第二章 平面向量及其应用
§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
1.C [解析] 单位向量的方向是任意的,所以当两个单位向量的起点相同时,其终点在以起点为圆心的单位圆上,终点不一定相同,所以选项A不正确; 非零向量与是共线向量,即∥,不能得到A,B,C,D四点共线,所以选项B不正确;与非零向量a共线的单位向量有两个,即与-,所以选项C正确;规定零向量的方向任意,而不是没有方向,所以选项D不正确.故选C.
2.C [解析] 与平行的向量有,,,共3个.
3.C [解析] 作出平行四边形ABCD,如图,由图知,与的夹角即为与的夹角,为
∠ABC=120°.
4.C [解析] 因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以的值为1.
5.B [解析] 与a方向相反的向量与a一定共线,故A中结论正确;与a共线且长度相等的向量可以是-a,故B中结论错误;显然C中结论正确;与a共线且长度相等的向量必然包含a本身,故D中结论正确.故选B.
6.D [解析] 如图,由已知可得===,==,=,=,=,有12对相等向量,将它们的起点和终点同时互换,又有12对相等向量,故共有24对相等向量,故选D.
7.A [解析] 对于①,两个向量的长度相等,不能推出两个向量的方向的关系,故①是假命题;对于②,因为A,B,C,D是不共线的四点,所以= 等价于AB∥DC且AB=DC,即四边形ABCD为平行四边形,故②是真命题;对于③,若a=b,b=c,则a=c,故③是真命题;对于④,由a=b可以推出|a|=|b|且a∥b,由|a|=|b|且a∥b可以推出a=b或a=-b,故“|a|=|b|且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件,故④是假命题.故选A.
8.CD [解析] 单位向量的模均为1,但方向并不一定相同,故A错误;零向量的相反向量仍是零向量,但零向量与零向量是相等的,故B错误;不妨设a为零向量,则a∥b,与a,b不共线矛盾,故C正确;由零向量的定义,知D正确.故选CD.
9.BC [解析] 对于A,因为||==,||==2,所以||≠||,故A错误;对于B,||==,故B正确;对于C,因为∠CDG=∠CFH=45°,所以DG∥HF,所以向量,共线,故C正确;对于D,||+||=+=5≠10,故D错误.故选BC.
10.梯形 [解析] ∵∥且||≠||,∴AB∥DC且AB≠DC,∴四边形ABCD是梯形.
11.0 [解析] 因为A,B,C三点不共线,所以与不共线,又m∥且m∥,所以m=0.
12.①②③ [解析] 与相等的向量需满足与的方向相同,模相等,只有,故①正确;根据菱形的性质结合∠DAB=120°,可知对角线AC的长与菱形的边长相等,故除外与的模相等的向量有,,,,,,,,,共9个,故②正确;易得BO=CO,∴BD=AC=AD,∴的模恰为的模的倍,故③正确;向量与的方向是相反的,是平行向量,故④不正确.故填①②③.
13.解:∵E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,∴AC=2EF=2HG,AC∥EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.
(1)与向量相等的向量是.
(2)与向量平行的向量是,,,,.
(3)与向量的模相等的向量是,,.
(4)与向量的模相等、方向相反的向量是,.
14.解:(1)向量,,,如图所示.
(2)由题意知=,且AD与BC不重合,所以AD∥BC,AD=BC,则四边形ABCD为平行四边形.
所以=,则B地在A地北偏东60°方向的6千米处.
15.3π [解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环,其面积为π·22-π·12=3π.
16.解:(1)如图所示,设A为出发点,由图知操作8次后赛车的位移为零向量.
(2)要使赛车行进一周后能回到出发点,只需赛车的位移为零向量,按(1)的方式作图,则所作图形是每个内角均为180°-α的正n边形(n>2,n∈N*),故n(180°-α)=(n-2)×180°,得α=,其中n为大于2的整数.第二章 平面向量及其应用
§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
【学习目标】
1.能够通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量、向量的模、零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量)、向量垂直、向量夹角的概念.
