§2 从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
【课前预习】
知识点一
1.两个向量和 2.a+b a+0 0+a a 0
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.解:a+b表示“向东南方向航行 km”.
知识点二
b+a a+(b+c)
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1) (2) (3) (4)0 [解析] (1)由向量加法的平行四边形法则知,+=.
(2)++=+=.
(3)++=+=.
(4)∵=,∴++=++=+=0.
探究点二
例2 解:(1)+=+=.
(2)++=++=+=0.
(3)++++=++++=+=0.
变式 解:(1)++++=++++=.
(2)++=++=++=+=.
探究点三
例3 解:作出图形,如图.设船速v船与岸边的夹角为α,由图可知v水+v船=v实际,结合已知条件,可得四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中,||=||=|v水|=10,||=|v船|=20,∴cos α===,∴α=60°,故船行进的方向与水流的方向的夹角为120°.
变式 (1)C (2) 5 5 [解析] (1)如图,以,方向所在直线为邻边所在直线,AB为对角线作平行四边形AEBF,则+=.渡船经过0.2 h航行了0.2×10=2(km),即AF=2 km,由题意,AB= km,∠BAF=30°,所以BF=1 km.渡船在按方向航行时,江水沿方向流动,使渡船实际沿方向到达北岸B码头,此时江水流动的距离为AE=BF=1(km),则江水流动速度的大小为=5(km/h),故选C.
(2)如图所示,设,分别表示A,B处所受的力,物体W的重力为,则||=10 N,+=.易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°.以,为邻边作 CEGF,则||=||cos 30°=10×=5(N),||=||cos 60°=10×=5(N).所以A处所受力的大小为5 N,B处所受力的大小为5 N.§2 从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
1.C [解析] ++=(+)+=+=.故选C.
2.C [解析] 因为+=,所以A不成立;因为=+,所以B不成立;因为=+=+,所以C成立;因为=+,所以D不成立.故选C.
3.C [解析] +=+=,故A中结论正确;++=+=,故B中结论正确;++=0+≠,故C中结论不正确;++=+=0,故D中结论正确.故选C.
4.D [解析] 连接CE,则++=++=+=.
5.B [解析] 如图,设=F1,=F2,则∠BAD=120°,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则=F1+F2,因为||=||=60,所以四边形ABCD是菱形,又∠BAD=120°,所以△ABC是等边三角形,则||=||=60,所以这两个力的合力大小为60 N.故选B.
6.B [解析] 对于A,当a与b为相反向量时,a+b=0,零向量的方向是任意的,故A错误;对于B,在△ABC中,++=0,故B正确;对于C,当A,B,C三点共线时,满足++=0,但不能构成三角形,故C错误;对于D,若a,b均为非零向量,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时等号成立,故D错误.故选B.
7.D [解析] 由题得DE∥AC,且DE=AC,EF∥AB,且EF=AB,DF∥BC,且DF=BC.++=+=0,A中等式成立;++=++=0,B中等式成立;++=+=+=,C中等式成立;++=+==≠,D中等式不成立.故选D.
8.BD [解析] 选项A中,因为四边形ABCD是平行四边形,所以=,=,故选项A中结论正确;选项B中,因为=+,与不是相等向量,所以+≠,故选项B中结论不正确;选项C中,因为+=,+=,所以+=+,故选项C中结论正确;选项D中,++=+=≠,故选项D中结论不正确.故选BD.
9.AC [解析] 因为向量a=(+)+(+)=+=0,且b是一个非零向量,所以a∥b,所以A正确;因为a+b=b,所以B不正确,C正确;因为|a+b|=|b|,|a|+|b|=|b|,所以|a+b|=|a|+|b|,所以D不正确.故选AC.
10. [解析] +++=(+)+(+)=+=.
11. [解析] 如图所示,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,连接OC,则||=||,+=,∴|+|=||.在△OAC中,∵∠AOC=30°,||=||=1,∴||=.
12.①③④ [解析] 对于①,|+|=||,|+|=||,∵||=||,∴①成立;对于②,|+|=||,如图所示,以BA,BC为邻边作平行四边形ABCD,由平面向量加法的平行四边形法则可得+=,显然||≠||,②不成立;对于③,以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC,则+=,以CA,CB为邻边作平行四边形ACBF,则+=,由图可知,||=||,即|+|=|+|,③成立;对于④,|++|=2||,|++|=2||,∵||=||,∴④成立.故填①③④.
