2.2 向量的减法
【课前预习】
知识点
1.相反向量 a+(-b) 2.+ a-b
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
变式 解:在平面内任取一点O,作=a.
(1)如图所示,作=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
(2)如图所示,作=b,则=a-b,再作=c,则=a-b-c.
探究点二
探索 解:一般满足首尾相连的形式或起点相同的形式.
例2 (1) (2)0 [解析] (1)方法一:--=-=.
方法二:--=-(+)=-=.
方法三:--=++=+(+)=+=+=.
(2)方法一:--(-)=--+=+++=++(+)=+=0.
方法二:设点O为平面内任意一点,则--(-)=--+=(-)-(-)-(-)+(-)=--+-++-=0.
方法三:--(-)=--+=(-)+(-)=+=0.
变式 B [解析] --=+-=-=.故选B.
探究点三
探索 解:如图所示,在平行四边形ABCD中,若=a,=b,则a+b=,a-b=.
例3 解:∵四边形ACDE为平行四边形,
∴==c,=-=b-a,=-=c-a,=-=c-b,∴=+=b-a+c.
变式 (1)C [解析] 依题意,=-=+-,即=b-a+c,故选C.
(2)解:设=a,=b,则||=|a-b|.
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则||=|a+b|.
∵(+1)2+(-1)2=42,∴||2+||2=||2,
∴OA⊥OB,∴平行四边形OACB是矩形.
∵矩形的对角线相等,∴||=||=4,即|a+b|=4.2.2 向量的减法
1.C [解析] =-=b-a,故选C.
2.B [解析] -++=+++=,故选B.
3.D [解析] 由题可得===-=b-c.故选D.
4.C [解析] 对于A,(+)+=++=+=;对于B,(+)+(+)=+++=++=+0=;对于C,(+)-=++=+;对于D,(-)+=+=.故选C.
5.C [解析] 因为|+|=|-|,所以||=||,所以平行四边形的对角线长度相等,所以四边形ABCD为矩形,故选C.
6.B [解析] ∵=-,=-,∴-=-,∴+=+.故选B.
7.C [解析] 连接AC,BD,设AC∩BD=E,则E为AC,BD的中点,连接OE,如图所示,所以+=(+)+(+)=(+)+(-)=+,同理可得+=+,所以+=+,因此=-+.故选C.
8.CD [解析] 对于A,当A,B,C,D四点共线时,结论不成立,所以A错误;对于B,因为零向量与任意向量共线,所以当b=0时,a∥b,b∥c,但a∥c不一定成立,所以B错误;对于C,若向量a与b互为相反向量,则a与b方向相反,且|a|=|b|,所以C正确;对于D,由向量的运算法则,可得-+=+=,所以D正确.故选CD.
9.ABC [解析] 由条件可知||=||,且A=90°,所以以AB,AC为邻边的平行四边形ABDC是正方形,其对角线长相等,所以|+|=||=||=|-|,故A正确;|-|=||,|-|=||,所以|-|=|-|,故B正确;|-|=|+|=||,|-|=|+|=||,所以|-|=|-|,故C正确;|-|2=||2,=||2,|-|2=||2,由条件可知||2=||2+||2,即|-|2=|-|2+|-|2,故D错误.故选ABC.
10.0 [解析] 如图,由正六边形的性质可知,,互为相反向量,所以-+=+(-)=+=0.
11.a+c-b [解析] ∵四边形ABCD为平行四边形,∴=,∴=+=+=+-=a+c-b.
12.2 [解析] 如图所示,设=a,=b,则||=|a-b|.以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则||=|a+b|.因为(3+)2+(3-)2=(2)2,所以||2+||2=||2,又||=||,所以△OBC是直角三角形,∠OBC=90°,从而BC⊥OB,所以平行四边形OACB是矩形.根据矩形的对角线长度相等得||=||=2,即|a-b|=2.
13.解:由题图知=a,=b,=c,=d,=e.
(1)=++=d+e+a.
(2)=-=--=-b-c.
(3)=++=e+a+b.
(4)=-=-(+)=-c-d.
14.解:由a+c=b+d得a-b=d-c,即-=-,∴=,于是AB与CD平行且相等,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又|a-b|=|a-d|,即|-|=|-|,
∴||=||,∴四边形ABCD为菱形.
15.D [解析] 由+=,可得=-=,∴四边形PBCA为平行四边形,∴P在△ABC的外部,故选D.
16.解:延长AB至B',使得点B'满足AB=BB',延长AD至D',使得点D'满足AD=DD',如图所示,连接B'D',易知点C在线段B'D'上,
连接BD',则b+c=,a-b-c=a-(b+c)=-=-=,
则|a-b-c|=||==8.2.2 向量的减法
【学习目标】
1.能够在实际问题情境中,借助平面向量的几何表示,掌握平面向量的减法运算及运算规则,并理解其几何意义.
2.会作出两个向量的差.
