5.2 向量数量积的坐标表示
【课前预习】
知识点
x1x2+y1y2 坐标的乘积的和 (1)x2+y2 (x2-x1,y2-y1)
(2) x1x2+y1y2=0
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× (4)×
【课中探究】
探究点一
例1 (1)C [解析] ∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.
(2)解:以A为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB=,BC=2,∴A(0,0),B(,0),C(,2),D(0,2).∵点E在边CD上,且=2,∴E,∴=,=,∴·=-+4=.
变式 (1)C [解析] 由题意可得8a-b=(6,3),∵(8a-b)·c=30,c=(3,x),∴18+3x=30,解得x=4.
(2)解:在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,所以BC2=AB2+AC2,所以AB⊥AC.以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,3),C(4,0),因为点D,E分别是边BC上靠近B,C的三等分点,所以D,E,所以=,=,所以·=·=+2=.
探究点二
例2 C [解析] ∵a=(2,1),∴a2=5,又|a+b|=5,∴(a+b)2=50,即a2+2a·b+b2=50,∴5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5.
变式 (1)D (2)1或-3 [解析] (1)依题意得a2=2,所以|a|=,a·b=×2×cos 45°=2,所以|3a+b|====.
(2)因为ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),且ka-b的模等于,所以=,化简得k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3.
探究点三
例3 (1)A (2)3 [解析] (1)因为b-c=(2,-2),所以cos
====.故选A.
(2)由题意得2a-3b=(2k-3,-6),c=(2,1),因为(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·c=4k-6-6=0,解得k=3.
变式 (1)B [解析] 因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),(m+n)⊥(m-n),所以(m+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.
(2)解:由a与b的夹角为钝角易知a·b<0,且a,b不共线,即-1+m<0且-m≠1,解得m<1且m≠-1.
探究点四
例4 解:设n⊥l,则n⊥m,连接AP,则=(-2,0).
设n=(x,y),∵n⊥m,∴x-y=0,令y=1,得x=1,
此时n=(1,1),故点P到直线l的距离d===.
变式 解:易知直线AB的方向向量为=(1,-2),连接AP,则=(2,4).设n⊥,且n=(x,y),则n·=(x,y)·(1,-2)=x-2y=0,令x=2,则y=1,此时n=(2,1).故点P(3,5)到直线AB的距离d===.5.2 向量数量积的坐标表示
1.A [解析] a·b=-x+6=3,故x=3.
2.B [解析] 设a与b的夹角为θ,由题知|a|=,|b|=,a·b=5,∴cos θ===,又θ∈[0,π],∴θ=.
3.C [解析] 因为a=(1,2),b=(2,3),所以a+b=(3,5),所以|a+b|==.故选C.
4.C [解析] 由已知得a+2b=(1,2+2t),因为(a+2b)⊥a,所以(a+2b)·a=-1+4+4t=0,解得t=-.故选C.
5.C [解析] ∵a·(b+a)=a·b+a2=2,且|a|=1,∴a·b=1.设向量a与b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|cos θ=1,∴cos θ=.又θ∈[0,π],∴θ=,即向量a与b的夹角为.故选C.
6.C [解析] 因为a=(1,),所以|a|==2.由|a-b|=,得(a-b)2=7,即a2+b2-2a·b=7,即4+9-2×2×3·cos=7,解得cos=,则=,故选C.
7.C [解析] ∵tan α=-2,∴可设P(x,-2x)(x≠0).设与的夹角为θ,则cos θ==.当x>0时,cos θ=;当x<0时,cos θ=-.故cos θ=±,故选C.
8.AC [解析] 由a=(2,1),可得|a|=,所以A正确;由a=(2,1),b=(-2,4),可得a+b=,因为2×2-1×≠0,所以a与a+b不共线,所以B错误;因为a·b=2×(-2)+1×4=0,所以a⊥b,故C正确;由a=(2,1),b=(-2,4),可得2×4-1×(-2)≠0,故a与b不共线,所以|a+b|≠|a|+|b|,故D错误.故选AC.
9.AD [解析] 不妨设A(2x,2y),B(-1,0),C(1,0),D(0,0),E(x,y).①=(-1-2x,-2y),=(x-1,y),若·=0,则-(2x+1)(x-1)-2y2=0,∴可知满足条件的(x,y)存在,如,∴①成立.②设F为AB的中点,则+=2,CF与AD的交点为△ABC的重心G,可得G为AD的三等分点,又E为AD的中点,∴与不共线,即②不成立.故选AD.
10. [解析] 由题得=(1,2),=(m,0)(m>0),所以||=,||=m,·=m,所以cos<,>===.
