层一般遵循怎样的原则
例2 某企业共有3200名职工,其中,中年、青年、老年职工的比例为5∶3∶2,从所有职工身体情况的某项指标中抽取一个容量为400的样本.
(1)应采用哪种抽样方法更合理
(2)按照(1)的结论,中年、青年、老年职工应分别抽取多少人
变式 (1)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查,参与调查的共有20 000人,其中各种态度对应的人数如表所示:
最喜爱 喜爱 一般 不喜欢
4800 7200 6400 1600
电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取100人进行详细的调查,为此要进行分层随机抽样,那么在分层随机抽样时,态度为最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的观众中应抽取的人数分别为 ( )
A.25,25,25,25 B.48,72,64,16
C.20,40,30,10 D.24,36,32,8
(2)交通管理部门为了了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取的驾驶员人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为 .
[素养小结]
在分层随机抽样的过程中,为了保证每个个体被抽到的可能性相同,要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比,即ni∶Ni=n∶N,利用此关系式很容易解决分层随机抽样过程中的计算问题.2.2 分层随机抽样
一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分)
1.从某市中小学生中抽取部分学生,进行肺活量调查.经了解,该市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异,而同一学段男、女生的肺活量差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )
A.抽签法
B.按性别分层随机抽样
C.按学段分层随机抽样
D.随机数法
2.要从含有50个红球的1000个球中采用分层随机抽样的方法抽取100个球进行分析,则应抽取红球的个数为 ( )
A.5 B.10 C.20 D.45
3.某单位有青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层随机抽样的方法从中抽取样本,若抽取的青年职工有7人,则样本容量为 ( )
A.35 B.25 C.20 D.15
4.[2024·江西奉新一中高一期末] 某班有学生50人,其中30名男生,20名女生.现调查该班学生的平均身高,已知男、女生身高明显不同,抽取一个容量为10的样本,则抽出的男、女生人数之差为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
5.某中学采用分层随机抽样的方法从高中三个年级的教师队伍中抽取若干名教师调查心血管疾病情况,有关数据如表,则抽取的教师人数为 ( )
年级 年级教师人数 抽取人数
高一 50 x
高二 30 y
高三 20 2
A.10 B.20 C.5 D.15
6.某工厂的一、二、三车间在2023年11月份共生产了3600双皮靴,在出厂前检查这些产品的质量,决定采用分层随机抽样的方法进行抽取,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且满足2b=a+c,则二车间生产的产品数为 ( )
A.800 B.1000 C.1200 D.1500
7.《九章算术》“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何 ”其大意为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,三人一起出关,共需要交关税100钱,要按各人带钱多少的比例交税,问三人各应交多少税 ”以上问题中乙应交税的钱数约为(所得结果四舍五入,保留整数) ( )
A.50 B.32 C.31 D.19
8.(多选题)[2023·山东潍坊高密三中高一月考] 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人,来自中部地区的学生有1600人,来自西部地区的学生有1000人.从中选取100人调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有 ( )
A.用分层随机抽样的方法分别抽取来自东部地区的学生48人、来自中部地区的学生32人、来自西部地区的学生20人
B.用简单随机抽样的方法从新生中选出100人最适合
C.来自西部地区的学生小刘被选中的可能性为
D.来自中部地区的学生小张被选中的可能性为
9.(多选题)[2024·江西分宜中学高一期末] 为了实现教育资源的均衡化,某地决定派遣480名教师志愿者(480名教师情况如图)轮流支援当地的教育工作.若第一批志愿者采用分层随机抽样的方法随机派遣150名教师,则 ( )
A.派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同
B.派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10%
C.派遣的老年教师有144人
D.派遣的青年女教师有15人
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
10.在120个零件中,一级品有24个,二级品有36个,三级品有60个,用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本,则三级品a被抽到的可能性为 .
