§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理
【学习目标】
能够借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理和三角形面积公式.
◆ 知识点一 余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则有
余弦 定理 语言 叙述 三角形任何一边的平方等于
公式 表达 a2=b2+c2-2bccos A,b2= ,c2=
推论 cos A=,cos B=,cos C=
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形. ( )
(2)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形. ( )
(3)在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一. ( )
(4)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例. ( )
(5)在△ABC中,已知A=60°,b=2,c=1,则a=. ( )
◆ 知识点二 三角形的面积公式
S△ABC=bcsin A= = .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在△ABC中,若c=b=2,S△ABC=,则A=60°. ( )
(2)在△ABC中,若a=6,b=4,C=30°,则△ABC的面积是6. ( )
◆ 探究点一 已知两边和一个角求三角形的边和角
例1 (1)在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,则c= ,sin A= .
(2)在△ABC中,AB=3,BC=7,A=120°,则AC= ( )
A.5 B.6
C.8 D.
变式 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=60°,则ab的值为 ( )
A. B.8-4
C.1 D.
[素养小结]
已知三角形的两边和一个角解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出第三边,再利用余弦定理的推论求出其余的角.
(2)用余弦定理的推论求角时,首先求出的是这个角的余弦值,然后根据余弦函数在(0,π)上单调递减,可得余弦值对应的角是唯一的.
◆ 探究点二 已知三角形的三边求三角形的角
例2 (1)[2024·甘肃武威天祝一中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a∶b∶c=1∶2∶,则△ABC的最大内角为 ( )
A. B.
C. D.
(2)在△ABC中,已知a=3,b=,c=2,求内角B的大小.
变式 (1)若三角形的三边边长之比是1∶∶2,则其所对角之比是 ( )
A.1∶2∶3 B.1∶∶2
C.1∶∶ D.∶∶2
(2)已知锐角三角形的三边边长分别为1,3,m,则m的取值范围是 ( )
A.(2,4) B.(2.5,3.5)
C.(2,) D.(2,4)
[素养小结]
(1)已知三角形的三边求角的基本思路是:利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值.若余弦值为正,则角为锐角;若余弦值为负,则角为钝角;若余弦值为0,则角为直角.
(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质,转化为已知三边求解.
◆ 探究点三 余弦定理的简单应用
例3 (1)在锐角三角形ABC中,已知a=3,c=,C=60°,则△ABC的面积为 ( )
A. B.或
C. D.
(2)在△ABC中,a2+b2+c2=2bccos A+2accos B,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
变式 (1)在△ABC中,acos A+bcos B=ccos C,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b+c)(a-b+c)=4,B=,则△ABC的面积为 ( )
A.2- B.4-2
C.2+ D.4+2
[素养小结]
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
(1)化为边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再进行判断.
(2)化为角的关系:将条件中的边的关系,通过余弦定理化为角的关系,再进行判断.(共29张PPT)
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理
探究点一 已知两边和一个角求三角形的边
和角
探究点二 已知三角形的三边求三角形的角
探究点三 余弦定理的简单应用
【学习目标】
能够借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定
理和三角形面积公式.
知识点一 余弦定理
在中，内角，，的对边分别是，， ，则有
余 弦 定 理 语言 叙述 三角形任何一边的平方等于_______________________
_____________________________
公式 表达
推论
其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于
任何三角形．( )
√
（2）在中，若，则 一定为钝角三角
形．( )
√
（3）在中，已知两边和其夹角时， 不唯一．( )
×
（4）在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.( )
√
（5）在中,已知 ,,,则 .( )
√
知识点二 三角形的面积公式
_________ _________.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在中,若,,则 .( )
×
[解析] 由三角形面积公式,得 ,
所以,因为 ,所以 或 .
（2）在中,若,, ,则 的面积是6.( )
√
[解析] 该三角形的面积为 .
探究点一 已知两边和一个角求三角形的边和角
例1（1） 在中，，，，则 ___，
_ ___.
2
[解析] 根据余弦定理，
得，所以 .
由，，，得 ，
所以 .
（2）在中，，， ，则 ( )
A.5 B.6 C.8 D.
[解析] 由余弦定理得 ，代入
数据，得到，解得或 （舍去）.
