4.2 平面向量及运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算和数乘运算.
3.能用坐标表示平面向量共线的条件.
◆ 知识点一 平面向量的坐标表示
1.平面向量的坐标表示
如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作=a(通常称为位置向量).由平面向量基本定理可知,有且仅有一对实数x,y,使=xi+yj,因此,a=xi+yj,我们把 称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a= .
2.特殊向量的坐标:i= ,j= ,0= .
3.向量的坐标与点的坐标的关系
在平面直角坐标系中,点P的位置被它的位置向量所唯一确定,设点P的坐标为(x,y),容易看出=xi+yj=(x,y), 即点P的位置向量的坐标 也就是点P的坐标;反之,点P在平面直角坐标系中的坐标也是点P所决定的位置向量的坐标.每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相等向量的坐标相同,且与向量的起点、终点无关. ( )
(2)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标. ( )
(3)在平面直角坐标系中,任意一个向量m的坐标都是唯一的. ( )
◆ 知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表:
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 a+b=
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 a-b=
数乘 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积 λa=
重要结论:一个向量的坐标等于其 的坐标减去 的坐标,即设A(xA,yA),B(xB,yB),则=(xB-xA,yB-yA).
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量=(1,2),=(3,4),则=(4,6). ( )
(2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关. ( )
(3)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则a-b=(3,3). ( )
(4)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),则3a=(-3,6),2a+3b=(7,-11).( )
◆ 知识点三 平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则向量a,b(b≠0)共线的充要条件是 .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则=. ( )
(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且x1y1-x2y2=0,则a∥b. ( )
(3)向量(2,3)与向量(-4,-6)方向相反. ( )
◆ 探究点一 平面向量的正交分解及坐标表示
例1 (1)如图,向量a,b,c在标准正交基{i,j}下的坐标分别是 , , .
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.四边形OABC为平行四边形.
①求向量a,b的坐标;
②求向量的坐标.
变式 在平面直角坐标系xOy中,|a|=2,|b|=|c|=3,向量a,b,c的方向如图所示,求a,b,c的坐标.
[素养小结]
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个向量的坐标时,可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
(2)求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
◆ 探究点二 平面向量的坐标运算
例2 已知a=(-1,2),b=(2,1),求下列向量的坐标.
(1)2a+3b;(2)a-3b;(3)a-b.
变式 (1)[2024·山东枣庄滕州一中高一月考] 在平行四边形ABCD中,若=(2,4),=(1,3),则= ( )
A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)
(2)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c的坐标是( )
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(-4,6) D.(4,-6)
◆ 探究点三 平面向量平行的坐标表示
例3 (1)已知向量a=(1,3),b=(m,4),且b∥(a-2b),则m的值为 ( )
A. B. C.- D.-
(2)已知平面内的三点A(2,3),B(-1,m),C(-7,n),若A,B,C三点共线,则3m-n= ( )
A.6 B.-6 C.3 D.-3
变式 (1)[2024·山东聊城颐中外国语学校高一月考] 已知向量a=(1,-2),b=(3,4),若(3a-b)∥(a+kb),则实数k= .
(2)[2024·青海海东高一期中] 已知向量=(2,3),=(2m,5),=(3,-1),若A,B,D三点共线,则m= .
[素养小结]
1.向量共线的判定方法:
(1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0判定.
2.三点共线判断方法:
(1)A,B,C三点共线问题转化为与的共线问题,可利用向量共线的条件求解.
(2)利用向量平行证明三点共线时需分两步完成:
①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.4.2 平面向量及运算的坐标表示
1.C [解析] 设B(x,y),则=(x-3,y-2)=(2,3),解得x=5,y=5,∴B(5,5).故选C.
2.A [解析] b=(3,2)-2(1,2)=(3,2)-(2,4)=(1,-2),故选A.
3.D [解析] 选项A中,2×-(-1)×1≠0,则a与b不共线;同理,选项B,C中的两向量不共线;选项D中,2×6-(-3)×(-4)=0,则g∥h.故选D.
4.A [解析] 由题图可知{e1,e2}为标准正交基,a=c=e1+2e2,b=e1-2e2,所以a=c=(1,2),b=(1,-2),所以a+b-c=b=(1,-2).
5.D [解析] ∵表示向量4a,2(a-c),4b-2c,d的有向线段首尾相接能构成四边形,∴d=-[4a+2(a-c)+4b-2c]=-(6a+4b-4c)=-[6(1,-2)+4(-2,4)-4(-1,-2)]=-(2,12)=(-2,-12).故选D.
6.C [解析] 由已知得a+3b=(9,2-6λ),a-b=(-7,2+2λ),∵(a+3b)∥(a-b),∴9(2+2λ)-(-7)(2-6λ)=0,解得λ=.故选C.