11.(,2)或(-,-2) [解析] 设a=(x,y),因为|a|=,b=(1,2),且a∥b,所以解得或所以a=(,2)或a=(-,-2).
12.- [解析] 在Rt△ABC中,AB=2,AC=1,∠ACB=90°,则BC=.以C为坐标原点,,的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,1),B(,0),所以重心G,所以=,=,所以·=·=-.
13.解:(1)因为a=(1,2),b=(3,-2),所以a-b=(-2,4),
所以|a-b|==2.
(2)因为a=(1,2),|c|=,(2a+c)⊥c,
所以|a|=,(2a+c)·c=0,所以2a·c+c2=0,
所以2|a||c|cos+|c|2=0,即2×××cos+10=0,所以cos=-.
因为∈[0,π],所以向量a与向量c的夹角为.
14.解:(1)向量a在向量b上的投影向量为·==(-1,2)=.
(2)因为向量a+b与向量mc+b的夹角为锐角,所以(a+b)·(mc+b)=(2,4)·(4m-1,m+2)=2×(4m-1)+4(m+2)=12m+6>0,解得m>-.若向量(a+b)∥(mc+b),则2(m+2)=4(4m-1),解得m=,经验证此时满足同向共线.所以m>-且m≠.
15.A [解析] 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),G(0,1),E(2,1),F(1,2),设P(x,y),则=(x,y-1),=(x,y),设=λ(λ∈[0,1]),则(x-1,y-2)=λ(1,-1),所以所以x-1=-(y-2),即y=3-x,所以·=x2+y(y-1)=x2+(3-x)(2-x)=2x2-5x+6=2+.又x=1+λ∈[1,2],所以当x=时,·取得最小值.故选A.
16.解:(1)设=(x,y),∵Q在直线OP上,∴向量与共线.∵=(2,1),∴x-2y=0,∴x=2y,∴=(2y,y).∵=-=(1-2y,7-y),=-=(5-2y,1-y),∴·=(1-2y,7-y)·(5-2y,1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8.
故当y=2时,·取得最小值-8,此时=(4,2).
(2)由(1)知=(-3,5),=(1,-1),·=-8,∴||=,||=,
∴cos∠AQB===-.5.2 向量数量积的坐标表示
【学习目标】
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件,会处理有关长度、角度和垂直等问题.
◆ 知识点 平面向量数量积的坐标表示
已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= ,即两个向量的数量积等于它们对应 .
结论:
(1)设a=(x,y),则|a|2= ,|a|= .
如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),那么a= ,|a|=||= .
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2), a与b的夹角为θ,则cos θ== (|a||b|≠0).
特别地,a⊥b a·b=0 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若A(1,0),B(0,-1),则||=. ( )
(2)已知向量a=(4,-1),b=(x,3),若|a|=|b|,则x=2. ( )
(3)设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1x2+y1y2>0,则这两个向量的夹角θ一定是锐角.( )
(4)已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若x1y2-x2y1=0,则向量a与b的夹角为0°. ( )
◆ 探究点一 向量数量积的坐标运算
例1 (1)已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= ( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
(2)如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E在边CD上,且=2,求·的值.
变式 (1)已知a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),若(8a-b)·c=30,则x= ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
(2)在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,点D,E分别是边BC上靠近B,C的三等分点,求·的值.
[素养小结]
向量数量积的坐标运算的技巧
(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系式:
①|a|2=a·a;
②(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;
③(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
(2)在平面几何图形中求数量积,若几何图形是规则的且易建系,则可先建立坐标系,写出相关向量的坐标,再求数量积.
◆ 探究点二 向量模的问题
例2 已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于 ( )
A. B. C.5 D.25
变式 (1)若平面向量a与b的夹角为45°,a=(1,1),|b|=2,则|3a+b|等于 ( )
A.13+6 B.2
C. D.
(2)设平面向量a=(1,1),b=(0,-2),若ka-b的模等于,则k= .
[素养小结]
求向量的模的两种基本策略
(1)坐标法:若向量a是以坐标形式出现的,即a=(x,y),则求向量a的模可直接利用公式|a|=.
(2)常规平方法:若向量a,b不是以坐标形式出现的,则先通过向量数量积的运算求向量模的平方,再开方求得向量的模.常用的求向量的模的公式:|a|2=a2=a·a,|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2.
◆ 探究点三 向量的夹角和垂直问题
例3 (1)[2024·海口海南中学高一月考] 已知向量a=(3,1),b=(3,2),c=(1,4),则cos= ( )
A. B.- C. D.
(2)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k= .
变式 (1)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ等于 ( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
(2)已知向量a=(-1,1),b=(1,m),a与b的夹角为钝角,求实数m的取值范围.
