§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
【课前预习】
知识点一
2.(2)(0,0),,(π,0),,(2π,0)
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
知识点二
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)取值列表:
x 0 π 2π
y=sin x 0 1 0 -1 0
y=1-sin x 1 0 1 2 1
(2)描点连线,如图所示.
变式 解:(1)列表:
x 0 π 2π
y=sin x 0 1 0 -1 0
y=2sin x 0 2 0 -2 0
描点连线,如图所示.
(2)列表:
x 0 π 2π
y=sin x 0 1 0 -1 0
y=1+sin x 1 2 1 0 1
描点,并将它们用光滑的曲线顺次连接起来,如图.
拓展 解:由题可得f(x)=
其图象如图所示.
由图可知,当k>0或k<-3时,直线y=k与函数f(x)的图象有0个交点;
当k=-3时,直线y=k与函数f(x)的图象有1个交点;当-3
当-1探究点二
例2 解:(1)∵sinx=sin=sin(x+4kπ),k∈Z,k≠0,∴y=sinx的周期是4kπ,k∈Z,k≠0,取k=1,得y=sinx的最小正周期是4π.
(2)作出y=|sin x|的图象,如图.
由图可知y=|sin x|的最小正周期为π.
(3)∵y=sin=sin=sin,k∈Z,k≠0,∴函数y=sin的周期是kπ,k∈Z,k≠0,取k=1,得最小正周期为π.
例3 解:(1)由题可知f(x)=xsin x的定义域为R,且其定义域关于原点对称.∵f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),∴f(x)为偶函数.
(2)由题可知f(x)=|sin x|+1的定义域为R,且其定义域关于原点对称.∵f(-x)=|sin(-x)|+1=|-sin x|+1=|sin x|+1=f(x),∴f(x)为偶函数.
变式 D [解析] 设g(x)=ax3+bsin x,x∈R,则g(-x)=-ax3-bsin x=-g(x),故g(x)为奇函数.f(x)=g(x)+4,由f(-5)=g(-5)+4=m,得g(-5)=m-4,所以f(5)=g(5)+4=-g(-5)+4=-m+4+4=-m+8.故选D.
例4 解:∵y=-sin x+3与y=sin x的单调性相反,
而y=sin x的单调递增区间是(k∈Z),单调递减区间是(k∈Z),
∴函数y=-sin x+3的单调递增区间是(k∈Z),单调递减区间是(k∈Z).
变式 解:由sin x>0得2kπ∵0<<1,∴函数y=losin x的单调递增区间即为u=sin x(x∈(2kπ,2kπ+π),k∈Z)的单调递减区间,故函数y=losin x的单调递增区间为,k∈Z.
例5 解:(1)因为-<-<-<0,正弦函数y=sin x在区间上单调递增,所以sin>sin.
(2)因为0<3<π,π<4<,
所以sin 3>0,sin 4<0,故sin 3>sin 4.
(3)sin=sin=-sin,cos=cos=-cos=-cos=-sin.因为0<<<,
且y=sin x在上单调递增,所以sin-sin,故sin>cos.
例6 解:(1)∵0≤x≤,∴0≤sin x≤1,∴0≤2sin x≤2,
∴原函数的值域为[0,2].
(2)y=-2sin2x+5sin x-2=-2+.
∵-1≤sin x≤1,∴ymin=-2×(-1)2+5×(-1)-2=-9,ymax=-2×12+5×1-2=1.
故函数y=-2sin2x+5sin x-2的值域是[-9,1].
变式 解:(1)∵x∈,∴sin x∈[-1,1],故f(x)=-2sin x+1∈[-1,3],即f(x)的值域为[-1,3].
(2)令t=sin x,g(t)=2t2+2t-.
∵x∈,∴≤sin x≤1,即≤t≤1,
又g(t)=2t2+2t-=2-1,∴1≤g(t)≤,
∴函数f(x)的值域为.
拓展 [解析] 令t=sin x,t∈[-1,1],则y===-1,∵-1≤t≤1,∴2≤t+3≤4,∴≤≤,∴≤≤3,∴≤-1≤2,则函数y=的值域为.§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
1.A [解析] 用“五点法”作图时,y=3sin x与y=sin x的五个关键点的横坐标一样,故选A.
2.B [解析] 因为函数y=2sin=2sin=2sin,k∈Z,所以函数y=2sin的周期为4k,k∈Z,k≠0,令k=1,得函数的最小正周期为4,故选B.
3.C [解析] 在[0,π],[π,2π]上,y=sin x不单调,排除A,D;在上,y=sin x单调递减,排除B;在上,y=sin x单调递增,C正确.故选C.
