§3 从速度的倍数到向量的数乘
3.1 向量的数乘运算
3.2 向量的数乘与向量共线的关系
【课前预习】
知识点一
1.向量 λa (1)相同 相反 0 任意
(2)|λ||a| 向量的数乘
知识点二
1.(1)λa+μa (2)(λμ)a (3)λa+λb
2.加法、减法和数乘
诊断分析
(1)× (2)× (3)×
知识点三
存在唯一 a=λb
诊断分析
(1)× (2)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)D (2)C [解析] (1)∵a=-b(b≠0),-<0,∴a和b方向相反,且|a|==|b|,∴|b|=2|a|.故选D.
(2) 对于A,a与λa方向相同或相反,A不正确;对于B,当0<|λ|<1时,|-λa|<|a|,B不正确;对于C,因为λ2>0,所以a与λ2a方向相同,C正确;对于D,|λa|是实数,|λ|a是向量,不可能相等,D不正确.故选C.
变式 (1)D (2) [解析] (1)如图,由=-知点C在线段BA的延长线上,且AC=AB,因此由向量数乘运算的定义知A,B,C中等式均成立,D中等式不成立.故选D.
(2)由题意可知2x-1>0,即x>.
探究点二
例2 (1)AB [解析] 对于A,m(a-b)=ma-mb,A正确;对于B,(m-n)a=ma-na,B正确;对于C,当m=0时,由0·a=0·b,不能得到a=b,C错误;对于D,当a=0时,由ma=na,不能得到m=n,D错误.故选AB.
(2)解:①原式=18a-12b-18a+9b=-3b.
②原式=-=-=a+b-a-b=0.
变式 解:由题知3x-2y=a①,-4x+3y=b②,由①×3+②×2,得x=3a+2b,代入①,得3(3a+2b)-2y=a,所以y=4a+3b.
探究点三
例3 解:(1)因为=++,
所以=++=-.
(2)因为=+=-=-(-),所以=+=×+=+.
例4 解:如图,设=a,=b.
∵M,N分别是DC,BC的中点,
∴=b,=a.
在△ADM和△ABN中,
即①×2-②,得b=(2c-d),②×2-①,得a=(2d-c),∴=d-c,=c-d.
变式 C [解析] 由题意知=+=-+=-+(-)=-+-×=-+.故选C.
探究点四
例5 解:(1)证明:∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而=-=(a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2,∴与共线,又与有公共点B,∴A,B,C三点共线.
(2)∵8a+kb与ka+2b共线,∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b),即(8-λk)a+(k-2λ)b=0.
∵a与b不共线,∴解得λ=±2,∴k=2λ=±4.
变式 A [解析] =+=-2a+8b+3a-3b=a+5b,故=,则∥,又因为向量与有公共点B,故A,B,D三点共线.故选A.
拓展 解:由题意可知,=,所以=3,又=+,所以=+.因为B,P,N三点共线,所以+=1,解得m=.§3 从速度的倍数到向量的数乘
3.1 向量的数乘运算
3.2 向量的数乘与向量共线的关系
1.D [解析] 利用向量数乘的运算律,可得3(2a-4b)=6a-12b,故选D.
2.C [解析] 因为|a|=3,|b|=5,a=λb,所以|a|=|λ||b|,即3=5|λ|,所以|λ|=,得λ=±.
3.D [解析] ∵e1,e2是两个不共线的向量,且向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,∴由共线向量基本定理得k=,故选D.
4.A [解析] 如图所示,=-=-=(-)+=+=a+b.故选A.
5.A [解析] 由题意得=-=e1-2e2,因为A,B,D三点共线,所以存在实数λ,使=λ,即e1-ke2=λ(e1-2e2),即解得故选A.
6.A [解析] 由题意可得=-=+-=(-)=,又=t,∴t=.
7.C [解析] 因为4=,所以=λ+μ=λ+4μ,因为P,B,D三点共线,所以λ+4μ=1,故选C.
8.CD [解析] 点P为△ABC所在平面内一点,E为边AC的中点,F为边BC的中点,则+=2,+=2,而+2+3=0,即(+)+2(+)=0,于是得2+4=0,即=2,所以点P在线段EF上,且PE∶PF=2∶1,所以点P,A,C不共线,则向量与不可能平行.故选CD.