7.A [解析] =(-3,m+1),=(-1,m-1),由题知A,B,C不共线,即,不共线,则-(m+1)≠-3(m-1),解得m≠2,即m的取值集合为{m|m≠2}.故选A.
8.ACD [解析] 设点D的坐标为(x,y).
①当平行四边形为 ABCD时,=,则(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y),所以解得所以D(0,-1);
②当平行四边形为 ABDC时,同理可得D(2,-3);
③当平行四边形为 ADBC时,同理可得D(6,15).综上可知,点D的坐标为(0,-1)或(2,-3)或(6,15).故选ACD.
9.AC [解析] 对于A,+=-+-=-=(λ,1)-(1,μ)=(λ-1,1-μ),A选项正确;对于B,若∥,则λ·μ=1,故可取λ=3,μ=,B选项错误;对于C,若A是线段BD的中点,则=-,即(λ,1)=(-1,-μ),可得λ=μ=-1,所以==(-1,1),所以B,C两点重合,C选项正确;对于D,因为B,C,D三点共线,所以∥,又=-=(-1,1)-(λ,1)=(-1-λ,0),=-=(1-λ,μ-1),所以(-1-λ)×(μ-1)=0×(1-λ),可得λ=-1或μ=1,所以D选项错误.故选AC.
10.(10,3) [解析] 由向量=(2,3),=(6,-3),得=2(2,3)+(6,-3)=(10,3),又点O的坐标为(0,0),所以点P的坐标为(10,3).
11.(-1,1) [解析] 因为向量a与b的方向相反,且|b|=|a|,所以b是a的相反向量,所以b=-a=-(1,-1)=(-1,1).
12.2 [解析] 因为向量a=(m,1),b=(4-n,2),且a∥b,所以2m-1×(4-n)=0,即2m+n=4.又因为m>0,n>0,所以+=×=×≥×=×(4+4)=2,当且仅当n=2m=2时取等号,所以+的最小值为2.
13.解:(1)由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1).
因为A,B,C三点共线,所以∥,
所以2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.
(2)因为=2,所以(a-1,b-1)=2(2,-2).
由解得
所以点C的坐标为(5,-3).
14.解:(1)2a+b=2(2,3)+(1,4)=(5,10).
因为3a-2b=3(2,3)-2(1,4)=(4,1),
所以|3a-2b|==.
(2)λa+c=λ(2,3)+(4,λ)=(2λ+4,4λ),a+b=(2,3)+(1,4)=(3,7).因为向量λa+c与a+b平行,所以7(2λ+4)=3×4λ,解得λ=-14.
15.A [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系.不妨设AB=1,BE=x,则AE=2x,∴x2+4x2=1,得x=.设∠BAE=θ,则sin θ=,cos θ=,∴xE=cos θ=,yE=sin θ=.设=m+n,则=m(1,0)+n(0,1),∴m=,n=,∴=a+b,故选A.
16.解:由a=2b,知
∴∴==2-.
∵-sin2α+2sin α+1=-(sin α-1)2+2,-1≤sin α≤1,
∴-2≤-sin2α+2sin α+1≤2,∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2,∴≤m≤2,∴-6≤2-≤1,
即-6≤≤1,∴的取值范围为[-6,1].4.2 平面向量及运算的坐标表示
【课前预习】
知识点一
1.(x,y) (x,y) 2.(1,0) (0,1) (0,0) 3.(x,y)
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√
知识点二
和 (x1+x2,y1+y2) 差 (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1)
终点 起点
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)√
知识点三
x1y2-x2y1=0
诊断分析
(1)× (2)× (3)√
【课中探究】
探究点一
例1 (1)(-4,0) (0,6) (-2,-5) [解析] 由题知a=-4i+0·j,b=0·i+6j,c=-2i-5j,所以a=(-4,0),b=(0,6),c=(-2,-5).
(2)解:①作AM⊥x轴于点M,如图所示,
则OM=OA·cos 45°=4×=2,AM=OA·sin 45°=4×=2,
∴A(2,2),故a=(2,2).
∵∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,∴∠COy=30°.
又∵OC=AB=3,∴C,
∴==,即b=.
②=-=.
变式 解:根据题意,在平面直角坐标系xOy中,|a|=2,|b|=3,|c|=3,∴a=(|a|cos 45°,|a|sin 45°)=(,),
b=(-|b|sin 30°,|b|cos 30°)=,
c=(|c|cos 30°,-|c|sin 30°)=.
探究点二
例2 解:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7).
(2)a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1).
(3)a-b=(-1,2)-(2,1)=-=.
变式 (1)B (2)D [解析] (1)在平行四边形ABCD中,=(2,4),=(1,3),所以=-=(-1,-1),所以=+=(-3,-5).故选B.