4.D [解析] 易知当sin x取得最大值时,y=sin x-1取得最大值,当sin x取得最小值时,
y=sin x-1取得最小值,∴M=-1,m=--1,∴M+m=-2.
5.C [解析] y=sin x+2|sin x|=故在同一平面直角坐标系中作出分段函数的图象和直线y=k,如图所示,由图可知,若有两个不同的交点,则16.C [解析] ∵sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°,
且sin 11°7.C [解析] y=sin2x+sin x-1=-.因为-1≤sin x≤1,所以当sin x=-时,ymin=-;
当sin x=1时,ymax=1.故y=sin2x+sin x-1的值域为.
8.AC [解析] 若对任意x∈R,都有a≤2+sin x成立,则a≤(2+sin x)min,又(2+sin x)min=1,所以a≤1.结合选项可知,对任意x∈R,都有a≤2+sin x成立的充分不必要条件可以是“a=0”或“a=1”.故选AC.
9.ACD [解析] 由f==|cos x|,f==|cos x|,可得f=f,所以f(x)的图象关于直线x=对称,故A正确;由f(π+x)+f(π-x)=|sin(π+x)|+|sin(π-x)|=|sin x|+|sin x|=2|sin x|≠0,可得f(x)的图象不关于点(π,0)对称,故B错误;由f(x+π)=|sin(x+π)|=|-sin x|=|sin x|=f(x),可得f(x)是周期为π的周期函数,故C正确;当x∈时,y=sin x单调递增且y=sin x<0,所以f(x)=|sin x|在区间上单调递减,故D正确.故选ACD.
10.,k∈Z [解析] 由题意知2sin x-1≥0,即sin x≥.由y=sin x在[0,2π]上的图象,可知当≤x≤时,sin x≥,又由y=sin x的周期性,可得y=的定义域为,k∈Z.
11. [解析] 由x∈,得x+π∈.令t=x+π,t∈,则由函数y=sin t,t∈的图象,知其单调递增区间为.由≤x+π≤2π,解得≤x≤π,故所求单调递增区间为.
12.-2≤m≤2 [解析] ∵sin2x+2sin x-1+m=0,∴m=-sin2x-2sin x+1,令sin x=t,则t∈[-1,1],∴m=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,t∈[-1,1],由二次函数的知识可知,当t∈[-1,1]时,函数f(t)=-t2-2t+1单调递减,∴当t=-1时,函数f(t)取得最大值2,当t=1时,函数f(t)取得最小值-2,∴实数m的取值范围为-2≤m≤2.
13.解:先作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象(如图中虚线所示),将该图象关于x轴作对称变换,得到函数y=-sin x,x∈[0,2π]的图象,
然后将所得图象向下平移2个单位长度,
得到函数y=-sin x-2,x∈[0,2π]的简图(如图所示).
14.解:(1)易知f(x)=2sin x-的图象是由y=sin x的图象上所有点横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,再整体向下平移个单位长度得到的,所以f(x)的最小正周期和图象的对称轴与y=sin x的相同,所以f(x)的最小正周期为2π,f(x)图象的对称轴为直线x=+kπ(k∈Z).
(2)由x∈,可知-≤sin x≤1,所以-2≤2sin x-≤2-,
即f(x)的取值范围为[-2,2-].
15.D [解析] 在同一坐标系中作出函数y=lg x(x>0)和y=sin x(x>0)的图象,如图所示,由图象可知,函数y=lg x(x>0)的图象与y=sin x(x>0)的图象有3个交点,所以当x>0时,g(x)=f(x)-sin x的零点个数为3.因为函数f(x)和y=sin x均是定义在R上的奇函数,所以g(x)=f(x)-sin x是定义在R上的奇函数,根据奇函数图象的对称性,可知当x<0时,g(x)=f(x)-sin x的零点个数也为3.又g(0)=f(0)-sin 0=0,所以x=0也是g(x)的零点.综上,函数g(x)=f(x)-sin x的零点个数为7.故选D.
16.解:由题意知y=-++b+1,-1≤sin x≤1,a>0.
①若0<≤1,即0则当sin x=-时,ymax=+b+1=0,当sin x=1时,ymin=-++b+1=-4,∴a=2,b=-2.
②若>1,即a>2,则当sin x=-1时,ymax=-++b+1=0,当sin x=1时,ymin=-++b+1=-4,∴a=2,b=-2,不合题意,舍去.
综上,a=2,b=-2.
又0≤x<2π,∴当x=时,ymax=0;
当x=时,ymin=-4.§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
【学习目标】
1.能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图象.
2.理解正弦曲线的意义.