13.解:(1)如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,连接OD,则=a+b+c+d.
(2)由题得|e|=1,|a|=2,
因为|a+e|≤|a|+|e|=3,当且仅当a,e同向时取等号,
所以|a+e|的最大值是3.
14.证明:连接DE,EF,FD.
∵D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,CA的中点,
∴EF∥AD,DE∥AF,∴四边形ADEF为平行四边形.
由向量加法的平行四边形法则,得+=①.
同理,在平行四边形BEFD中,+=②,在平行四边形CFDE中,+=③.
将①②③相加,得++=+++++=(+)+(+)+(+)=0.
15.1012(a+b) [解析] 设A为线段A0A2023的中点,则A也为线段A1A2022,A2A2021,A3A2020,…,A1011A1012的中点,由向量加法的平行四边形法则可得+=2=a+b,+=2=a+b,…,+=2=a+b,所以++…+=1012(a+b).
16.解:如图,设工作艇的航行速度为,水流速度为,工作艇的实际航行速度为,连接BD,AD,则四边形OADB为平行四边形且OD⊥BD.
由题意知,||=12.5,||=25.∵四边形OADB为平行四边形,∴||=||,
又∵OD⊥BD,∴在Rt△OBD中,∠BOD=30°,
∴工作艇的航向为北偏西30°.§2 从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
【学习目标】
1.能够在实际问题情境中,借助平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及两个法则,并理解其几何意义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和.
2.能够在数学问题情境中,掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算.
◆ 知识点一 向量加法的定义及两个法则
1.向量加法的定义
求 的运算,称为向量的加法.
2.向量加法的两个法则
平行四边形法则 三角形法则
前提 已知两个不共线的向量a,b 已知非零向量a,b
作法 在平面内任取一点A,作有向线段=a,=b,以有向线段,为邻边作 ABCD,则=a+b 作有向线段=a,以有向线段的终点为起点,作有向线段=b,则=
图形
特例 零向量与任一向量a的和都有 = = ; 互为相反向量的两个向量的和为零向量,即a+(-a)=(-a)+a=
三角 不等式 ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量相加的结果可能是一个数量. ( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加. ( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线. ( )
2.已知向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向南航行1 km”,则a+b表示什么
◆ 知识点二 向量加法的运算律
交换律:a+b= .
结合律:(a+b)+c= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)(a+b)+c=a+(c+b).( )
(2)++++=0. ( )
(3)(+)+(+)+=. ( )
◆ 探究点一 向量的加法运算及其几何意义
例1 如图,在平行四边形ABCD中,
(1)+= ;
(2)++= ;
(3)++= ;
(4)++= .
[素养小结]
(1)在使用向量加法的三角形法则时,要注意“首尾相接”,即若第一个向量的终点与第二个向量的起点重合,则以第一个向量的起点为起点,并以第二个向量的终点为终点的向量为两向量的和.
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”,即两个向量是从同一点出发的不共线向量.
◆ 探究点二 向量的加法运算律
例2 化简:(1)+;
(2)++;
(3)++++.
变式 (1)化简:++++.
(2)如图,E,G分别是梯形ABCD的边AB,CD的中点,AB∥CD,化简++.
[素养小结]
解决向量的加法运算问题时应注意两点:
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法的运算律,注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
◆ 探究点三 向量加法的实际应用
例3 在静水中船的速度大小为20 m/min,水流的速度大小为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向.
变式 (1)如图,A处为长江南岸某渡口码头,北岸B码头位于A码头正北方向,且与A码头相距 km,江水沿正东方向(方向)流动.已知一渡船从A码头按方向以10 km/h的速度航行,且∠BAC=30°,若航行0.2 h到达北岸的B码头,则江水流动速度的大小是 ( )
A.10 km/h B.5 km/h
C.5 km/h D.1 km/h
(2)如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,
∠BCW=120°,则A处所受力的大小为 N,B处所受力的大小为 N.(绳子的重量忽略不计)
[素养小结]
解决与向量有关的实际应用题的一般步骤:弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答.§2 从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
一、选择题
1.[2024·江西金溪一中高一月考] 化简++等于 ( )
A. B.
C. D.
2.已知四边形ABCD是菱形,则下列等式中成立的是 ( )
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
3.[2024·湖北咸宁崇阳二中高一月考] 如图,在平行四边形ABCD中,O为对角线AC与BD的交点,则下列结论不正确的是 ( )
A.+=
B.++=
C.++=
D.++=0
4.如图,在正六边形ABCDEF中,++= ( )
A.0
B.