(2)表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,即4a+3b-2a+c=0,所以c=-2a-3b=(-2,6)-(-6,12)=(4,-6).故选D.
探究点三
例3 (1)A (2)A [解析] (1)由题意得a-2b=(1-2m,-5),且b∥(a-2b),∴-5m-4(1-2m)=0,解得m=.故选A.
(2)由A,B,C三点共线,得,共线,又=(-3,m-3),=(-9,n-3), 所以-3(n-3)=-9(m-3),整理得3m-n=6,故选A.
变式 (1)- (2)- [解析] (1)3a-b=(0,-10),a+kb=(1+3k,-2+4k),因为(3a-b)∥(a+kb),所以0-(-10-30k)=0,所以k=-.
(2)由题得=+=(2m+3,4),因为A,B,D三点共线,所以=(2,3)与=(2m+3,4)共线,得2×4-3×(2m+3)=0,解得m=-.(共32张PPT)
平面向量基本定理及坐标表示
4.2 平面向量及运算的坐标表示
探究点一 平面向量的正交分解及坐标
表示
探究点二 平面向量的坐标运算
探究点三 平面向量平行的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运
算和数乘运算.
3.能用坐标表示平面向量共线的条件.
知识点一 平面向量的坐标表示
1.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系
中，分别取与轴、 轴方向相同的两个单位向量
， 作为标准正交基.对于坐标平面内的任意向量
，以坐标原点为起点作（通常称 为
2.特殊向量的坐标:______,______, ______.
位置向量）.由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数， ，使
，因此，，我们把______称为向量 在标准正
交基{，}下的坐标，向量可以表示为 ______.
3.向量的坐标与点的坐标的关系
在平面直角坐标系中，点的位置被它的位置向量 所唯一确定，
设点的坐标为，容易看出,即点 的位置
向量的坐标______也就是点的坐标;反之,点 在平面直角坐标系
中的坐标也是点所决定的位置向量 的坐标.每一个平面向量都可
以用一有序实数对唯一表示.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( )
√
（2）当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐
标．( )
√
（3）在平面直角坐标系中,任意一个向量 的坐标都是唯一的.( )
√
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量，， ,则有下表：
文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的____
减法 两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的____
数乘 实数与向量数乘的坐标等于这个 实数与向量的相应坐标的乘积
和
差
重要结论：一个向量的坐标等于其______的坐标减去______的坐标，
即设，，则 .
终点
起点
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若向量，，则 ( )
√
（2）两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( )
×
（3）已知向量，，则 ( )
√
（4）已知向量,的坐标分别是,,则 ,
.( )
√
知识点三 平面向量共线的坐标表示
设,,则向量, 共线的充要条件是
_______________.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若向量,,且,则 .( )
×
（2）若向量,,且,则 .( )
×
（3）向量与向量 方向相反.( )
√
探究点一 平面向量的正交分解及坐标表示
例1（1） 如图，向量，， 在标准正交基
{, }下的坐标分别是_______，______，
__________.
[解析] 由题知 ，
， ，
所以，， .
（2）如图，在平面直角坐标系 中，
，， ,
,, .四边形
为平行四边形.
①求向量, 的坐标；
解：作轴于点 ，如图所示，
则 ，
,
,故 .
,
, .
又, ,
,即 .
②求向量 的坐标.
解： .
变式 在平面直角坐标系中， ,
,向量，， 的方向如图所示，求
,, 的坐标.
解：根据题意，在平面直角坐标系 中，
,,, , ，
，
.
［素养小结］
求点和向量坐标的常用方法
（1）求一个向量的坐标时,可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐
标,再用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
（2）求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向
量的坐标.
探究点二 平面向量的坐标运算
例2 已知, ,求下列向量的坐标.
（1） ;
解： .
（2） ;
解： .
（3） .
解： .
变式（1） [2024·山东枣庄滕州一中高一月考]在平行四边形 中，
若，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 在平行四边形中，， ，
所以，所以 .故选B.
√
（2）设向量,,若表示向量,, 的有向
线段首尾相接能构成三角形,则向量 的坐标是( )
A. B. C. D.
[解析] 表示向量,, 的有向线段首尾相接能构成三角形，
即 ，
所以 .故选D.
√
探究点三 平面向量平行的坐标表示
例3（1） 已知向量,,且,则 的值为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得,且 ,
,解得 .故选A.
√
（2）已知平面内的三点,,，若,, 三点共
线，则 ( )
A.6 B. C.3 D.
[解析] 由A,B,C三点共线,得,共线,
又 ，，
所以,整理得 ，
故选A.
√
变式（1） [2024·山东聊城颐中外国语学校高一月考] 已知向量
，，若，则实数 ____.