3.掌握正弦函数y=sin x,x∈R的性质.
4.掌握正弦函数性质的应用.
◆ 知识点一 正弦函数的图象
1.利用单位圆画出正弦函数的图象
步骤:①作出单位圆;②在区间[0,2π]上取一系列的x值,如0,,,,…,2π,利用单位圆得到对应的正弦函数值;③在平面直角坐标系内描点,用光滑曲线顺次连接,就可以得到函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象;④将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度),得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象(如图).
2.利用“五点(画图)法”画出正弦函数的图象
利用“五点(画图)法”作正弦函数y=sin x在区间[0,2π]上的图象的步骤
(1)列表
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
(2)描点
描出正弦函数y=sin x在区间[0,2π]上的图象上的五个关键点,五个关键点是 .
(3)连线
用光滑曲线顺次连接这五个点,得到正弦函数y=sin x在区间[0,2π]上的图象.
将正弦函数y=sin x在区间[0,2π]上的图象按周期延拓到R上得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正弦函数y=sin x在[2kπ,2(k+1)π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同. ( )
(2)正弦函数y=sin x,x∈R的图象介于直线y=1与直线y=-1之间. ( )
(3)正弦函数y=sin x的图象与y=sin(π-x)的图象相同. ( )
◆ 知识点二 正弦函数的性质
函数 正弦函数y=sin x
图象
定义域 R
值域 [-1,1]
最值 当x=+2kπ(k∈Z)时,ymax=1; 当x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1
周期性 是周期函数,周期为2kπ(k∈Z,k≠0), 2π为最小正周期
奇偶性 奇函数,图象关于原点对称
单调性 在(k∈Z)上单调递增;在(k∈Z)上单调递减
对称轴 x=+kπ,k∈Z
对称中心 (kπ,0),k∈Z
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=sin(-x)为奇函数. ( )
(2)函数y=sin x,x∈的值域是. ( )
(3)函数y=sin x在(k∈Z)上单调递增. ( )
(4)函数y=sin x在第一象限单调递增. ( )
◆ 探究点一 利用“ 五点法”作图
例1 利用“五点法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图.
变式 (1)用“五点法”作出函数y=2sin x(0≤x≤2π)的图象.
(2)用“五点法”画出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象.
[素养小结]
1.“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期,将其四等分,分别找出图象的最高点、最低点及图象与x轴的交点等五个关键点,由这五个点大致确定图象的位置和形状.
2.一般地,函数y=|f(x)|的图象可由函数y=f(x)的图象作如下变换得到:在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方,在x轴上及其上方的部分保持不变.
拓展 已知函数f(x)=sin x-2|sin x|,x∈[0,2π],讨论直线y=k与函数f(x)的图象的交点个数.
◆ 探究点二 正弦函数性质的应用
角度1 正弦函数的周期性
例2 求下列函数的最小正周期:
(1)y=sinx;
(2)y=|sin x|;
(3)y=sin.
[素养小结]
求函数周期的方法:
(1)定义法:紧扣周期函数的定义.
(2)图象法:画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对于含绝对值的函数一般采用此法.
角度2 正弦函数的奇偶性
例3 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin x;
(2)f(x)=|sin x|+1.
变式 已知ab≠0,f(x)=ax3+bsin x+4,且f(-5)=m,则f(5)= ( )
A.m B.-m
C.4-m D.8-m
[素养小结]
与三角函数相关的奇偶性问题,往往需要先利用诱导公式化简,再判断函数的奇偶性.
判断函数的奇偶性时要注意:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
角度3 正弦函数的单调性及其应用
例4 求函数y=-sin x+3的单调区间.
变式 求函数y=losin x的单调递增区间.
例5 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
(1)sin与sin;
(2)sin 3,sin 4;
(3)sin,cos.
[素养小结]
1.求与正弦函数有关的函数的单调区间有两种方法:一是利用y=sin x的单调区间进行代换,解不等式;二是作出图象,从图象上观察.
2.用正弦函数的单调性比较大小时,应先将异名化同名,再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间,最后利用单调性来比较大小.
角度4 利用正弦函数的有界性求函数的值域
或最值
例6 求下列函数的值域:
(1)y=2sin x,x∈;
(2)y=-2sin2x+5sin x-2.
变式 求下列函数的值域.
(1)f(x)=-2sin x+1,x∈;
(2)f(x)=2sin2x+2sin x-,x∈.
[素养小结]
1.求定义域时,常利用数形结合,根据正弦曲线写出相应不等式的解集.注意灵活选择一个周期内的图象.
2.求值域时应注意:(1)利用y=sin x的有界性;(2)利用y=sin x的单调性.
