§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
【课前预习】
知识点一
1.不共线 λ1e1+λ2e2 2.不共线
知识点二
1.互相垂直 3.单位
诊断分析
(1)× (2)× (3)× (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)D [解析] (1)由平面向量基本定理可知,①中说法正确.对于②,由平面向量基本定理可知,若基确定,则同一平面内任意一个向量在此基下的线性表示是唯一的,②中说法不正确.对于③,取λ1=λ2=0,此时μ1e2与μ2e2共线,但无意义,③中说法不正确.故选B.
(2)对于A,2e2-e1=2,则2e2-e1与e2-e1共线,故2e2-e1和e2-e1不能构成平面向量的一组基,A错误;对于B,6e2-3e1=-3(e1-2e2),则e1-2e2与6e2-3e1共线,故e1-2e2和6e2-3e1不能构成平面向量的一组基,B错误;对于C,2e2-e1=-3,则2e2-e1与-e2+e1共线,故2e2-e1和-e2+e1不能构成平面向量的一组基,C错误;对于D,≠,则e1+e2与e1-e2不共线,故e1+e2和e1-e2能构成平面向量的一组基,D正确.故选D.
探究点二
例2 解:∵ ABCD的对角线AC和BD交于点O,=a,=b,∴=-=-a,
∴=-=-a-b,==-=b-a.
故=-a-b,=b-a.
变式 (1)b-a (2)C [解析] (1)在四边形ADMN中,∵+++=0,即b+a++=0,∴=b-a.
(2)因为=+=+=+(-)=+=-+,所以λ=-,μ=,故λ+μ=.故选C.
探究点三
例3 解:设=e1,=e2,
则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ使得=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.
故=+=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又=+=2e1+3e2,∴由平面向量基本定理,
得解得
∴=,=,∴=4,=.
变式 证明:设D,E,F分别是△ABC的三边BC,AC,AB的中点,连接AD,BE,CF,令=a,=b,选取{a,b}为△ABC所在平面的一组基,则=a-b,=a-b,=-a+b.
设AD与BE交于点G1,且=λ,=μ,λ,μ∈R,则有=λa-b,=-a+μb.
∵=+=a+(μ-1)b,
∴解得λ=μ=,∴=a-b.
设AD与CF交于点G2,同理可得=a-b.
设BE与CF交于点G3,同理可得=a-b.
∴点G1,G2,G3三点重合,即AD,BE,CF交于一点,
∴三角形的三条边的中线交于一点.§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
1.D [解析] 对于A, 因为e1-e2=-(e2-e1),所以e1-e2与e2-e1共线,所以e1-e2,e2-e1不能作为这个平面所有向量的一组基;对于B,因为2e1-e2=2,所以2e1-e2与e1-e2共线,所以2e1-e2,e1-e2不能作为这个平面所有向量的一组基;对于C,因为2e2-3e1=-(6e1-4e2),所以2e2-3e1与6e1-4e2共线,所以2e2-3e1,6e1-4e2不能作为这个平面所有向量的一组基;对于D,e1+e2与e1+3e2不共线,所以e1+e2,e1+3e2能作为这个平面所有向量的一组基.故选D.
2.C [解析] 由题图易知a-b=e1-3e2.
3.A [解析] 如图,因为=2,所以-=2(-),即-c=2(b-),所以=b+c.故选A.
4.C [解析] 因为=m,所以-=m(-),故=.故选C.
5.C [解析] 由题可知,=+=-+=-+(+)=-++=-.故选C.
6.A [解析] 假设a与b共线,则存在实数μ使a=μb,即e1+2e2=μ(λe1+e2),所以解得因为{a,b}是某个平面内所有向量的一组基,所以a与b不共线,所以实数λ的取值范围是∪.故选A.
7.C [解析] ∵E为边BC 的中点,∴=,又=++=-+,∴===-+,则=+=+.又=x+y,,不共线,∴x=,y=,则3x-2y=1,故选C.
8.BC [解析] 对于A,=-=b-a,A错误;对于B,=+=b+=a+b,B正确;对于C,=-=+-=+-=+-=-a+b,C正确;对于D,=(+)==a+b,D错误.故选BC.