[素养小结]
1.解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)若题目条件没有涉及向量的坐标,而给出了a·b以及|a|,|b|等条件,则利用公式cos θ=求出cos θ.
(2)若题目条件涉及向量的坐标,则利用公式cos θ=求出cos θ.
(3)无论是上述哪种类型,由三角函数值cos θ求角θ时,都应注意角θ的取值范围是[0,π].
2.由垂直关系求参数的策略
已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值,应根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.
◆ 探究点四 点到直线的距离
例4 已知点A(1,2),向量m=(1,-1),过点A作以向量m为方向向量的直线l,求点P(-1,2)到直线l的距离.
变式 已知点A(1,1),B(2,-1),求点P(3,5)到直线AB的距离.
[素养小结]
求直线外一点P到直线l的距离的一般步骤:
设A是直线l上一点,m是l的方向向量.
(1)设一个向量n=(x,y)与直线l垂直,即n⊥m,利用n·m=0得到x,y的一组解.
(2)利用公式d=求得点P到直线l的距离.5.2 向量数量积的坐标表示
一、选择题
1.若向量a=(x,2),b=(-1,3),a·b=3,则x等于 ( )
A.3 B.-3
C. D.-
2.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
3.[2024·浙江绍兴柯桥区高一期末] 已知向量a=(1,2),b=(2,3),则|a+b|= ( )
A.3 B.5
C. D.3
4.[2024·山东聊城颐中外国语学校高一月考] 已知向量a=(-1,2),b=(1,t),若(a+2b)⊥a,则实数t= ( )
A. B.
C.- D.-1
5.若向量a=(1,0),|b|=2,a·(b+a)=2,则向量a与b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
6.已知平面向量a与b,若a=(1,),|a-b|=,|b|=3,则a与b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
7.已知角α的顶点为坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,点P在角α的终边上,点Q(-3,-4),若tan α=-2,则与的夹角的余弦值为 ( )
A.- B.
C.或- D.或-
8.(多选题)[2024·河南三门峡二中高一月考] 已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则 ( )
A.|a|=
B.a∥
C.a⊥b
D.|a+b|=|a|+|b|
9.(多选题)[2024·重庆荣昌中学高一月考] 在△ABC中,D为边BC的中点,E为AD的中点,给出以下结论:①存在△ABC,使得·=0;②存在△ABC,使得∥(+),则 ( )
A.①成立 B.①不成立
C.②成立 D.②不成立
二、填空题
10.已知点O(0,0),A(1,2),B(m,0)(m>0),则cos<,>= .
11.已知|a|=,b=(1,2),且a∥b,则向量a的坐标为 .
12.在△ABC中,G是△ABC的重心,边AB,AC的长分别为2,1,∠ACB=90°,则·= .
三、解答题
13.已知向量a=(1,2),b=(3,-2).
(1)求|a-b|;
(2)已知|c|=,且(2a+c)⊥c,求向量a与向量c的夹角.
14.已知向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求向量a在向量b上的投影向量的坐标;
(2)若向量a+b与向量mc+b的夹角为锐角,求实数m的取值范围.
15.[2024·海南文昌中学高一月考] 如图所示,正方形ABCD的边长为2,点E,F,G分别是边BC,CD,AD的中点,点P是线段EF上的动点,则·的最小值为 ( )
A. B.3
C. D.48
16.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1),其中O为坐标原点,点Q为直线OP上的一个动点.
(1)当·取最小值时,求的坐标;
(2)当点Q满足(1)的条件和结论时,求cos∠AQB的值.(共33张PPT)
从力的做功到向量的数量积
5.2 向量数量积的坐标表示
探究点一 向量数量积的坐标运算
探究点二 向量模的问题
探究点三 向量的夹角和垂直问题
探究点四 点到直线的距离
【学习目标】
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件,会处理有关长度、角度和
垂直等问题.
知识点 平面向量数量积的坐标表示
已知向量,,则 ____________,即两个向
量的数量积等于它们对应________________.
坐标的乘积的和
结论：
（1）设,则________, __________.
如果表示向量的有向线段的起点和终点分别为 ,
,那么________________,
_______________________.
（2）设,,与的夹角为 ,则
_ _____________ .
特别地， _______________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若,,则 .( )
√
（2）已知向量,,若,则 .( )
×
（3）设向量,,若 ,则这两个向
量的夹角 一定是锐角.( )
×
（4）已知两个非零向量,,若 ,
则向量与的夹角为 .( )
×
探究点一 向量数量积的坐标运算
例1（1） 已知向量，，则
( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] ， ，
.
√
（2）如图所示，在矩形中，，，点在边
上，且，求 的值.
解：以为原点，的方向为轴正方向， 的方向
为 轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系．
，，
， ，，
点在边上，且 ，
，， ，
.