拓展 函数y=的值域为 . §5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
一、选择题
1.用“五点法”作y=3sin x的简图时,五个关键点的横坐标分别是 ( )
A.0,,π,π,2π
B.0,,,π,π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0,,,,
2.[2024·江西景德镇乐平中学高一月考] 函数y=2sin的最小正周期为 ( )
A.2 B.4
C.2π D.4π
3.下列区间中,函数y=sin x在其上单调递增的是 ( )
A.[0,π] B.
C. D.[π,2π]
4.设M和m分别是函数y=sin x-1的最大值和最小值,则M+m= ( )
A. B.-
C.- D.-2
5.若函数y=sin x+2|sin x|在[0,2π]上的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(0,3)
C.(1,3) D.(1,2)
6.下列关系式中正确的是 ( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°7.函数y=sin2x+sin x-1的值域为 ( )
A.[-1,1] B.
C. D.
8.(多选题)对任意x∈R,都有a≤2+sin x成立的充分不必要条件可以是 ( )
A.a=0 B.a≤1
C.a=1 D.a=3
9.(多选题)已知函数f(x)=|sin x|,则下列说法中正确的是 ( )
A.f(x)的图象关于直线x=对称
B.点(π,0)是f(x)图象的一个对称中心
C.f(x)是周期为π的周期函数
D.f(x)在区间上单调递减
二、填空题
10.函数y=的定义域为 .
11.函数y=sin(x+π),x∈的单调递增区间为 .
12.若关于x的方程sin2x+2sin x-1+m=0有解,则实数m的取值范围为 .
三、解答题
13.作出函数y=-sin x-2,x∈[0,2π]的简图,并写出步骤.
14.[2024·江西宜春九中高一期中] 已知函数f(x)=2sin x-.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴;
(2)若x∈,求f(x)的取值范围.
15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=lg x,则函数g(x)=f(x)-sin x的零点个数为 ( )
A.2 B.3
C.6 D.7
16.已知a>0,0≤x<2π,若函数y=-sin2x-asin x+b+1的最大值为0,最小值为-4,试求a与b的值,并分别求出使y取得最大值和最小值时x的值.(共41张PPT)
§5 正弦函数、余弦函数的图象与性
质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
探究点一 利用“ 五点法”作图
探究点二 正弦函数性质的应用
【学习目标】
1.能用“五点法”画正弦函数在 上的图象.
2.理解正弦曲线的意义.
3.掌握正弦函数, 的性质.
4.掌握正弦函数性质的应用.
知识点一 正弦函数的图象
1.利用单位圆画出正弦函数的图象
步骤：①作出单位圆;②在区间上取一系列的值，如0，，，
， ， ,利用单位圆得到对应的正弦函数值；③在平面直角坐标
系内描点,用光滑曲线顺次连接,就可以得到函数,
的图象;④将函数, 的图象向左、右平移（每次平移
个单位长度）,得到正弦函数, 的图象（如图）.
2.利用“五点（画图）法”画出正弦函数的图象
利用“五点（画图）法”作正弦函数在区间 上的图象的
步骤
（1）列表
0
0 1 0 0
（2）描点
描出正弦函数在区间 上的图象上的五个关键点，五个
关键点是____________________________________.
（3）连线
用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数在区间
上的图象.
将正弦函数在区间上的图象按周期延拓到 上得到正
弦函数， 的图象.
，，，，
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）正弦函数在 上的图象形状相
同,只是位置不同. ( )
√
（2）正弦函数,的图象介于直线与直线 之
间.( )
√
（3）正弦函数的图象与 的图象相同.( )
√
知识点二 正弦函数的性质
函数
图象 __________________________________________________________________________________
定义域
值域
最值
周期性
奇偶性 奇函数，图象关于原点对称
单调性
对称轴
对称中心
续表
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）函数 为奇函数.( )
√
（2）函数，的值域是 .( )
×
（3）函数在 上单调递增.( )
√
（4）函数 在第一象限单调递增.( )
×
探究点一 利用“ 五点法”作图
例1 利用“五点法”作出函数 的简图.
解：（1）取值列表：
0
0 1 0 0
1 0 1 2 1
（2）描点连线，如图所示.
变式（1） 用“五点法”作出函数 的图象.
解：列表：
0
0 1 0 0
0 2 0 0
描点连线，如图所示.
（2）用“五点法”画出函数, 的图象.
解：列表:
0
0 1 0 0
1 2 1 0 1
描点，并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，如图.
［素养小结］
1.“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期,将其四等分,分别找出
图象的最高点、最低点及图象与 轴的交点等五个关键点,由这五个
点大致确定图象的位置和形状.