2.能够在熟悉的实际问题情境中,理解平面向量的几何表示和基本要素.
◆ 知识点一 向量的概念
向量的概念
(1)向量:既有 ,又有 的量统称为向量.
(2)数量:只有 ,没有 的量称为数量.
【诊断分析】 给出下列量:①面积;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功;⑨温度;⑩角度.
其中是向量的序号是 ,原因是
.
◆ 知识点二 向量的表示
1.有向线段
(1)有向线段:具有 的线段称为有向线段.
(2)表示方法:以A为起点,B为终点的有向线段,记作,如图.
(3)有向线段的长度:线段AB的长度称为有向线段的长度,记作||.
2.向量的表示方法
(1)向量的几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的 表示向量的大小,称为向量的模,箭头所指的 表示向量的方向,与单独的起点位置无关.
(2)向量的字母表示:向量可以用黑斜体小写字母如a,b,c,…或,,,…(书写)来表示.
3.特殊的向量
(1)零向量:长度为 的向量称为零向量,记作 .任何方向都可以作为零向量的方向.
(2)单位向量:模等于 的向量称为单位向量.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量就是有向线段. ( )
(2)在同一个平面内,把所有长度为1的向量的起点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹是单位圆. ( )
2.0与0有什么区别和联系
◆ 知识点三 相等向量与共线向量
1.相等向量:长度 且方向 的向量,向量a与b相等,记作a=b.
2.共线向量:
(1)共线向量:
若两个非零向量a,b的方向 ,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作a∥b.
(2)相反向量:若两个向量的长度 、方向 ,则称它们互为相反向量,若其中一个向量为a,则它的相反向量记作-a.规定零向量与任一向量共线,即对于任意的向量a,都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量. ( )
(2)向量与是相反向量. ( )
(3)若a∥b,则一定有|a|=|b|. ( )
(4)若a∥b,b∥c,则必有a∥c. ( )
◆ 知识点四 向量的夹角
1.定义:已知两个 a和b, 如图,在平面内选一点O,作=a,=b,则θ=
∠AOB( )称为向量a与b的 .
2.性质:当θ= 时,a与b同向;当θ= 时,a与b反向;当θ= 时,a与b垂直,记作 .
规定:零向量与任一向量垂直,即对于任意的向量a,都有 .
【诊断分析】 向量的夹角的几何意义是什么 向量的夹角的取值范围是什么
◆ 探究点一 向量的概念与表示
例1 (1)下列说法中正确的有 ( )
①在物理学中,作用力与反作用力是一对共线的向量;
②温度有零上温度和零下温度,因此温度也是向量;
③∠AOB的两条边都是向量;
④平面上的数轴都是向量.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)下列说法正确的是 ( )
A.零向量没有大小,没有方向
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.零向量的长度为0
D.任意两个单位向量方向相同
例2 在如图所示的网格纸中,每个小正方形的边长都为1,解答下列问题.
(1)①画出向量,使||=3,点A在点O的正西方向;
②画出向量,使||=3,点B在点O的北偏西45°方向.
(2)求出||.
变式 某人从点A出发,向正西走了200 m后到达点B,然后改变方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了100 m到达点C,最后又改变方向,向正东走了200 m到达点D,发现点D在点B的正北方向.
(1)在如图所示的网格图中(每个小正方形的边长都为100 m),作出向量,,;
(2)求向量的模.
[素养小结]
准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
◆ 探究点二 相等向量与共线向量
例3 给出下列说法:①方向不同的两个向量不可能是共线向量;②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;③平行且模相等的两个向量是相等向量;④若a≠b,则|a|≠|b|.其中正确说法的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
例4 如图所示,点O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所表示的向量中:
(1)分别写出与,相等的向量.
(2)写出与共线的向量.
(3)写出与的模相等的向量.
