第2课时 正弦定理
【课前预习】
知识点
1.正弦
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ [解析] (1)正弦定理适用于任意三角形.
(2)由正弦定理知=,即bsin A=asin B.
(3)根据正弦定理知,在一个确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比值为该三角形的外接圆直径,是一个定值.
【课中探究】
探究点一
探索 解:确定.已知两角,则三角形的三个角就都知道了,再知道一边,三角形就确定了.
例1 (1)D (2)A [解析] (1)由正弦定理得=,则b===.
(2)由题可知B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理得=,则AC===.故选A.
变式 A [解析] 由三角形内角和定理,得A=180°-(B+C)=75°,所以B是最小角,b为最短边.由正弦定理,得=,即=,则b=,故选A.
探究点二
例2 解:因为a=3,b=,A=60°,所以由正弦定理可得=,即sin B=·sin A=×=,
因为b
所以B=30°,所以C=90°,c=2.
变式 解:在△ABC中,a=2,b=6,A=30°,∴bsin A=6×=3,∵3<2<6,∴该三角形有两解.
由正弦定理得sin B==,∴B=60°或B=120°.
当B=60°时,C=90°,c==4;
当B=120°时,C=30°,c=a=2.
拓展 解:(1)由题意得sin B=sin 120°=,A>B,A=120°,所以该三角形只有一解.
(2)sin B=sin 60°=<1,由题意可知B>A,A=60°,所以B可能是锐角,也可能是钝角.
当B为锐角时,满足sin B=的角B的取值范围是60°(3)sin B=sin C=sin C=>1,故该三角形无解.
探究点三
例3 解:根据正弦定理得==,∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A是直角,B+C=90°,
∴2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin2B=sin A=1.
∵0°∴B=45°,C=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.
变式 (1)C (2)B [解析] (1)因为3b=2asin B,所以由正弦定理可得3sin B=2sin Asin B.因为0°cos C,所以A=C=60°,故△ABC为等边三角形.故选C.
(2)因为=,所以由正弦定理得=,整理得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得
cos A===,又因为A∈(0,π),所以A=.故选B.第2课时 正弦定理
【学习目标】
探索三角形边长与角度的关系,掌握正弦定理.
◆ 知识点 正弦定理
1.正弦定理的表示
文字语言 在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等
符号语言 ==
2.正弦定理的常见变形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径).
(2)sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径).
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(4)===.
(5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B.
(6)A【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正弦定理适用于任意三角形. ( )
(2)在△ABC中,等式bsin A=asin B总能成立. ( )
(3)在某个确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比值是一个定值. ( )
◆ 探究点一 已知两角及一边解三角形
[探索] 已知两角及一边,三角形就确定了吗
例1 (1)在△ABC中,已知A=,B=,a=1,则b等于 ( )
A.2 B.1
C. D.
(2)在△ABC中,A=45°,C=75°,BC=,则AC= ( )
A. B.2
C.2 D.
变式 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=45°,C=60°,c=1,则△ABC最短边的长为 ( )
A. B.
C. D.
[素养小结]
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)由正弦定理的变形公式,求另外的两条边.
◆ 探究点二 已知两边及其中一边的对角解三角形
例2 在△ABC中,已知a=3,b=,A=60°,解三角形.
变式 在△ABC中,a=2,b=6,A=30°,判断该三角形是否有解,若有解,解该三角形.
[素养小结]
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角,那么由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求得唯一锐角.
(3)如果已知的角为小边所对的角,那么不能判断另一边所对的角为锐角还是钝角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
拓展 不解三角形,判断下列三角形解的个数.
(1)a=5,b=4,A=120°;
(2)a=9,b=10,A=60°;
(3)c=50,b=72,C=135°.
◆ 探究点三 边与角的正弦转化
例3 在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
变式 (1)[2024·安徽阜阳高一期中] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC的形状为 ( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,则A= ( )
A. B.
C. D.或
[素养小结]
(1)判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行,既可以转化为边与边的关系,又可以转化为角与角的关系;
(2)在边角互化过程中,注意正弦定理的变形使用,如sin A=,sin B=,sin C=(R为△ABC外接圆的半径)等.(共29张PPT)
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
第2课时 正弦定理
探究点一 已知两角及一边解三角形
探究点二 已知两边及其中一边的对角解
三角形
探究点三 边与角的正弦转化
【学习目标】
探索三角形边长与角度的关系,掌握正弦定理.
知识点 正弦定理
1.正弦定理的表示
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相
等
符号语言
正弦
2.正弦定理的常见变形
（1），，为 外接圆
的半径)．
（2），，为 外接圆的半
径)．
（3） .
（4） .
（5），，
（6） .