故选A.
√
变式 已知的内角，，所对的边分别为，， ，且
， ，则 的值为( )
A. B. C.1 D.
[解析] 由，得 ，
由余弦定理得 ，
则， .故选A.
√
［素养小结］
已知三角形的两边和一个角解三角形的方法
（1）先利用余弦定理求出第三边,再利用余弦定理的推论求出其余的角.
（2）用余弦定理的推论求角时,首先求出的是这个角的余弦值,然后
根据余弦函数在 上单调递减,可得余弦值对应的角是唯一的.
探究点二 已知三角形的三边求三角形的角
例2（1） [2024·甘肃武威天祝一中高一月考]在中，内角, ,
所对的边分别为,,，若，则 的最大内角为
( )
A. B. C. D.
[解析] 设，则，，
， 最大，
，且， .
故选C.
√
（2）在中,已知,,,求内角 的大小.
解：由余弦定理的推论得 ,
因为,所以 .
变式（1） 若三角形的三边边长之比是 ，则其所对角之比是
( )
A. B. C. D.
[解析] 设三角形的三边边长分别为，,， ，最大角为A，
则，, .
设最小角为B，则， ，
.从而 , .故选A.
√
（2）已知锐角三角形的三边边长分别为1，3，，则 的取值范围
是( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知 .
设锐角三角形的内角A,B,C对应的边的边长分别为1,3,,
当时， ，所以；
当时， ，所以.
所以的取值范围是， .
√
［素养小结］
（1）已知三角形的三边求角的基本思路是:利用余弦定理的推论求
出相应角的余弦值.若余弦值为正,则角为锐角；若余弦值为负,则角为
钝角；若余弦值为0，则角为直角.
（2）若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代
入化简或利用比例性质,转化为已知三边求解.
探究点三 余弦定理的简单应用
例3（1） 在锐角三角形中，已知，， ，
则 的面积为( )
A. B.或 C. D.
[解析] 由余弦定理得，所以，
解得 或.
当时， ，此时A为钝角，不合题意；
当时， ,最大的角A为锐角，符合题意，
此时的面积为 .故选C.
√
（2）在中，，则
一定是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
[解析] ，
，
，
即， 一定是直角三角形.
√
变式（1） 在中,,则 一定是
( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
[解析] 由余弦定理的推论知, ,
,
代入已知条件得 ,
即 ,
展开整理得，,即 或
.根据勾股定理知 是直角三角形.
√
（2）在中，内角,,的对边分别为,, ，且
，，则 的面积为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，
所以.
又 ，所以由余弦定理得，
解得,
故 的面积 ，故选A.
√
［素养小结］
利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
（1）化为边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关
系,再进行判断.
（2）化为角的关系:将条件中的边的关系,通过余弦定理化为角的关
系,再进行判断.
1.余弦定理的特点
（1）等式左侧为一条边的平方,等式右侧很像另两边的完全平方式,
但多了一个角的余弦,这个角正好是等式左侧的边所对的角;
（2）余弦定理对任意三角形都成立;
（3）余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
2.余弦定理的适用范围
（1）余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形
全等的方法从数量化的角度进行了刻画,使其变成了可以计算的公式;
（2）在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,可以
知三求一.
3.应用余弦定理解决两类三角形问题的疑难点
（1）利用余弦定理及其推论,可以解决以下两类三角形的问题:①已
知三边,求三个角;
②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
（2）第二类问题中第三边确定,其他两角也唯一确定,故解唯一.
4.另外两种常见的三角形面积公式
（1）,其中为的一边长,而 为该边上的高.
（2）,其中,分别为 的内切圆半
径及的周长，,,为 的三边长.
1.已知两边及其夹角,可直接使用余弦定理及其推论求解.
例1 在中，已知，， ，求 的大小.
解：在中，，， ，
由余弦定理可得
，
解得 ，
，可得 为直角三角形，
，
．
2.已知三边,可直接使用余弦定理的推论求出三个内角，也可以先求
出其中的两个角,再用三角形的内角和定理求第三个角.
解：根据余弦定理的推论得
，
， .
，
， .
.
综上， ， ， .
例2 在中，已知，，，求角 ，
， .