9.BCD [解析] 如图,对于选项A,=-,故A错误;对于选项B,=+=+=+(-)=+,故B正确;对于选项C,=+=+=+=+,而=-,所以=+(-)=+,故C正确;对于选项D,=-=-3=-3(-)=2-3,故D正确.故选BCD.
10.-4 [解析] 因为ka+2b与8a+kb的方向相反,所以ka+2b=λ(8a+kb)(λ<0),所以(λ<0),得k=-4.
11.2 [解析] ∵-3+2=0,∴-=2(-),∴=2,∴=2.
12. [解析] ∵a,tb,(a+b)三个向量的终点在同一条直线上,且a 与b的起点相同,∴a-tb与a-(a+b)共线,即a-tb与a-b共线,∴存在实数λ,使a-tb=λ,∴得t=.
13.解:(1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b)=a+b+a-b-a+b=a+b=a+b.
(2)-=-=a+b-a-b=0.
14.解:(1)证明:∵=++=a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6,∴与共线,
又与有公共点A,∴A,B,D三点共线.
(2)∵ka+b与2a+kb共线,
∴存在λ使ka+b=λ(2a+kb)(λ∈R),
∴(k-2λ)a+(1-λk)b=0,∴解得或故k=±.
15.(0,3) [解析] 如图所示,设=t,则=+=+t=+t(-)=-t+(1+t),因为3+=0,点O在线段CD上(点O与点C,D不重合),所以t∈(0,3),又因为=-x+(1+x),所以x∈(0,3).
16.解:(1)=.理由如下:
∵D为边BC的中点,∴+=2,
∴由2++=0,得2+2=0,∴=.
(2)由题意得+2+3=(+)+2(+)=2+4=0,∴=2,∴DE=3DO.
又AB∥DE,AB=2DE,∴AB=6DO,
∴S△ABC=6S△BOC=12,即△ABC的面积为12.§3 从速度的倍数到向量的数乘
3.1 向量的数乘运算3.2 向量的数乘与向量共线的关系
一、选择题
1.3(2a-4b)等于 ( )
A.5a+7b B.5a-7b
C.6a+12b D.6a-12b
2.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ= ( )
A. B.
C.± D.±
3.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则k= ( )
A.0 B.1
C.2 D.
4.在△ABC中,P,Q分别是边AB,BC上的点,且=,=,若=a,=b,则= ( )
A.a+b B.-a+b
C.a-b D.-a-b
5.[2024·海南文昌中学高一月考] 已知e1,e2是平面内不共线的两个向量,且=e1-ke2,=2e1+e2,=3e1-e2,若A,B,D三点共线,则k的值是 ( )
A.2 B.-3 C.-2 D.3
6.已知点P是△ABC的边AB所在直线上一点,且=+,若=t,则t的值为 ( )
A. B.
C. D.
7.在△ABC中,点D是边AC上一点,且=4,P为BD上一点,=λ+μ(λ>0,μ>0),则λ,μ满足的关系为 ( )
A.λ+μ=1
B.λ+=1
C.λ+4μ=1
D.4λ+μ=1
8.(多选题)已知点P为△ABC所在平面内一点,且+2+3=0,若E为边AC的中点,F为边BC的中点,则下列结论正确的是 ( )
A.向量与可能平行
B.点P在线段EF的延长线上
C.点P在线段EF上
D.PE∶PF=2∶1
9.(多选题)[2024·辽宁丹东高一期末] 在△ABC中,D在AB边上,=2,E是CD的中点,则 ( )
A.=-
B.=+
C.=+
D.=2-3
二、填空题
10.设a,b是两个不共线的非零向量,若ka+2b与8a+kb的方向相反,则实数k= .
11.已知平面上不共线的四点O,A,B,C满足-3+2=0,则= .
12.设两个非零向量a 与b不共线,若a 与b的起点相同,且a,tb,(a+b)的终点在同一条直线上,则实数t的值为 .
三、解答题
13.化简:
(1)(a+2b)+(3a-2b)-(a-b);
(2)-.
14.已知两个非零向量a,b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)若ka+b与2a+kb共线,求实数k的值.