(4)向量与是否相等
变式 如图所示,△ABC的三边长度均不相等,E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点,在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中,写出:
(1)与共线的向量;
(2)与的模相等的向量;
(3)与相等的向量.
[素养小结]
判断一组向量是否相等,关键是看这组向量是否方向相同,长度相等,与起点和终点的位置无关.判断一组向量是否共线,只需判断它们是否同向或反向.
◆ 探究点三 向量的夹角
例5 如图,已知△ABC是等边三角形.
(1)求向量与向量 的夹角;
(2)若E为BC的中点,求向量与的夹角.
变式 在如图所示的半圆中,线段AB为直径,点O为圆心,C为半圆上一点,且
∠OCB=30°,则向量与的夹角等于 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°(共43张PPT)
§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
探究点一 向量的概念与表示
探究点二 相等向量与共线向量
探究点三 向量的夹角
【学习目标】
1.能够通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背
景,理解平面向量、向量的模、零向量、单位向量、相等向量、共线
向量（平行向量）、向量垂直、向量夹角的概念.
2.能够在熟悉的实际问题情境中,理解平面向量的几何表示和基
本要素.
知识点一 向量的概念
向量的概念
（1）向量:既有______,又有______的量统称为向量.
（2）数量:只有______,没有______的量称为数量.
大小
方向
大小
方向
【诊断分析】
给出下列量:①面积;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧
功;⑨温度;⑩角度.
其中是向量的序号是__________,原因是________________________.
②③④⑤
这些量既有大小又有方向
知识点二 向量的表示
1.有向线段
（1）有向线段：具有____________的线段称为有向线段.
方向和长度
（2）表示方法：以为起点， 为终点的有向线
段，记作 ，如图.
（3）有向线段的长度：线段 的长度称为有
向线段的长度，记作
2.向量的表示方法
（1）向量的几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的
______表示向量的大小,称为向量的模，箭头所指的______表示向量
的方向，与单独的起点位置无关.
（2）向量的字母表示:向量可以用黑斜体小写字母如,,,…或,,,
（书写）来表示.
长度
方向
3.特殊的向量
（1）零向量:长度为___的向量称为零向量,记作______.任何方向都
可以作为零向量的方向.
（2）单位向量:模等于_____________的向量称为单位向量.
0
或
1个单位长度
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）向量就是有向线段.( )
×
（2）在同一个平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，
这些向量的终点形成的轨迹是单位圆.( )
√
2.0与 有什么区别和联系？
解：区别:0是数量,是向量.联系:| .
知识点三 相等向量与共线向量
1.相等向量：长度______且方向______的向量,向量与 相等,记作
.
相等
相同
2.共线向量:
（1）共线向量：
若两个非零向量, 的方向____________,则称这两个向量为共线向量
或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作 .
相同或相反
（2）相反向量：若两个向量的长度______、方向______,则称它们互
为相反向量,若其中一个向量为，则它的相反向量记作 .规定零向
量与任一向量共线，即对于任意的向量,都有 .零向量的相反向
量仍是零向量.
相等
相反
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）相反向量就是方向相反的向量.( )
×
（2）向量与 是相反向量.( )
√
（3）若，则一定有 .( )
×
（4）若,,则必有 .( )
×
知识点四 向量的夹角
1.定义:已知两个__________和 ,如图,在平面内选一
点，作,,则 （____________
____）称为向量与 的______.
非零向量
夹角
2.性质:当___时,与同向;当______时,与反向;当 ____
时,与 垂直,记作______.
规定：零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量 ，都有______.
【诊断分析】
向量的夹角的几何意义是什么 向量的夹角的取值范围是什么
解：向量的夹角是指将两个非零向量平移到相同的起点后,它们的正
向所成的角.
向量夹角的取值范围是 .
探究点一 向量的概念与表示
例1（1） 下列说法中正确的有( )
①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线的向量；
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；
③ 的两条边都是向量；
④平面上的数轴都是向量.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 结合向量的定义可知②③④错误，结合向量的定义以及共线
向量的定义可知①正确.故选A.