2.一般地,函数的图象可由函数 的图象作如下变换
得到:在轴下方的图象以轴为对称轴翻折到轴上方,在 轴上及其
上方的部分保持不变.
解：由题可得 其图象如图所示.
由图可知,当或时,直线 与函数 的图象有0个交点;
当时,直线与函数的图象有1个交点;
当 时,直线与函数的图象有2个交点;
当或时,直线 与函数 的图象有3个交点;
当时,直线与函数 的图象有4个交点.
拓展 已知函数,,讨论直线 与函
数 的图象的交点个数.
探究点二 正弦函数性质的应用
角度1 正弦函数的周期性
例2 求下列函数的最小正周期：
（1） ；
解：，, ，
的周期是 ,，，
取，得 的最小正周期是 .
（2） ；
解：作出 的图象，如图.
由图可知的最小正周期为 .
（3） .
解： ，
，， 函数的周期是 ，， ，
取，得最小正周期为 .
［素养小结］
求函数周期的方法:
（1）定义法:紧扣周期函数的定义.
（2）图象法:画出函数的图象,借助于图象判断函数的周期,特别是对
于含绝对值的函数一般采用此法.
角度2 正弦函数的奇偶性
例3 判断下列函数的奇偶性：
（1） ；
解：由题可知的定义域为 ，且其定义域关于原点对称.
， 为偶函数.
（2） .
解：由题可知的定义域为 ,且其定义域关于原点对称.
，
为偶函数.
变式 已知,，且 ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 设， ，
则，故为奇函数.
，由，得 ，
所以 .故选D.
√
［素养小结］
与三角函数相关的奇偶性问题,往往需要先利用诱导公式化简,再判断
函数的奇偶性.
判断函数的奇偶性时要注意:函数的定义域关于原点对称是函数具有
奇偶性的前提.
角度3 正弦函数的单调性及其应用
例4 求函数 的单调区间.
解：与 的单调性相反，
而的单调递增区间是 )，单调递减
区间是 ，
函数的单调递增区间是 ，
单调递减区间是 .
变式 求函数 的单调递增区间.
解：由得 ， .
， 函数 的单调递增区间即为
的单调递减区间，
故函数的单调递增区间为， .
例5 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.
（1）与 ;
解：因为,正弦函数在区间 上
单调递增,所以 .
（2）， ；
解：因为 ， ，
所以，，故 .
（3）， .
解： ，
.
因为，且在上单调递增，
所以 ，
所以，故 .
［素养小结］
1.求与正弦函数有关的函数的单调区间有两种方法：一是利用
的单调区间进行代换，解不等式；二是作出图象，从图象
上观察.
2.用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同
一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，最后利用单调性
来比较大小.
角度4 利用正弦函数的有界性求函数的值域或最值
例6 求下列函数的值域：
（1）， ；
解：，， ，
原函数的值域为 .
（2） .
解： .
， ，
.
故函数的值域是 .
变式 求下列函数的值域.
（1）, ；
解：,,故 ,
即的值域为 .
（2）, .
解：令, .
,,即 ,
又, ,
函数的值域为 .
［素养小结］
1.求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应不等式的解
集.注意灵活选择一个周期内的图象.
2.求值域时应注意：（1）利用 的有界性；（2）利用
的单调性.
拓展 函数 的值域为______.
[解析] 令,，则 ，
，，， ，
，则函数的值域为 .
1.“五点法”作图:①作图时自变量要用弧度制,五个关键点的坐标分别
为,,,, ;②在精确度要求不太高时,作
, 的图象一般用“五点法”.
2.求正弦函数在给定区间 上的取值范围时，要注意结合图象判
断函数在 上的单调性及有界性.
3.观察正弦曲线不难发现：正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐
标为，即为正弦曲线和 轴的交点，原点是其中的一个；
正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是 ；正弦曲
线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.
1.“五点法”作图
“五点法”作图的步骤是:列表、描点、连线.作图时要抓住关键点,连线
时必须用光滑曲线连接五个关键点,注意曲线的凹凸方向.
例1 用“五点法”画出函数， ， 的简图.
解：列表：
0
0 0 1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
2.性质应用技巧点拨
（1）与正弦函数有关的值域求法常见的有直接法、反解法、换元法.
（2）在利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公
式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内.
（3）已知正弦函数的单调性求参数的取值范围，多用数形结合思想
及转化思想求解.
例2 求函数 的最大值．.
解：函数 ，
因为 ，且在 上单调递增，所以 ，
设 ，
.
①当，即时， ；
②当，即时， ；
③当，即时， ．
故当时，；当时， ；
当时， ．