15.[2024·江西宜春宜丰中学高一月考] 在△ABC中,已知点D在线段BC的延长线上,且3+=0,点O在线段CD上(点O与点C,D不重合).若=-x+(1+x),则x的取值范围是 .
16.已知O是△ABC所在平面内一点,D为边BC的中点.
(1)若点O满足2++=0,试判断向量与的关系,并说明理由;
(2)若E为AC的中点,O在线段DE上,且满足+2+3=0,△BOC的面积为2,求△ABC的面积.(共39张PPT)
§3 从速度的倍数到向量的数乘
3.1 向量的数乘运算
3.2 向量的数乘与向量共线的关系
探究点一 向量的数乘的概念
探究点二 向量的数乘运算
探究点三 用已知的向量表示未知的向量
探究点四 向量共线定理及其应用
【学习目标】
1.掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,了解向量的线性运算
性质及几何意义,理解两个向量共线的判定定理及性质定理.
2.在速度的倍数引导下学习数乘向量,进一步体会数学和物理学
的联系.
知识点一 向量的数乘运算
1.向量的数乘的定义
实数 与向量 的乘积是一个______,记作____, 满足以下条件：
向量
（1）当时,向量与向量的方向______;当时,向量 与
向量的方向______;当时, ___,方向______.
（2） ______.这种运算称为____________.
相同
相反
任意
向量的数乘
2.向量数乘 的几何意义
（1）当时，表示向量 的有向线段在原方向伸长或缩短为原来
的 倍；
当时，表示向量的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的 倍.
（2）向量的单位化：在非零向量方向上的单位向量是 .
它表明一个非零向量除以它的模（乘它的模的倒数）的结果是一个
与原向量同方向的单位向量，这一过程称为向量的单位化.
知识点二 数乘运算的运算律
1.设 , 为实数,, 为向量,那么
（1） _________；
（2） _______;
（3） ________.
2.向量的线性运算：向量的__________________的综合运算，通常称
为向量的线性运算（或线性组合）.
加法、减法和数乘
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）的方向与 的方向一致.( )
×
（2）若,则 .( )
×
（3）对于任意实数和向量,,若,则 .( )
×
知识点三 共线（平行）向量基本定理
给定一个非零向量，则对于任意向量， 的充要条件是______
_____一个实数 ,使_______.
存在唯一
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若向量与共线,则存在唯一的实数 ,使 .( )
×
（2）若,则与 共线.( )
√
知识点四 直线 的方向向量
通常可以用表示过点，的直线,其中称为直线 的方
向向量.
探究点一 向量的数乘的概念
例1（1） 若 ，则( )
A.和方向相同， B.和方向相同，
C.和方向相反， D.和方向相反，
[解析] ,,
和 方向相反，且， 故选D.
√
（2）设是非零向量， 是非零实数，则下列结论中正确的是
( )
A.与方向相反 B.
C.与方向相同 D.
[解析] 对于A，与 方向相同或相反，A不正确；
对于B，当时，，B不正确；
对于C，因为 ，所以与方向相同，C正确；
对于D，是实数， 是向量，不可能相等,D不正确.
故选C.
√
变式（1） 若 ，则下列各等式中不成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，由知点C在线段 的延长线上，且
，因此由向量数乘运算的定义知A，B，C中等式均成立，
D中等式不成立.故选D.
√
（2）若两个非零向量与的方向相同,则 的取值范围为
_________.
[解析] 由题意可知,即 .
［素养小结］
对数乘运算的理解，关键是对系数 的作用的认识：
当时，与同向，模是的 倍；
当时，与反向，模是的 倍；
当时， .
探究点二 向量的数乘运算
例2（1） （多选题）已知，都是实数，， 都是向量，则下列
结论中正确的为( )
A. B.
C.若，则 D.若，则
[解析] 对于A， ，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，当时，由 ，不能得到，C错误；
对于D，当时，由 ，不能得到，D错误.
故选 .
√
√
（2）化简：
① ；
解：原式 .
② .
解：原式 .
变式 已知向量,,,满足关系式, ,试用向
量,表示向量, .
解：由题知①,，
由 ,得，
代入①,得,所以 .
［素养小结］
向量数乘运算的方法：
（1）向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、
移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的数乘运算中同
样适用.