√
（2）下列说法正确的是( )
A.零向量没有大小，没有方向 B.零向量是唯一没有方向的向量
C.零向量的长度为0 D.任意两个单位向量方向相同
[解析] 零向量的方向是任意的，大小是0，因此A，B不正确；
零向量的长度为0，故C正确；
任意两个单位向量的方向不一定相同，故D不正确.
故选C.
√
例2 在如图所示的网格纸中，每个小正方形的
边长都为1，解答下列问题.
（1）①画出向量，使，点在点
的正西方向；
②画出向量，使，点在点 的
北偏西 方向.
解：依题意,①②中要画出的向量分别如图中, 所示.
（2）求出 .
解：由图可知,是等腰直角三角形,所以 .
变式 某人从点出发，向正西走了后到达点 ，然后改变方向，
沿北偏西一定角度的某方向行走了到达点 ，最后又改变
方向，向正东走了到达点，发现点在点 的正北方向.
（1）在如图所示的网格图中(每个小正方形的边长都为 ，作
出向量，， ；
解：连接，由题知 ，
则 ，即
.如图，， ，
即为所求.
（2）求向量 的模.
解：如图，作向量 ，
由题意可知，四边形 是平行四边形，
.
［素养小结］
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然
后根据向量的大小确定向量的终点.
探究点二 相等向量与共线向量
例3 给出下列说法：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②
长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两
个向量是相等向量；④若，则 .其中正确说法的个数是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 对于①，由共线向量的定义可知，方向相反的两个向量也是
共线向量，故①错误；
对于②，长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行且模相等的两个向量的方向相同或相反，
方向不一定相同，所以不一定是相等向量，故③错误；
对于④，若，则当与 的方向不相同时，它们的模可能相等，
故④错误.
故选A.
例4 如图所示,点为正方形 对角线的
交点,四边形, 都是正方形.在图中
所表示的向量中:
（1）分别写出与， 相等的向量.
解：由题意得, .
（2）写出与 共线的向量.
解：与共线的向量为,, .
（3）写出与 的模相等的向量.
解：与的模相等的向量为,,,,,, .
（4）向量与 是否相等
解：不相等.
变式 如图所示， 的三边长度均不相等，
，，分别是边，，的中点，在以 ,
,,,, 为起点或终点的向量中，写出：
（1）与 共线的向量；
解：因为，分别是边，的中点，所以，所以与 共
线的向量有，，，，，， .
（2）与 的模相等的向量；
解：由（1）知且，又是边的中点，故与
的模相等的向量有，，，， .
（3）与 相等的向量.
解：与相等的向量有与 .
［素养小结］
判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相
等，与起点和终点的位置无关．判断一组向量是否共线，只需判断
它们是否同向或反向．
探究点三 向量的夹角
例5 如图，已知 是等边三角形.
（1）求向量与向量 的夹角；
解：因为是等边三角形，所以 ，
则向量与向量的夹角为 .
（2）若为的中点，求向量与 的夹角.
解：若为的中点，则由等边三角形的性质可得 ，故向
量与的夹角为 .
变式 在如图所示的半圆中，线段为直径，点
为圆心，为半圆上一点，且 ，则向
量与 的夹角等于( )
A. B. C. D.
[解析] 在中， ，，
因为 ，所以 ，所以 ，
即向量与 的夹角等于 .故选C.
√
1.用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如：,, .
2.注意数字0与零向量 的区别.
3.解决与向量的概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长
度．如：
（1）共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；
（2）相等向量的核心是方向相同且长度相等；
（3）单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
（4）零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任意
一个向量共线．
4.向量相等具有传递性，若，，则 .而向量的平行不
具有传递性，若，，则未必有 ，因为零向量平行于任
意向量．
5.关于平面向量夹角的注意事项:
（1）在向量夹角定义中强调了“非零向量”,而向量又不能避开零向量.