9.ACD [解析] 对于A,=+=+=+(-)=+,故A正确;对于B,假设M,B,C三点共线,则存在实数λ使=λ,即-=λ(-),整理得=-λ+(1+λ),当λ=-2时,=2-,与=2-3矛盾,所以M,B,C三点不共线,故B错误;如图,取BC的中点H,连接AH,若点M是△ABC的重心,则点M在线段AH上,且MA=2MH,则=2,又+=2,所以++=0,故C正确;对于D,因为=x+y,且x+y=,所以3=3x+3y,其中3x+3y=1,不妨设=3,则点Q在直线BC上,因为△MBC与△ABC有一边重合,且MQ∶AQ=2∶3,所以S△MBC∶S△ABC=MQ∶AQ=2∶3,所以△MBC的面积是△ABC面积的,故D正确.故选ACD.
10.a-b [解析] 由2x+3y=a,3x-2y=b,可得y=a-b.
11.- [解析] 因为e1,e2是不共线的向量,所以e1,e2可以构成平面向量的一组基.因为=e1+λe2,=e1+e2,=3e1-2e2,所以=-=(e1+e2)-(3e1-2e2)=-2e1+3e2,又因为A,B,D三点共线,所以∥,所以-2λ=1×3,解得λ=-.
12. [解析] 根据题意得=+=+=+(+)=+=++=+--=-.又因为=λ+μ,,不共线,所以λ=,μ=-,则λ+μ=+=.
13.解:如图,作平行四边形ODCE,使A,B分别在边OD,OE上,OC为其对角线,
则=+.
由题意得∠COE=120°-30°=90°,∴∠OCD=90°.
在Rt△OCD中,∵||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,∴||=4,||=2,故=4,=2,
即λ=4,μ=2,∴λ+μ=6.
14.解:(1)∵=-=c-a,
∴==(c-a),∴=(+)=+=-a+(c-a)=c-a.
(2)设=λ,∴=+=+λ=a+λ(c-a)=(1-λ)a+λc.
又=a+c,∴λ=,∴=,
∴AF∶CF=4∶1.
15.3 [解析] 设=a,=b,连接OG,由题意知=×(+)=(a+b),=-=nb-ma,=-=a+b.由P,G,Q三点共线,得存在实数λ使得=λ,即nb-ma=λa+λb,可得消去λ,得+=3.
16.解:(1)因为2=,所以2(-)=-,
即3=2+,
所以=+=a+b.
(2)由=λ,=μ,得=λ,=μ,
所以-=λ(-),即=(1-λ)+λ=4(1-λ)+λμ=4(1-λ)a+λμb.
因为=a+b,所以4(1-λ)=,λμ=,
所以λ=,μ=.§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
【学习目标】
了解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单数学问题.
◆ 知识点一 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果e1和e2是同一平面内两个 的向量,那么对该平面内任意一个向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a= .
2.基:把 的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基,记为{e1,e2}.
◆ 知识点二 正交基、正交分解及标准正交基
1.若基中的两个向量 ,则称这组基为正交基.
2.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
3.若基中的两个向量是互相垂直的 向量,则称这组基为标准正交基.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基. ( )
(2)零向量可以作为基中的向量. ( )
(3)平面向量基本定理中基的选取是唯一的.( )
(4)平面内的基一旦确定,该平面内的向量关于基的线性分解形式也就唯一确定. ( )
◆ 探究点一 对平面向量基本定理的理解
例1 (1)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是 ( )
①a=λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量;
②对于平面α内任意一个向量a,使a=λe1+μe2成立的实数对(λ,μ)有无穷多个;
③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则=.
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
(2)[2024·山东威海一中高一月考] 设{e1,e2}是平面向量的一组基,以下四组向量中可以构成平面向量的一组基的是 ( )
A.2e2-e1和e2-e1
B.e1-2e2和6e2-3e1
C.2e2-e1和-e2+e1
D.e1+e2和e1-e2
[素养小结]
考查两个向量是否能构成基,主要看这两向量是否非零且不共线.此外,一个平面的基一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来.
◆ 探究点二 用基表示平面内的向量
例2 如图, ABCD的对角线AC和BD交于点O,设=a,=b,试用a,b表示和.