11.为了调查某快餐店各分店的经营状况,统计机构用分层随机抽样的方法从A,B,C三个城市中抽取若干个分店进行深入研究,有关数据见下表:
城市 分店总个数 抽取个数
A 26 2
B 13 x
C 39 y
则样本容量为 .
12.[2023·江西宜春滨江中学高一月考] 某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从9~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取一个容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生问卷中抽取的份数为 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)某公司有1000名员工,其中高层管理人员有50名,属于高收入者,中层管理人员有150名,属于中等收入者,一般员工有800名,属于低收入者.现要了解这个公司员工的收入情况,从这个公司的员工中抽取100名员工进行调查,应当怎样进行抽样
14.(10分)某机械厂三个车间共有工人1000名,各车间男、女工人数如表:
第一车间 第二车间 第三车间
女工 170 120 y
男工 180 x z
已知在全厂工人中随机抽取1名,抽到第二车间男工的可能性是0.13,第三车间的男、女工人数之比为3∶2.
(1)求x,y,z的值;
(2)现用分层随机抽样的方法在全厂男工中抽取55名工人进行技术比试,则在第三车间抽取多少名男工
15.(5分)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①②所示,为了解该地区中小学生近视形成的原因,用分层随机抽样的方法从全体中小学生中抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生中近视学生的人数分别为 .
16.(15分)某地区中小学生人数的分布情况如下表所示(单位:人):
学段 城市 县镇 农村
小学 357 000 222 000 259 000
初中 226 000 134 000 11 000
高中 112 000 43 000 6000
请根据上述数据,设计一个样本容量为总体容量千分之一的抽样方案.(共23张PPT)
§2 抽样的基本方法
2.2 分层随机抽样
◆ 课前预习
◆ 课中探究
◆ 备课素材
◆ 备用习题
【学习目标】
1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围.
2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.
知识点 分层随机抽样
1.分层随机抽样的概念
将总体按其属性特征分成互不交叉的若干______（有时称作层），然后在每个类
型中按照所占比例______抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽样.
类型
随机
2.分层随机抽样的适用条件：总体由__________的几个部分组成.
差异明显
3.分层随机抽样的步骤
（1）分层：将总体按一定标准进行分层；
（2）求比：计算样本容量与总体容量 的比值；
（3）定数：按______确定每层抽取个体的数量；
（4）抽样：各层分别按______________的方法抽取个体，组成样本.
比例
简单随机抽样
【诊断分析】
分层随机抽样有怎样的特点？
解：（1）适用于总体由差异明显的几个部分组成的情况；
（2）是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是为样本容量， 为总体
容量 .
探究点一 抽样方法的选择
例1（1） 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级的学生视力之
间是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最
合理的抽样方法是( )
C
A.抽签法 B.随机数法 C.分层随机抽样 D.不确定
[解析] 这三个年级的学生视力之间一般会存在显著差异,所以应采用分层随机抽样.
（2）（多选题）下列问题中，适合用分层随机抽样方法抽取样本的是( )
BC
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500户家庭，其中高收入的家庭有125户，中等收入的家庭有280户，
低收入的家庭有95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量
为100的样本
C.某学校有男、女生各500名，为了解男、女生在学习兴趣与业余爱好方面是否
存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查
D.某啤酒厂质检员从生产流水线上抽取100瓶啤酒检查产品质量
[解析] A中总体所含个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样方法；
D中总体所含个体无明显差异，不适合用分层随机抽样方法；
B，C中总体由差异明显的几个部分组成，并且知道每一类个体在总体中所占的
百分比，适合用分层随机抽样方法．故选 .
（3）调查某班学生的平均身高,要从50名学生中抽取5名进行测量,则应采用的
抽样方法是______________;若男生、女生的身高有显著不同（男生有30人,女生
有20人）,则应采用的抽样方法是______________.（填“简单随机抽样”或“分层
随机抽样”）
简单随机抽样
分层随机抽样
[解析] 从50名学生中抽取5名，可采用简单随机抽样;若男生、女生的身高有显
著不同,则需采用分层随机抽样.