[解析] ， ，
因为，所以，所以 .
（2）[2024·青海海东高一期中] 已知向量, ,
，若,,三点共线，则 _____.
[解析] 由题得，
因为,, 三点共线，所以与 共线，
得，解得 .
［素养小结］
1.向量共线的判定方法：
（1）利用向量共线定理,由推出 .
（2）利用向量共线的坐标表达式 判定.
2.三点共线判断方法：
（1）,,三点共线问题转化为与 的共线问题,可利用向量共
线的条件求解.
（2）利用向量平行证明三点共线时需分两步完成:
①证明向量平行;②证明两个向量有公共点.
1.点的坐标与向量坐标的联系与区别
（1）表示形式不同,向量中间用等号连接,而点 中间
没有等号.
（2）意义不同,点的坐标表示点 在平面直角坐标系内的位置,
向量既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外, 既可
以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明是点还是向量.
（3）联系:向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同.当且仅当
向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同.
2.三点共线问题
（1）若,,,则,, 三点共线的条件为
.
（2）若已知三点的坐标,则判断其是否共线可采用以下两种方法:
①直接利用上述条件,计算
是否为0.
②任取两点构成向量,计算出两向量,再通过两向量共线的条件进行判断.
1.向量坐标运算的方法:
（1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运
算法则进行运算.
（2）若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再
进行向量的坐标运算.
（3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
解：设,的坐标分别为, ,
则由题可得, ,
,, .
, ,
解得
解得,的坐标分别为， ,
因此 .
例1 已知点,,,,求点,和 的坐标.
2.用坐标判定向量共线
当两个向量用坐标表示时,即, ,则
,不能盲目使用 .
例2 已知,.当为何值时,与 共线
解：由题可知，, ,
因为与共线,所以,解得 .
3.几个常用结论:
（1）线段中点坐标公式:设,,则线段 的中点坐标
是 .
（2）已知的三个顶点,,,则 的
重心坐标为 .
（3）定比分点坐标公式:若, ,且
,则 .4.2 平面向量及运算的坐标表示
一、选择题
1.[2024·河南创新发展联盟高一月考] 已知向量=(2,3),点A的坐标为(3,2),则点B的坐标为 ( )
A.(6,4) B.(1,-1)
C.(5,5) D.(-1,1)
2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b= ( )
A.(1,-2) B.(1,2)
C.(5,6) D.(2,0)
3.下列各组向量中,共线的是 ( )
A.a=(-1,2),b=
B.c=,d=
C.e=(2,3),f=(2,-3)
D.g=(-3,2),h=(6,-4)
4.在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,则a+b-c的坐标为 ( )
A.(1,-2) B.(1,2)
C.(2,-1) D.(-1,2)
5.设向量a=(1,-2),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,2(a-c),4b-2c,d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d的坐标为 ( )
A.(2,12) B.(-2,12)
C.(2,-12) D.(-2,-12)
6.已知向量a=(-3,2),b=(4,-2λ),若(a+3b)∥(a-b),则实数λ的值为 ( )
A. B.
C. D.
7.[2024·河南郑州外国语学校高一月考] 在平面直角坐标系中,A(1,m),B(-2,2m+1),=(-1,m-1),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值集合为 ( )
A.{m|m≠2} B.{m|m=2}
C.{m|m≠-2} D.{m|m=-2}
8.(多选题)已知平面上三点A(3,7),B(4,6),C(1,-2),若存在点D使这四个点为平行四边形的顶点,则点D的坐标可能为 ( )
A.(0,-1) B.(0,1)
C.(2,-3) D.(6,15)
9.(多选题)已知λ,μ∈R,=(λ,1),=(-1,1),=(1,μ),那么 ( )
A.+=(λ-1,1-μ)
B.若∥,则λ=2,μ=
C.若A是线段BD的中点,则B,C两点重合
D.若点B,C,D共线,则μ=1
二、填空题
10.[2024·重庆长寿区高一期末] 已知点O的坐标为(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),且=2+,则点P的坐标为 .
11.设向量a,b满足a=(1,-1),|b|=|a|,且b与a的方向相反,则b的坐标为 .
12.已知向量a=(m,1),b=(4-n,2),m>0,n>0,若a∥b,则+的最小值为 .
三、解答题
13.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b满足的关系式;
(2)若=2,求点C的坐标.
14.已知向量a=(2,3),b=(1,4).
(1)求2a+b的坐标及|3a-2b|;
(2)若向量c=(4,λ),且向量λa+c与a+b平行,求λ的值.
15.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了.在我国,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是我国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则= ( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
16.设向量a=(λ+2,λ2+sin2α-1),b=,其中λ,m,α为实数,若a=2b,求的取值范围.