3.判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
（1）为直角三角形或 或
；
（2）为锐角三角形且 且
；
（3）为钝角三角形或 或
.
例3 在中，内角，，的对边分别为，， ，若
，则 ( )
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形
[解析] 由得，所以 ，从而C为钝角，
因此 一定是钝角三角形．
√§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理
【课前预习】
知识点一
其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍
c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5) √
知识点二
acsin B absin C
诊断分析
(1)× (2)√ [解析] (1)由三角形面积公式S△ABC=bcsin A,得×2×2×sin A=,所以sin A=,因为0°
(2)该三角形的面积为absin C=×6×4×sin 30°=6.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)2 (2)A [解析] (1)根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-2×1×2×=4,所以c=2.由a=1,b=2,c=2,得cos A==,所以sin A= =.
(2)由余弦定理得AC2+AB2-BC2=2·AB·AC·cos A,代入数据,得到AC2+3AC-40=0,解得AC=5或AC=-8(舍去).故选A.
变式 A [解析] 由(a+b)2-c2=4,得a2+b2-c2+2ab=4,由余弦定理得a2+b2-c2=2abcos C=
2abcos 60°=ab,则ab+2ab=4,∴ab=.故选A.
探究点二
例2 (1)C [解析] 设a=k(k>0),则b=2k,c=k,∵c>b>a,∴∠C最大,
∵cos C===-,且C∈(0,π),∴C=.故选C.
(2)解:由余弦定理的推论得cos B===,因为B∈(0,π),所以B=.
变式 (1)A (2)C [解析] (1)设三角形的三边边长分别为m,m,2m,m>0,最大角为A,
则cos A==0,∵A∈(0°,180°),∴A=90°.设最小角为B,则cos B==,∵B∈(0°,180°),∴B=30°.从而C=60°,∴B∶C∶A=1∶2∶3.故选A.
(2)由题知2m≥3时,
cos C=>0,所以3≤m<;当20,所以2探究点三
例3 (1)C (2)C [解析] (1)由余弦定理得cos C=,所以=,解得b=1或b=2.当b=1时,b2+c2-a2<0,此时A为钝角,不合题意;当b=2时,b2+c2-a2>0,最大的角A为锐角,符合题意,此时△ABC的面积为absin C=×3×2×=.故选C.
(2)∵a2+b2+c2=2bccos A+2accos B,∴a2+b2+c2=2bc·+2ac·,∴a2+b2+c2=b2+c2-a2+a2+c2-b2=2c2,即a2+b2=c2,
∴△ABC一定是直角三角形.
变式 (1)C (2)A [解析] (1)由余弦定理的推论知cos A=,cos B=,
cos C=,代入已知条件得a·+b·+c·=0,即a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,展开整理得(a2-b2)2=c4,∴a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形.
(2)因为(a+b+c)(a-b+c)=4,所以a2+c2-b2=4-2ac.又B=,所以由余弦定理得cos B===,解得ac=4-4,故△ABC的面积S=acsin B=×(4-4)×=2-,故选A.§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理
1.C [解析] 因为a=6,b=4,c=2,所以cos C===,又C∈(0°,180°),所以C=60°.故选C.
2.A [解析] 在△ABC中,AB=2,BC=2,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠BAC,即(2)2=AC2+22-2AC×2×,解得AC=2或AC=-4(舍去).故选A.
3.B [解析] 在△ABC中,由余弦定理可得,cos C===,∵角C为三角形的内角,∴C=,∴S△ABC=AC·BC·sin C=×1×3×=.故选B.
4.D [解析] ∵a∶b∶c=2∶∶,∴令a=2k,b=k,c=k,k>0,由b5.A [解析] ∵A+C=,∴B=π-(A+C)=.∵a=3,c=2,∴由余弦定理可得b===.故选A.
6.A [解析] 由题意及余弦定理得b·+a·=c2,可得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=5,故选A.
7.B [解析] 由题意可得c2=a2+b2+ab,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C,∴-2cos C=,
即cos C=-<0,∴C为钝角,∴△ABC一定是钝角三角形,故选B.
8.AB [解析] 由3a=b=12,得a=4,b=4,利用余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即16=48+c2-12c,解得c=4或c=8.故选AB.