［素养小结］
1.不论采用哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的可能性都是相同的.
2.分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.
探究点二 分层随机抽样的应用
［提问］ 分层随机抽样的分层一般遵循怎样的原则？
解：分层随机抽样中分多少层，如何分层都要视具体情况而定，一般遵循的原
则是：层内样本的差异要小，两层之间样本的差异要大，且不重叠.
例2 某企业共有3200名职工，其中，中年、青年、老年职工的比例为 ，
从所有职工身体情况的某项指标中抽取一个容量为400的样本.
（1）应采用哪种抽样方法更合理？
解：因为中年、青年、老年职工身体情况的某项指标有明显的差异，故采用分
层随机抽样更合理.
（2）按照（1）的结论，中年、青年、老年职工应分别抽取多少人？
解：根据分层随机抽样的特点，可知抽取的中年、青年、老年职工的人数分别
为，， ，
因此中年、青年、老年职工应分别抽取200人，120人，80人.
变式（1） 某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参
与调查的共有20 000人，其中各种态度对应的人数如表所示：
最喜爱 喜爱 一般 不喜欢
4800 7200 6400 1600
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，
为此要进行分层随机抽样，那么在分层随机抽样时，态度为最喜爱、喜爱、一
般、不喜欢的观众中应抽取的人数分别为( )
D
A.25，25，25，25 B.48，72，64，16 C.20，40，30，10 D.24，36，32，8
[解析] 方法一：由题可知，抽样比为 ，所以态度为最喜爱、喜爱、
一般、不喜欢的观众中应抽取的人数分别为 ，
，， .
方法二：态度为最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的观众人数之比为
，所以态度为最喜爱、喜爱、一般、不喜欢
的观众中应抽取的人数分别为， ，
， .故选D.
（2）交通管理部门为了了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓
情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总
人数为 ,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取的驾驶员
人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 为_____.
808
[解析] .
［素养小结］
在分层随机抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性相同，要求各层
所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体容量之比，即
，利用此关系式很容易解决分层随机抽样过程中的计算问题.
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单随 机抽样 （1）抽样过程中每个个体 被抽到的可能性相等； （2）每次抽出个体后不再 将它放回，即不放回抽样 从总体中逐 个、不放回 地抽取 最基本的抽 样方法 总体中的个
体数较少
分层随 机抽样 将总体分成 几层，分层 进行抽取 各层抽样时 采用简单随 机抽样 总体由差异
明显的几部
分组成
简单随机抽样与分层随机抽样的比较
1.忽略抽样的公平性致错
例1 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状
况，需从中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是( )
C
A.抽签法
B.随机数法
C.分层随机抽样
D.先从老年人中剔除1人，再用分层随机抽样
[解析] 因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层随机抽样.
因为总人数为,样本容量为36，
按照抽样比 进行分层随机抽样,
老年人、中年人和青年人应抽取的人数分别为, ,
.
2.分层随机抽样中各层入样的个体数应如何确定？
由于层与层之间有明显的区别，而层内个体间差异不明显，为了使样本能更充
分地反映总体的情况，所以抽取样本时必须照顾到各个层的个体，所以每层中
抽取的个体数应按各层个体数在总体中所占的比例抽取，也就是各层抽取的比
例都等于样本容量与总体容量之比，即抽样比 ，这样抽取能使得到
的样本结构与总体结构相同，可以提高样本对总体的代表性.
在具体操作时，应先计算出抽样比 ，再按抽样比确定每层需要抽
取的个体数.
例2 [2024·广西桂林高一期末] 某公司生产，， 三种型号的新能源汽车，
产量分别为1200辆、6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层随机
抽样的方法抽取46辆新能源汽车进行检验，则 种型号的新能源汽车应抽取___
辆.
6
[解析] 根据分层随机抽样的定义得 种型号的新能源汽车应抽取
（辆）.