C.
D.
5.作用在同一物体上的两个力F1,F2的大小均为60 N,当它们的夹角为120°时,这两个力的合力大小为 ( )
A.30 N B.60 N
C.90 N D.120 N
6.下列说法中正确的是 ( )
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同
B.在△ABC中,必有++=0
C.若++=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点
D.若a,b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等
7.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中不成立的是 ( )
A.++=0
B.++=0
C.++=
D.++=
8.(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,O是两条对角线的交点,则下列结论中不正确的是( )
A.=,=
B.+=
C.+=+
D.++=
9.(多选题)设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的有 ( )
A.a∥b
B.a+b=a
C.a+b=b
D.|a+b|<|a|+|b|
二、填空题
10.化简:+++= .
11.已知||=||=1,且∠AOB=60°,则|+|= .
12.△ABC是正三角形,给出下列等式:
①|+|=|+|;
②|+|=|+|;
③|+|=|+|;
④|++|=|++|.
其中成立的有 .(填序号)
三、解答题
13.如图所示,已知向量a,b,c,d.
(1)求作a+b+c+d;
(2)设|a|=2,e为单位向量,试探索|a+e|的最大值.
14.已知点D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,CA的中点,求证:++=0.
15.如图所示,O是线段A0A2023外一点,若点A0,A1,A2,…,A2023中相邻两点间的距离相等,=a,=b,则++…+= .(用a,b表示)
16.已知桥是南北方向的,受落潮影响,海水以12.5 km/h的速度向东流,现有一艘工作艇,在海面上航行检查桥墩的状况.已知工作艇的速度大小是25 km/h,若工作艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行,则工作艇的航向是什么 (共35张PPT)
从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
探究点一 向量的加法运算及其几何意义
探究点二 向量的加法运算律
探究点三 向量加法的实际应用
【学习目标】
1.能够在实际问题情境中,借助平面向量的几何表示,掌握平面向
量加法运算及两个法则,并理解其几何意义,会用向量加法的三角形法
则和平行四边形法则作出两个向量的和.
2.能够在数学问题情境中,掌握向量加法的交换律与结合律,并会
用它们进行向量运算.
知识点一 向量加法的定义及两个法则
1.向量加法的定义
求____________的运算，称为向量的加法.
两个向量和
2.向量加法的两个法则
平行四边形法则 三角形法则
前提 已知两个不共线的向量， 已知非零向量，
平行四边形法则 三角形法则
作法 在平面内任取一点 ,作有向线 段, ,以有向线段 ,为邻边作 ,则 作有向线段 ,以有向线
段 的终点为起点，作有向
线段,则 ______
图形 __________________________________________________ __________________________________________________
续表
平行四边形法则 三角形法则
特例 零向量与任一向量的和都有____________ ___； 互为相反向量的两个向量的和为零向量，即 ___
三角 不等 式
续表
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个向量相加的结果可能是一个数量．( )
×
（2）两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )
×
（3）任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( )
×
2.已知向量表示“向东航行”，向量表示“向南航行 ”，则
表示什么？
解：表示“向东南方向航行 ”.
知识点二 向量加法的运算律
交换律: ______.
结合律: ___________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1） .( )
√
（2） .( )
√
（3） .( )
√
探究点一 向量的加法运算及其几何意义
例1 如图，在平行四边形 中，
（1） ____；
[解析] 由向量加法的平行四边形法则知， .
（2） ____；
[解析] .
（3） ____；
[解析] .
（4） ___．
[解析] ，
.
［素养小结］
（1）在使用向量加法的三角形法则时,要注意“首尾相接”,即若第一
个向量的终点与第二个向量的起点重合,则以第一个向量的起点为起
点,并以第二个向量的终点为终点的向量为两向量的和.
（2）向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”,即两个向量
是从同一点出发的不共线向量.