事实上,由于零向量的方向任意,故零向量与任意一个向量的夹角就没
有什么意义.教材中只是规定零向量与任意一个向量平行，但不谈零
向量与任意一个向量的夹角.
（2）在实际解答时对两个向量的夹角经常会因理解不清而导致错误.
判断两个向量的夹角应将这两个向量的起点平移到同一点.
（3）根据两个向量的夹角的定义知，两个非零向量与 的夹角的取
值范围是 ，它包括零角、锐角、直角、钝角和平角这些情况，
在实际解答问题时容易出现遗漏或偏差，要引起我们的高度重视.在
具体解题时，要根据题意，把不适合的情况考虑全面.
1.向量的概念
（1）大小、方向是向量的两个要素.
（2）注意两个特殊的向量:零向量与单位向量.前者长度为0,方向任
意;后者长度为1.
（3）零向量是非常特殊的一个向量，忽视它极易致误，解题时要多
留心有无非零向量的要求， 与任意向量共线，故在有关向量共线的
概念辨析题中，常以 为背景设置陷阱．
例1 给出下列命题,其中真命题的个数是( )
①单位向量都相等;②单位向量都共线;③共线的单位向量必相等;④
零向量的模为0;⑤零向量没有方向;⑥零向量与任意向量共线.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 因为不同的单位向量有不同的方向,所以①和②是假命题.
因为共线的单位向量可能方向相反,它们不一定相等,所以③是假命题.
因为零向量的模为0,所以④是真命题.
因为零向量的方向任意,所以⑤是假命题.
因为零向量与任意向量共线,所以⑥是真命题.
综上，真命题只有2个.
√
2.相等向量与共线向量
（1）长度相等、方向相同的向量是相等向量.寻找相等向量要把握住
向量的两个要素:大小和方向.
（2）对于非零向量,共线向量只需把握向量的方向要素,与向量的大
小无关.故寻找非零共线向量时,只需判断两向量所在的直线是否平行
或者重合.
例2 [2024·云南师大附中高一月考]如图，点,,
是的圆周的三等分点，则向量,, 是
( )
A.有相同起点的向量 B.模相等的向量
C.共线向量 D.相等向量
√
[解析] 对于A，由题图可得，向量，， 不
是有相同起点的向量，故A错误；
对于B，因为 是圆心，所以向量，， 的模相等，
故B正确；
对于C，共线向量是方向相同或者相反的向量，
显然,, 的方向既不相同也不相反，故C错误；
对于D，相等向量是模相等、方向相同的向量，由对B,C的分析可知D错
误.
故选B.第二章 平面向量及其应用
§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
【课前预习】
知识点一
(1)大小 方向 (2)大小 方向
诊断分析
②③④⑤ 这些量既有大小又有方向
知识点二
1.(1)方向和长度 2.(1)长度 方向
3.(1)0 0或 (2)1个单位长度
诊断分析
1.(1)× (2)√
2.解:区别:0是数量,0是向量.联系:|0|=0.
知识点三
1.相等 相同 2.(1)相同或相反 (2)相等 相反
诊断分析
(1)× (2)√ (3)× (4)×
知识点四
1.非零向量 0°≤θ≤180° 夹角
2.0° 180° 90° a⊥b 0⊥a
诊断分析
解:向量的夹角是指将两个非零向量平移到相同的起点后,它们的正向所成的角.向量夹角的取值范围是[0,π].
【课中探究】
探究点一
例1 (1)A (2)C [解析] (1)结合向量的定义可知②③④错误,结合向量的定义以及共线向量的定义可知①正确.故选A.
(2)零向量的方向是任意的,大小是0,因此A,B不正确;零向量的长度为0,故C正确;任意两个单位向量的方向不一定相同,故D不正确.故选C.
例2 解:(1)依题意,①②中要画出的向量分别如图中,所示.
(2)由图可知,△AOB是等腰直角三角形,所以||=||=3.
变式 解:(1)连接BD,由题知BD⊥CD,则=-,即||=300 m.如图,,,即为所求.