变式 (1)如图所示,四边形ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,已知=a,=b,则= .(用a,b表示)
(2)[2024·江苏连云港高一期末] 如图,在△ABC中,D为AB的中点,=,若=λ+μ,则λ+μ= ( )
A.- B.- C. D.
[素养小结]
将两个不共线的向量作为平面的一组基表示该平面内其他向量的基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对向量不断进行转化,直至能用基表示为止;另一种是通过列方程或方程组的形式,利用基表示向量的唯一性求解.
◆ 探究点三 平面向量基本定理的应用
例3 如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求与的值.
变式 用向量法证明三角形的三条边的中线交于一点.
[素养小结]
平面向量基本定理唯一性的应用
设a,b是同一平面内的两个不共线向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,则§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
一、选择题
1.若{e1,e2}是某个平面内所有向量的一组基,则下列四组向量中,能作为这个平面所有向量的一组基的是 ( )
A.e1-e2,e2-e1
B.2e1-e2,e1-e2
C.2e2-3e1,6e1-4e2
D.e1+e2,e1+3e2
2.如图所示,网格纸中的小四边形为正方形,用向量e1,e2表示向量a-b为 ( )
A.-4e1-2e2
B.-2e1-4e2
C.e1-3e2
D.3e1-e2
3.[2024·山东青岛平度一中高一月考] 在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则在基下,= ( )
A.b+c B.b-c
C.b-c D.b+c
4.设直线上三点A,B,P满足=m(m≠-1),O是任意一点,则用,表示为 ( )
A.=+m
B.=m+(1-m)
C.=
D.=+
5.如图,在平行四边形ABCD中,E是边BC的中点,F是线段AE上靠近点A的三等分点,则等于 ( )
A.-+ B.-
C.- D.-
6.已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且{a,b}是某个平面内所有向量的一组基,则实数λ的取值范围是 ( )
A.∪
B.
C.
D.
7.如图所示,在四边形ABCD中,=,E为边BC的中点,且=x+y,则3x-2y= ( )
A. B.
C.1 D.2
8.(多选题)[2024·江西金溪一中高一月考] 如图,在四边形ABCD中,=3,点M满足=2,N是BC的中点.设=a,=b,选择基{a,b},则下列结论正确的是 ( )
A.=a-b B.=a+b
C.=-a+b D.=a+b
9.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 ( )
A.若=,则=+
B.若=2-3,则M,B,C三点共线
C.若点M是△ABC的重心,则++=0
D.若=x+y且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
二、填空题
10.已知{a,b}是平面向量的一组基,若向量x,y满足2x+3y=a,3x-2y=b,则在基{a,b}下,向量y= .
11.[2024·江西宜春宜丰中学高一月考] 设e1,e2是不共线的向量,若=e1+λe2,=e1+e2,=3e1-2e2,A,B,D三点共线,则λ的值为 .
12.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,=,=2,若=λ+μ,则λ+μ= .
三、解答题
13.如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.
14.如图,在△ABC中,点D是AC的中点,点E是BD的中点,设=a,=c.
(1)用a,c表示向量;
(2)若点F在AC上,且=a+c,求AF∶CF.
15.如图,经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,n∈R,则+的值为 .
16.如图所示,在△ABC中,F为BC边上一点,2=,设=a,=b.
(1)用向量a,b表示;
(2)延长AB至D,且3=,连接DF并延长,交AC于点E,若=λ,=μ,求λ和μ的值.(共28张PPT)
平面向量基本定理及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
探究点一 对平面向量基本定理的理解
探究点二 用基表示平面内的向量
探究点三 平面向量基本定理的应用
【学习目标】
了解平面向量基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简
单数学问题.
知识点一 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果和 是同一平面内两个________的向量,
那么对该平面内任意一个向量,存在唯一的一对实数,,使
____________.
不共线
2.基:把________的向量和 叫作表示这一平面向量的一组基，记
为, .
不共线
知识点二 正交基、正交分解及标准正交基
1.若基中的两个向量__________，则称这组基为正交基.
互相垂直
2.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
3.若基中的两个向量是互相垂直的______向量，则称这组基为标准正
交基.