9.AC [解析] ∵在△ABC中,acos A=bcos B,∴由余弦定理得a×=b×,整理得c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2),∴a2-b2=0或c2=a2+b2,∴a=b或C为直角(舍去).∵c=2,sin C=,a=b,∴cos C=±,∴由余弦定理可得±=,得a=b=或a=b=.当a=b=时,
S△ABC=absin C=3;当a=b=时,S△ABC=absin C=.故△ABC的面积为3或.故选AC.
10.1或2 [解析] 由余弦定理可知,a2=b2+c2-2bc·cos A,即c2-3c+2=0,解得c=1或2,经检验c=1或2均满足题意.
11.120° [解析] 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab,∴c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcos C,
∴cos C=-,又C∈(0°,180°),∴C=120°.
12. [解析] 由+=及余弦定理,得+=,整理得a2=bc.由余弦定理得cos A==≥=,当且仅当b=c时取等号,所以cos A≥,故013.解:(1)因为(a-c)(a+c)=b(b-c),所以a2-c2=b2-bc,即b2+c2-a2=bc,所以cos A===,因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由题意得a=,在△ABC中,由余弦定理得a2=()2=3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=12-3bc,所以bc=3,联立b+c=2,解得b=c=,所以a=b=c=,即△ABC是等边三角形.
14.解:(1)证明:因为△ABC的面积S=bcsin A,且S=sin A,所以bcsin A=sin A,又A∈(0,π),所以sin A>0,所以bc=b2-c2,可得(b+c)(b-2c)=0,又b+c>0,所以b=2c.
(2)因为bcos A=c,所以cos A===,整理得a2=b2+c2-bc=4c2+c2-c2=c2,所以a=c,
所以cos C===.
15. [解析] 因为cos B=cos C,所以=,结合c=b,化简得a=b,从而有b2+c2=a2,即△ABC为直角三角形且A为直角.由a=b=,得b=1,则c=b=,所以
S△ABC=bcsin A=.
16.解:(1)由题意得S△ABC=a·ADsin∠ADB=a=,解得a=3.当λ=2时,=2,所以BD=2,CD=1,所以AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=3,解得AB=,故cos B==,由0°(2)当λ=1时,=,=(+),所以=(+)2=(++2·)=(c2+b2+2bccos∠BAC)=1,
因为b2+c2=7,所以bccos∠BAC=-①.
故a2=b2+c2-2bccos∠BAC=10,则a=.又S△ABC=bcsin∠BAC=,所以bcsin∠BAC=②,
联立①②可得b2c2=9,故bc=3.又(b+c)2=b2+c2+2bc=13,所以b+c=,所以a+b+c=+,故△ABC的周长为+.§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
第1课时 余弦定理
一、选择题
1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=6,b=4,c=2,则角C= ( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
2.[2024·山东聊城颐中外国语学校高一月考] 在△ABC中,AB=2,BC=2,∠BAC=120°,则AC= ( )
A.2 B.3 C.2 D.4
3.在△ABC中,AC=1,AB=,BC=3,则△ABC的面积为 ( )
A. B.
C. D.3
4.在△ABC中,a∶b∶c=2∶∶,则△ABC的最大内角为 ( )
A. B.
C. D.
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,c=2,A+C=,则b= ( )
A. B.6
C.7 D.8
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bcos A+acos B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.7.5
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC一定是 ( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
8.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=30°,且3a=b=12,则c的值可能为 ( )
A.4 B.8
C.6 D.2
9.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos A=bcos B,且c=2,sin C=,则△ABC的面积可能为 ( )
A.3 B.
C. D.6
二、填空题
10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=60°,a=,b=3,则c= .
11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则角C的大小为 .
12.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知+=,则A的取值范围是 .
三、解答题
13.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(a-c)(a+c)=b(b-c).
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状.
14.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且S=sin A.
(1)证明:b=2c;
(2)若bcos A=c,求cos C.
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=b,cos B=cos C,a=,则S△ABC= .
16.[2024·云南师大附中高一月考] 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,点D在线段BC上,=λ,λ∈R,AD=1,△ABC的面积为.
(1)当∠ADB=60°,且λ=2时,求角B;
(2)当λ=1,且b2+c2=7时,求△ABC的周长.