（2）向量也可以通过列方程来求解,即把所求向量当作未知数,利用
解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运
算律,简化运算.
探究点三 用已知的向量表示未知的向量
例3 如图，在四边形中，已知 .
（1）用，表示 ；
解：因为 ，
所以 .
（2）若，，用，表示 .
解：因为 ，
所以 .
例4 在平行四边形中，，分别是， 的中点，已知
，，试用，表示和 .
解：如图，设， .
，分别是， 的中点，
， .
在和中， 即
，得，
，得，
， .
变式 如图，在中，,为线段的中点，则
( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意知
.故选C.
√
［素养小结］
用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法：
（2）方程法：当直接表示比较困难时，可以先利用三角形法则或平
行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关
于所求向量的方程．
探究点四 向量共线定理及其应用
例5 设， 是不共线的两个非零向量．
（1）若，，，求证：， ，
三点共线；
证明： ，
而 ，
与共线，
又与有公共点，，， 三点共线．
（2）若与共线，求实数 的值.
解：与共线，
存在实数 ，使得，
即 .
与不共线，解得， .
变式 已知,是两个不共线的向量，且 ,
, ，则( )
A.,,三点共线 B.,, 三点共线
C.,,三点共线 D.,, 三点共线
[解析] ，
故，则，
又因为向量与 有公共点B，故A,B,D三点共线.故选A.
√
［素养小结］
1.证明或判断三点共线的方法
（1）一般来说，要判断，， 三点是否共线，只需看是否存在实
数 ，使得（或 等）．
（2）利用结论：若，，三点共线， 为直线外一点，则存在实
数，，使且 .
2.利用向量共线求参数的方法
解决判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一
的实数 ，使得.而已知向量共线求 ，常根据向量共
线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，则必有
向量的系数为零，利用待定系数法建立方程（组），从而解方程
（组）求得 的值．
拓展 如图，在中，，是 上的
一点，若，求实数 的值.
解：由题意可知，，所以 ，
又，所以.
因为， ，三点共线，所以，解得 .
1.向量数乘运算的理解
（1）向量的数乘运算，其结果是一个向量，不是实数；但实数与向
量不能进行加减运算，如， 是错误的.
（2）对任意非零向量，向量是与向量 同向的单位向量.
2.平面向量的线性运算
向量的加法、减法以及向量的数乘运算,统称为向量的线性运算,又称
为向量的初等运算,它们的运算法则在形式上很像实数的加、减法与
乘法满足的运算法则,当然向量的运算与实数的运算在具体含义上是
不同的,但是由于它们在形式上类似,因此,在实数运算中的去括号、移
项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用.
3.对平面向量共线定理的理解
（1）向量共线的条件:当时,与任意一个向量都共线;当
时,对于向量,如果有一个实数 ,使,那么与 共线.
反之,已知向量与共线且向量的长度是向量长度的 倍,
即,那么当与同方向时,;当与反方向时, .
（2）如果向量与不共线,且,那么 .
4.从数与形的角度理解向量数乘的定义：
（1）对于,从代数角度来看: 是实数, 是向量,它们的积仍然是
向量;或 .
（2）对于,从形的角度来看:①当时,有 ,
表示向量的有向线段在原方向或反方向上伸长 倍;
②当时,表示向量的有向线段在原方向 或反方向
上缩短为原来的 .
（3）实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如无法运算 ,
.
1.对向量共线定理的理解
（1）定理中不能漏掉．若，则实数 可以是任意实
数；若，，则不存在实数 ，使得 .
（2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数 ，
，使，则与共线；若两个非零向量与 不共线，且
，则必有 .
例1 （多选题）已知为非零向量，, ，则下列说法正
确的是( )
A. B.向量, 的方向相反
C. D.
[解析] 因为,，所以 ，故D正确；
由平面向量共线定理知A正确；
因为，所以与 的方向相反，故B正确；
由可知，故C错误.
故选 .
√
√
√
2.平面向量共线定理及其应用
用向量法证明三点共线时,关键是能否找到一个实数 ,使得
, 为这三点构成的其中任意两个向量).证明步骤是先证明向
量共线,然后再由两向量有公共点,证得三点共线.