单位
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基.( )
×
（2）零向量可以作为基中的向量.( )
×
（3）平面向量基本定理中基的选取是唯一的.( )
×
（4）平面内的基一旦确定,该平面内的向量关于基的线性分解形式也
就唯一确定.( )
√
探究点一 对平面向量基本定理的理解
例1（1） 如果,是平面 内两个不共线的向量,那么下列说法中
不正确的是( )
①可以表示平面 内的所有向量;
②对于平面 内任意一个向量,使成立的实数对
有无穷多个;
③若向量与共线,则 .
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
√
[解析] 由平面向量基本定理可知,①中说法正确.
对于②,由平面向量基本定理可知,若基确定,则同一平面内任意一个向
量在此基下的线性表示是唯一的,②中说法不正确.
对于③,取，此时 与共线，但 无意义，
③中说法不正确.
故选B.
（2）[2024·山东威海一中高一月考]设{， 是平面向量的一组基，
以下四组向量中可以构成平面向量的一组基的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
√
[解析] 对于A,，则与 共线，
故和 不能构成平面向量的一组基，A错误；
对于B, ，则与 共线，
故和 不能构成平面向量的一组基，B错误；
对于C, ，则与 共线，
故和 不能构成平面向量的一组基，C错误；
对于D, ，则与不共线，故和 能构
成平面向量的一组基，D正确.
故选D.
［素养小结］
考查两个向量是否能构成基,主要看这两向量是否非零且不共线.此外,
一个平面的基一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯
一线性表示出来.
探究点二 用基表示平面内的向量
例2 如图，的对角线和交于点 ,
设,，试用,表示和 .
解：的对角线和交于点 ,
,, ,
, .
故, .
变式（1） 如图所示,四边形 是一个梯形,
,且,,分别是和 的中点,
已知,,则 ________.
（用, 表示）
[解析] 在四边形中, ,
即, .
（2）[2024·江苏连云港高一期末]如图，在
中，为的中点， ，若
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,所以，,故 .故选C.
√
［素养小结］
将两个不共线的向量作为平面的一组基表示该平面内其他向量的基
本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对向量不断进行转化,
直至能用基表示为止;另一种是通过列方程或方程组的形式,利用基表
示向量的唯一性求解.
探究点三 平面向量基本定理的应用
例3 如图，在中，点是的中点，点在 上，且
，与相交于点，求与 的值．
解：设， ，则 ，
.，，和，，分别共线，
, 使得, .
故 .
又， 由平面向量基本定理，
得解得
，，， .
变式 用向量法证明三角形的三条边的中线交于一点.
证明:设,,分别是的三边,,的中点,连接,, ,
令,,选取,}为 所在平面的一组基,
则,, .
设与交于点,且,, , ,
则有, .
解得, .
设与交于点,同理可得 .
设与交于点,同理可得 .
点,，三点重合,即,, 交于一点,
三角形的三条边的中线交于一点.
［素养小结］
平面向量基本定理唯一性的应用
设,是同一平面内的两个不共线向量,若 ,则
1.对平面向量基本定理的理解
（1）基不共线.
（2）基不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基.
同一非零向量在不同基下的分解式是不同的.
（3）当基给定时,分解形式唯一，即中,是被 ,
, 唯一确定的数值.
（4）,是同一平面内所有向量的一组基,，则当
与共线时,;当与共线时,;当时, .
（5）由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基中的
向量.
2.向量的正交分解的实质
向量的正交分解是平面向量分解中常见的一种情形,也是一种特殊情
形,即基, }中是两个互相垂直向量的情形.
平面向量基本定理的应用
应用平面向量基本定理解决平面几何问题时,关键是选取不共线的一
组向量作为基,利用这组基先把相关量表示出来,再解决问题.
例 如图所示，在中， ，
，与交于点.过点的直线 与
，分别交于点， .
（1）试用，表示向量 ；
解：由，，三点共线可得存在实数 使得
，
又，故 .
由，，三点共线可得存在实数 使得
，
又，故 .
由题意得，不共线，
则 解得
故 .
（2）设，，求证： 是定值.
证明：由，， 三点共线，
可设 ，
由， ，得 ，
由（1）知，，则
即
所以 ，
所以 是定值.