探究点二 向量的加法运算律
例2 化简：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
变式（1） 化简： .
解： .
（2）如图，，分别是梯形的边， 的
中点，，化简 .
解： .
［素养小结］
解决向量的加法运算问题时应注意两点:
（1）可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
（2）要灵活应用向量加法的运算律,注意各向量的起点、终点及向量
起点、终点字母的排列顺序,特别注意勿将 写成0.
探究点三 向量加法的实际应用
例3 在静水中船的速度大小为 ,水流的速度大小为
,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行
进的方向.
解：作出图形，如图.设船速与岸边的夹角为 ，
由图可知 ，
结合已知条件，可得四边形 为平行四边形.
在中， ，
，， ，
故船行进的方向与水流的方向的夹角为 .
变式（1） 如图， 处为长江南岸某渡口码头，
北岸码头位于码头正北方向，且与 码头
相距，江水沿正东方向（ 方向）流
动.已知一渡船从码头按方向以
的速度航行，且 ，若航行
A. B. C. D.
到达北岸的 码头，则江水流动速度的大小是( )
√
[解析] 如图，以, 方向所在直线为邻边
所在直线，为对角线作平行四边形 ，
则.
渡船经过 航行了，
即 ，由题意，， ，所以 .
渡船在按方向航行时，江水沿 方向流动，使渡船实际
沿方向到达北岸B码头，此时江水流动的距离为 ，
则江水流动速度的大小为 ，故选C.
（2）如图，用两根绳子把重的物体吊在水平杆子 上，
, ，则处所受力的大小为_____，
处所受力的大小为___ .（绳子的重量忽略不计）
5
[解析] 如图所示，设,分别表示， 处所受
的力，物体的重力为，则 ，
.
易得 , .
以, 为邻边作 ，则 ，
.
所以处所受力的大小为， 处所受力的大小为 .
［素养小结］
解决与向量有关的实际应用题的一般步骤:弄清实际问题 转化为数
学问题 正确画出示意图→用向量表示实际量 向量运算 回扣
实际问题 作出解答.
1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．
区别：①三角形法则中强调的是“首尾相连”，平行四边形法则中强
调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，
而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形
法则是统一的．
2.向量加法的多边形法则: 个向量经过平移,顺次使前一个向量的终
点与后一个向量的起点重合,组成一组向量折线,这 个向量的和等于
折线起点到终点的向量.向量加法的多边形法则实质就是三角形法则
的连续应用.
3.非零向量与非零向量, 的模及方向的关系:
①当与不共线时,的方向与,都不相同,且 .
②当与同向时,,,的方向相同,且 .
③当与反向时,若,则与 的方向相同,且
.
1.利用加法法则求向量的和
例1 化简或计算：
（1） ____.
[解析] .
（2） ____.
[解析]
.
例2 [2024·云南师大附中高一月考]设向量表示“向东走”， 表
示“向南走”，则 所表示的意义为( )
A.向东南走 B.向西南走
C.向东南走 D.向西南走
[解析] 因为表示“向南走”，所以表示向南走 ，
根据向量加法的平行四边形法则可知，
表示向东南走 ，故选A.
√
2.应用三角形法则与平行四边形法则作向量的和
（1）三角形法则可以推广到 个向量求和,作图时要求“首尾相连”，
即个首尾相连的向量的和是从第一个向量的起点指向第 个向量的
终点的向量.
（2）平行四边形法则只适用于不共线的向量求和.
（3）当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三角形法则作
出的图形是平行四边形法则作出的图形的“一半”,在多个向量的加法
运算中,利用三角形法则更为简便.
例3 如图所示，已知向量，，不共线，作出向量 .
①
解：方法一（三角形法则）：如图①，
作，，则，再作 ，
则 ，
即 .
②
方法二（平行四边形法则）：如图②，
，， 不共线，
在平面内任取一点，作， ，
以，为邻边作平行四边形 ，
则，再作 ，
以，为邻边作平行四边形 ，
则 .
3.用向量证明几何问题
例4 如图所示,在平行四边形的对角线 所
在直线上取点,,使,求证:四边形 是
平行四边形.
证明:， ，
且，，,
,且， 四边形 是平行四边形.
例5 如图，，是的边上的两点，且 ，求证：
.
证明：， ，
， .