变式（1） 已知,,,若 ,则
( )
A.6 B.5 C.4 D.3
[解析] 由题意可得,
, ,,解得 .
√
（2）在中，，，，点，分别是边
上靠近，的三等分点，求 的值.
解：在中，，， ，
所以,所以.
以 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则,,,因为点，分别是边
上靠近，的三等分点，所以, ,
所以,,所以 .
［素养小结］
向量数量积的坐标运算的技巧
（1）进行数量积运算时，要正确使用公式 ，并
能灵活运用以下几个关系式：
① ；
② ；
③ .
（2）在平面几何图形中求数量积，若几何图形是规则的且易建系，
则可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．
探究点二 向量模的问题
例2 已知向量，，，则 等于
( )
A. B. C.5 D.25
[解析] ，，
又， ，即，
， ， .
√
变式（1） 若平面向量与的夹角为 ，， ，则
等于( )
A. B. C. D.
[解析] 依题意得，所以, ，
所以
.
√
（2）设平面向量,，若的模等于 ，则
________.
1或
[解析] 因为，且 的模
等于，所以，化简得 ，解
得或 .
［素养小结］
求向量的模的两种基本策略
（1）坐标法：若向量是以坐标形式出现的，即 ，则求向
量的模可直接利用公式 .
（2）常规平方法：若向量， 不是以坐标形式出现的，则先通过向
量数量积的运算求向量模的平方，再开方求得向量的模．常用的求
向量的模的公式：| ，
.
探究点三 向量的夹角和垂直问题
例3（1） [2024·海口海南中学高一月考]已知向量 ，
，，则, ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，
所以 , .故选A.
√
（2）已知向量,,，且 ，则
实数 ___.
3
[解析] 由题意得, ，
因为，所以，解得 .
变式（1） 已知向量, ,若
,则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为, , ,
所以 ,
解得 .
√
（2）已知向量，，与 的夹角为钝角，求实
数 的取值范围.
解：由与的夹角为钝角易知，且, 不共线，
即且，解得且 .
［素养小结］
1.解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）若题目条件没有涉及向量的坐标，而给出了以及，
等条件，则利用公式求出 .
（2）若题目条件涉及向量的坐标，则利用公式
求出 .
（3）无论是上述哪种类型，由三角函数值 求角 时，都应注
意角 的取值范围是 ．
2.由垂直关系求参数的策略
已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值，应根据两个向量垂
直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
探究点四 点到直线的距离
例4 已知点，向量，过点作以向量 为方向向量
的直线，求点到直线 的距离.
解：设，则，连接，则 .
设，，，
令，得 ，此时，
故点到直线 的距离 .
解：易知直线的方向向量为，连接 ,则.
设，且 ,则，
令，则 ，此时.
故点到直线 的距离 .
变式 已知点,,求点到直线 的距离.
［素养小结］
求直线外一点到直线 的距离的一般步骤：
设是直线上一点，是 的方向向量.
（1）设一个向量与直线垂直，即，利用
得到, 的一组解.
（2）利用公式求得点到直线 的距离.
1.向量模的坐标运算的实质
向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点间的距
离,如,则在平面直角坐标系中,一定存在 ,使
,则,即表示点 到原点的距
离.同样,若,,则 ,即
平面直角坐标系中任意两点间的距离公式,由此可见,向量模的运算的
实质是求平面直角坐标系中两点间的距离.
2.利用平面向量数量积的坐标表示模、夹角容易忽略的几个问题
①向量垂直的坐标表示 与向量共线的坐标表示
易记错、易混淆,要通过前后联系,类比记忆.②两向量
夹角的范围容易忽略,要联系平面几何中两射线的夹角范围去对比记
忆.③两向量的数量积和数的乘法容易混淆,如非零向量,, 一般不满
足 .
1.求向量数量积的运算的常用方法
进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题
时通常有两种途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;
二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算.
2.用向量数量积的坐标表示解决垂直问题
利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质与利用定义解决垂
直问题一致,利用坐标表示把垂直条件代数化,因此判定方法更简捷、
运算更直接,体现了向量问题代数化的思想.
例1 已知向量，，是同一平面内的三个向量，其中 .
（1）若，且，求向量 的坐标；
解：,且,,
设 , ,得 ,
故或 .
（2）若是单位向量，且，求与的夹角 的大小.
解：,且 ,
,即， ,
故 ,
, .
3.利用数量积求两向量夹角的步骤
设,都是非零向量,,, 是, 的夹角.
（1）由公式直接求出 的值.
（2）在 内,由 的值求角 .
例2 [2024·河南郑州外国语学校高一月考]已知向量 ,
，则, 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,，所以，
则 , ，故选C.
√