◆ 知识点 向量的减法及其几何意义
1.向量减法的定义
向量a减向量b等于向量a加上向量b的 ,即a-b= .
2.向量减法的几何意义
如图所示,给定向量a与b, 作有向线段=a,=b,则a-b=a+(-b)=+= = ,即如果把向量a与b的起点放在点O,那么从向量b的终点B指向被减向量a的终点A,得到的向量就是 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量. ( )
(2)相反向量是共线向量. ( )
(3)向量a和向量b的差与向量b和向量a的差互为相反向量. ( )
◆ 探究点一 向量的减法及其几何意义
例1 如图,已知向量a,b,c不共线,作出向量a+b-c的图.
变式 已知向量a,b,c如图所示.
(1)作出向量a+b-c的图;
(2)作出向量a-b-c的图.
[素养小结]
画出两个向量的差向量的图的两种思路:
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作a,-b,然后作a+(-b)即可.
(2)也可以直接用向量减法的三角形法则,使两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
◆ 探究点二 向量的减法运算
[探索] 化简时满足什么形式才可以用向量的加、减运算法则进行向量的运算
例2 (1)化简:--= ;
(2)化简:--(-)= .
变式 [2024·山东德州万隆中英文高级中学高一月考] 已知A,B,C,D是平面中互不相同的四个点,则--= ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
利用向量加、减法的基本运算化简向量的一般思路是将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量,如果遇到差向量可利用相反向量转化为和向量.
◆ 探究点三 向量减法及其几何意义的应用
[探索] 以向量加法的平行四边形法则为基础,能否构造一个图形将a+b和a-b放在这个图形中
例3 如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,,及.
变式 (1)如图,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为 ( )
A.a+b-c
B.a-b+c
C.b-a+c
D.b-a-c
(2)已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值.
[素养小结]
向量减法的三角形法则的内容:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点字母,以被减向量的终点字母为终点字母.此类问题要根据图形的几何性质,运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题,若题目中遇到共起点的向量,则常常创造条件作差,要特别注意向量的方向.2.2 向量的减法
一、选择题
1.设=a,=b,则= ( )
A.a+b B.a-b
C.b-a D.-a-b
2.化简-++的结果为 ( )
A. B.
C. D.
3.如图,已知多边形ABCDEF是正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,=c,则等于 ( )
A.a+b B.b-a
C.c-b D.b-c
4.已知A,B,C,D,M,O为不同的点,则下列式子中不能化简为的是 ( )
A.(+)+
B.(+)+(+)
C.(+)-
D.(-)+
5.在平行四边形ABCD中,若|+|=|-|,则必有 ( )
A.=0
B.=0
C.四边形ABCD是矩形
D.四边形ABCD是菱形
6.如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子中成立的是 ( )
A.+=+
B.+=+
C.+=+
D.+=-
7.[2024·山东临沂四中高一月考] 已知O是平行四边形ABCD外一点,若用,,表示,则 ( )
A.=++
B.=+-
C.=-+
D.=--
8.(多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.若=,则A,B,C,D四点构成一个平行四边形
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.互为相反向量的两个向量的模相等
D.-+=
9.(多选题)已知三角形ABC为等腰直角三角形,且A=90°,则 ( )
A.|+|=|-|
B.|-|=|-|
C.|-|=|-|
D.|-|2>|-|2+|-|2
二、填空题
10.[2024·河南濮阳高一期中] 在正六边形ABCDEF中,-+= .
11.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= (用a,b,c表示).
12.已知非零向量a,b满足|a|=3+,|b|=3-,且|a+b|=2,则|a-b|= .
三、解答题
13.已知向量a,b,c,d,e如图所示,根据图解答下列问题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
14.如图,已知平面内四边形ABCD及任意一点O,设=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|.试判断四边形ABCD的形状.
15.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论中正确的是 ( )
A.P在△ABC的内部
B.P在边BC上
C.P在边AB所在直线上
D.P在△ABC的外部
16.如图所示,在矩形ABCD中,||=4,||=8.设=a,=b,=c,求|a-b-c|.(共32张PPT)
从位移的合成到向量的加减法
2.2 向量的减法
探究点一 向量的减法及其几何意义
探究点二 向量的减法运算
探究点三 向量减法及其几何意义的应用
【学习目标】
1.能够在实际问题情境中,借助平面向量的几何表示,掌握平面向
量的减法运算及运算规则,并理解其几何意义.
2.会作出两个向量的差.
知识点 向量的减法及其几何意义
1.向量减法的定义
向量减向量等于向量加上向量的__________,即 _______
____.
相反向量
2.向量减法的几何意义
如图所示,给定向量与,作有向线段, ,则
_____________,即如果把向量与
的起点放在点，那么从向量的终点指向被减向量的终点 ,得到
的向量 就是______.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个向量的差仍是一个向量.( )
√
（2）相反向量是共线向量.( )
√
（3）向量和向量的差与向量和向量 的差互为相反向量.( )
√
探究点一 向量的减法及其几何意义
例1 如图，已知向量，，不共线，作出向量 的图.