解决与中点相关的问题,要注意到中点分线段为相等两段后成相反向
量这一特点,然后进行适当的变形,使问题得以解决,还要注意三角形重
心的性质的应用.
例2 在中，是 的重心. 证明：
证明：延长交于点，再延长到，使，
连接 ，
是的重心，是 的中点，
四边形 是平行四边形,
，
又, , .§3 从速度的倍数到向量的数乘
3.1 向量的数乘运算
3.2 向量的数乘与向量共线的关系
【学习目标】
1.掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,了解向量的线性运算性质及几何意义,理解两个向量共线的判定定理及性质定理.
2.在速度的倍数引导下学习数乘向量,进一步体会数学和物理学的联系.
◆ 知识点一 向量的数乘运算
1.向量的数乘的定义
实数λ与向量a的乘积是一个 ,记作 , 满足以下条件:
(1)当λ>0时,向量λa与向量a的方向 ;
当λ<0时,向量λa与向量a的方向 ;
当λ=0时,0a= ,方向 .
(2)|λa|= .
这种运算称为 .
2.向量数乘λa的几何意义
(1)当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍;
当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍.
(2)向量的单位化:在非零向量a方向上的单位向量是.
它表明一个非零向量除以它的模(乘它的模的倒数)的结果是一个与原向量同方向的单位向量,这一过程称为向量的单位化.
◆ 知识点二 数乘运算的运算律
1.设λ,μ为实数,a,b为向量,那么
(1)(λ+μ)a= ;
(2)λ(μa)= ;
(3)λ(a+b)= .
2.向量的线性运算:向量的 的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致. ( )
(2)若λa=0,则a=0. ( )
(3)对于任意实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b. ( )
◆ 知识点三 共线(平行)向量基本定理
给定一个非零向量b,则对于任意向量a,a∥b的充要条件是 一个实数λ,使 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ,使b=λa.( )
(2)若b=λa,则a与b共线. ( )
◆ 知识点四 直线l的方向向量
通常可以用=t表示过点A,B的直线l,其中称为直线l的方向向量.
◆ 探究点一 向量的数乘的概念
例1 (1)若a=-b(b≠0),则 ( )
A.a和b方向相同,|a|=2|b|
B.a和b方向相同,|b|=2|a|
C.a和b方向相反,|a|=2|b|
D.a和b方向相反,|b|=2|a|
(2)设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论中正确的是 ( )
A.a与λa方向相反 B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a方向相同 D.|λa|=|λ|a
变式 (1)若=-,则下列各等式中不成立的是 ( )
A.= B.=2
C.=- D.=
(2)若两个非零向量a与(2x-1)a的方向相同,则x的取值范围为 .
[素养小结]
对数乘运算的理解,关键是对系数λ的作用的认识:
当λ>0时,λa与a同向,模是|a|的λ倍;
当λ<0时,λa与a反向,模是|a|的-λ倍;
当λ=0时,λa=0.
◆ 探究点二 向量的数乘运算
例2 (1)(多选题)已知m,n都是实数,a,b都是向量,则下列结论中正确的为 ( )
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b
D.若ma=na,则m=n
(2)化简:①6(3a-2b)+9(-2a+b);
②-.
变式 已知向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,试用向量a,b表示向量x,y.
[素养小结]
向量数乘运算的方法:
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的数乘运算中同样适用.
(2)向量也可以通过列方程来求解,即把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
◆ 探究点三 用已知的向量表示未知的向量
例3 如图,在四边形ABCD中,已知=2.
(1)用,表示;
(2)若=2,=,用,表示.
例4 在平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示和.
变式 如图,在△ABC中,=4,P为线段CD的中点,则= ( )
A.-+
B.-+
C.-+
D.-+
[素养小结]
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法:
(2)方程法:当直接表示比较困难时,可以先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
◆ 探究点四 向量共线定理及其应用
例5 设a,b是不共线的两个非零向量.
(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C三点共线;
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.
变式 已知a,b是两个不共线的向量,且=a+5b,=-2a+8b,=3a-3b,则 ( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
[素养小结]
1.证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说,要判断A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等).
(2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点,则存在实数x,y,使=x+y且x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
解决判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,则必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程(组),从而解方程(组)求得λ的值.
拓展 如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=+,求实数m的值.