(2)如图,作向量,由题意可知,四边形ABCD是平行四边形,∴||=||=100 m.
探究点二
例3 A [解析] 对于①,由共线向量的定义可知,方向相反的两个向量也是共线向量,故①错误;对于②,长度相等、方向相同的两个向量是相等向量,故②正确;对于③,平行且模相等的两个向量的方向相同或相反,方向不一定相同,所以不一定是相等向量,故③错误;对于④,若a≠b,则当a与b的方向不相同时,它们的模可能相等,故④错误.故选A.
例4 解:(1)由题意得=,=.
(2)与共线的向量为,,.
(3)与的模相等的向量为,,,,,,.
(4)不相等.
变式 解:(1)因为E,F分别是边AC,AB的中点,所以EF∥BC,所以与共线的向量有,,,,,,.
(2)由(1)知EF∥BC且EF=BC,又D是边BC的中点,故与的模相等的向量有,,,,.
(3)与相等的向量有与.
探究点三
例5 解:(1)因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=60°,
则向量与向量的夹角为180°-60°=120°.
(2)若E为BC的中点,则由等边三角形的性质可得AE⊥BC,故向量与的夹角为90°.
变式 C [解析] 在△ABC中,∠ACB=90°,OC=OB,因为∠OCB=30°,所以∠OBC=30°,所以∠BAC=60°,即向量与的夹角等于60°.故选C.第二章 平面向量及其应用
§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
一、选择题
1.下列说法中正确的是 ( )
A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同
B. 若非零向量与是共线向量,则A,B,C,D四点共线
C.与非零向量a共线的单位向量有两个
D.零向量是没有方向的
2.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则,,,,,中,与平行的向量有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.在 ABCD中,∠DAB=60°,则与的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.已知D为平行四边形ABPC的两条对角线的交点,则的值为 ( )
A. B. C.1 D.
5.已知A={x|x是与a共线的向量},B={x|x是与a长度相等的向量},C={x|x是与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,则下列结论中错误的是 ( )
A.C A B.A∩B={a}
C.C B D.A∩B {a}
6.如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,M,N分别为AB与CD的中点,则在以A,B,C,D,M,N为起点或终点的所有向量中,相等向量的对数为 ( )
A.9 B.11 C.18 D.24
7. 给出下列四个命题:①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且a∥b”.其中真命题的序号是 ( )
A.②③ B.①② C.③④ D.②④
8.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.单位向量都相等
B.任一向量与它的相反向量都不相等
C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
D.“模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件
9.(多选题)如图所示,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量,则在这6个向量中 ( )
A.向量,的模相等
B.||=
C.向量,共线
D.||+||=10
二、填空题
10.在四边形ABCD中,若∥且||≠||,则四边形ABCD的形状是 .
11.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= .
12.如图,在菱形ABCD中,O是两对角线AC与BD的交点,若∠DAB=120°,则在以A,B,C,D,O为起点或终点的所有向量中,以下说法中正确的是 .(填序号)
①与相等的向量只有一个(不含);
②与的模相等的向量有9个(不含);
③的模恰为的模的倍;
④与不平行.
三、解答题
13.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,分别写出图中满足下列条件的向量.
(1)与向量相等的向量;
(2)与向量平行的向量;
(3)与向量的模相等的向量;
(4)与向量的模相等、方向相反的向量.
14.一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到达D地,然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)在如图所示的直角坐标系中画出,,,;
(2)求B地相对于A地的位置.
15.把同一平面内所有模不小于1且不大于2的向量的起点移到同一点O,则这些向量的终点构成的图形的面积为 .
16.一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米,逆时针方向转变α(0°<α<180°),继续按直线向前行进1米,再逆时针方向转变α,按直线向前行进1米,按此方法继续操作下去.
(1)作出示意图,说明当α=45°时,操作几次后赛车的位移为零向量;
(2)按此操作方法(操作次数大于2)使赛车行进一周后能回到出发点,α应满足什么条件