解：如图所示，在平面内任取一点，作 ，
，则，
再作 ，则 .
变式 已知向量，， 如图所示.
解：在平面内任取一点，作 .
如图所示，作，则 ，
再作，则 .
（1）作出向量 的图；
（2）作出向量 的图.
解：如图所示，作，则 ，
再作，则 .
［素养小结］
画出两个向量的差向量的图的两种思路：
（1）可以转化为向量的加法来进行,如,可以先作, ,然后作
即可.
（2）也可以直接用向量减法的三角形法则,使两向量的起点重合,则
差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
探究点二 向量的减法运算
［探索］ 化简时满足什么形式才可以用向量的加、减运算法则进行
向量的运算？
解：一般满足首尾相连的形式或起点相同的形式.
例2（1） 化简： ____；
[解析] 方法一： .
方法二： .
方法三： .
（2）化简： ___.
[解析] 方法一：
.
方法二：设点 为平面内任意一点，则
.
方法三： .
变式 [2024·山东德州万隆中英文高级中学高一月考] 已知， ，
，是平面中互不相同的四个点，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
［素养小结］
利用向量加、减法的基本运算化简向量的一般思路是将若干个求和
（差）的向量最终转化为首尾相接的向量,如果遇到差向量可利用相
反向量转化为和向量.
探究点三 向量减法及其几何意义的应用
［探索］ 以向量加法的平行四边形法则为基础,能否构造一个图形
将和 放在这个图形中
解：如图所示,在平行四边形中,
若 ,,则, .
例3 如图，在五边形中，若四边形
是平行四边形，且，， ，试
用，，表示向量，，，及 .
解： 四边形 为平行四边形，
，， ，
， .
变式（1） 如图，向量， ，
，则向量 可以表示为( )
A. B.
C. D.
[解析] 依题意，
，即 ，故选C.
√
（2）已知非零向量，满足， ，且
，求 的值.
解：设，，则 .
以，为邻边作平行四边形，则 .
， ，
， 平行四边形 是矩形．
矩形的对角线相等，，即 .
［素养小结］
向量减法的三角形法则的内容:两向量相减,表示两向量起点的字母必
须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点字母,以被减
向量的终点字母为终点字母.此类问题要根据图形的几何性质,运用向
量的平行四边形法则和三角形法则解题,若题目中遇到共起点的向量,
则常常创造条件作差,要特别注意向量的方向.
1.向量的减法运算
（1）相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，
相反向量必为平行向量．
（2）向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,就
可以把减法化为加法.在用三角形法则作向量减法时,记住“连接两向
量的终点,箭头指向被减向量”即可.向量减法的三角形法则可简记为:
共起点，连终点，指向被减.
（3）以向量,为邻边作平行四边形 ，则
，， .这一结论在以后应用非常广
泛，应该加强理解并记忆.
2.，， 三者的大小关系为
.
（1）当向量与 共线时：
①当两非零向量与同向时， ；
②当两非零向量与反向时， ；
③当与中至少有一个为零向量时， .
（2）当两非零向量与不共线时，如在中， ，
，则 ，根据三角形中任意两边之差总
小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得
.
综上可知，对任意的向量与都有 .
当与同向或与中至少有一个为零向量时，
中的等号成立；当与反向或与 中至少有一个为零向量时，
中的等号成立.
3.成立的充要条件是与同向或与 中至少有
一个为零向量;
成立的充要条件是与反向或与 中至少有
一个为零向量;
成立的充要条件是与反向或与 中至少有一
个为零向量;
成立的充要条件是与同向或与 中至少有
一个为零向量.
1.向量的减法运算
（1）向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算,可以灵活转化,
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
（2）对于向量的加减运算,做加法时要首尾相接,如 .
做减法时要保证起点相同,如 .同时,注意交换一个向量
的起点和终点,所得向量与原向量是相反向量.
例1 化简下列各式:
（1） ；
解：
.
（2） .
解： .
2.利用已知向量表示其他向量
解决此类题目要充分利用平面几何知识,灵活运用平行四边形法则和
三角形法则，要将向量运算的平行四边形法则、三角形法则与向量
加减法运算的几何意义相结合,运算过程中要注意向量的起点与终点.
例2 如图所示，已知一点到平行四边形 的
三个顶点，，的向量分别为，， ，试用向
量，，表示 .
解：在中， .
在中， .
在平行四边形中，因为 ，
所以，即 .
3.作已知向量的和向量或差向量
例3 如图，已知向量,,不共线，作出向量 的图.
解：如图，在平面内任取一点，
作 ， ，则，
作 ，则 .
4.向量，的模与 的模之间满足不等式
，应用此结论时要注意等号成立的条件．
例4 已知，，求 的取值范围．
解： ，
且，， .
当与同向时， ；
当与反向时， .
故的取值范围是 ．