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）正弦定理适用于任意三角形.( )
√
[解析] 正弦定理适用于任意三角形.
（2）在中,等式 总能成立.( )
√
[解析] 由正弦定理知，即 .
（3）在某个确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比值是一个定
值.( )
√
[解析] 根据正弦定理知，在一个确定的三角形中,各边与它所对角的
正弦的比值为该三角形的外接圆直径,是一个定值.
探究点一 已知两角及一边解三角形
［探索］ 已知两角及一边，三角形就确定了吗？
___________________________________________________________
________________
解：确定.已知两角，则三角形的三个角就都知道了，再知道一边，三角形就确定了.
例1（1） 在中，已知,,，则 等于( )
A.2 B.1 C. D.
[解析] 由正弦定理得，则 .
√
（2）在中， , ，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知 ，
由正弦定理得，则 .故选A.
√
变式 在中，内角，，所对的边分别为，， ，若
， ，，则 最短边的长为( )
A. B. C. D.
[解析] 由三角形内角和定理,得 ,
所以B是最小角,为最短边.
由正弦定理,得,即 ,则 ,故选A.
√
［素养小结］
已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路
（1）由三角形内角和定理求出第三个角．
（2）由正弦定理的变形公式，求另外的两条边．
探究点二 已知两边及其中一边的对角解三角形
例2 在中，已知,, ，解三角形.
解：因为，， ，
所以由正弦定理可得，即 ，
因为，所以 ，
所以 ，所以 , .
变式 在中，，， ，判断该三角形是否
有解，若有解，解该三角形.
解：在中，，， ，
，， 该三角形有两解.
由正弦定理得， 或 .
当 时， ， ；
当 时， ， .
［素养小结］
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法
（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
（2）如果已知的角为大边所对的角，那么由三角形中大边对大角、
大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求得
唯一锐角．
（3）如果已知的角为小边所对的角，那么不能判断另一边所对的角
为锐角还是钝角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．
拓展 不解三角形,判断下列三角形解的个数.
（1）,, ;
解：由题意得,, ,
所以该三角形只有一解.
（2）,, ;
解：,由题意可知, ,
所以 可能是锐角,也可能是钝角.
当为锐角时,满足的角的取值范围是 ,满
足 ;
当为钝角时,满足的角 的取值范围是 ,
也满足 .故该三角形有两解.
（3）,, .
解： ,故该三角形无解.
探究点三 边与角的正弦转化
例3 在中,若,且 ,试
判断 的形状.
解：根据正弦定理得, ,
,是直角, ,
.
, ，
, , 是等腰直角三角形.
变式（1） [2024·安徽阜阳高一期中]在中，内角,, 的对边
分别为,,，若，，则 的形状
为( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
[解析] 因为 ，
所以由正弦定理可得.
因为 ，所以 ，所以，
又 ，所以 或 .
因为，所以 ，故 为等边三角形.
故选C.
√
（2）在中，内角，，的对边分别为，， ，若
，则 ( )
A. B. C. D.或
[解析] 因为，所以由正弦定理得 ，
整理得，
由余弦定理得 ，
又因为，所以 ．故选B.
√
［素养小结］
（1）判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行,既可以转化
为边与边的关系,又可以转化为角与角的关系;
（2）在边角互化过程中,注意正弦定理的变形使用,如 ,
,为 外接圆的半径)等.
1.正弦定理的特点
（1）分式连等形式,各边对应各角,分子均为边长,分母均为角的正弦值;
（2）正弦定理对任意三角形都成立;
（3）正弦定理体现了三角形中三条边和三个内角之间的密切联系,是
边和角的和谐统一.
2.正弦定理的适用范围
（1）正弦定理给出了任意三角形中三条边及其对应角的正弦之间的
对应关系;
（2）正弦定理实现了三角形中边角关系的转化.
3.应用正弦定理解决两类三角形问题的疑难点
（1）利用正弦定理，可以解决以下两类三角形的问题：
①已知两角和一边，求第三个角和其他两边；
②已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两角.
（2）对于第一类问题,其解是唯一确定的,一般先由三角形的内角和
为 求得第三个角,再利用正弦定理求其他两边;对于第二类问题,
其解不一定唯一,由于三角形的形状不能唯一确定,因而会出现两解、
一解或无解三种情况.
4.应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中的隐含条件
（1）在中, ,
; .
（2）若为锐角三角形,则,, ;
, .
1.解决已知两角及一边类型问题的解题方法:
（1）若所给边是已知角的对边,则先由正弦定理求另一已知角的对边,
再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边;
（2）若所给边不是已知角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个
角,再由正弦定理求另外两边.
例1 在中，若， ， ，则 的值为( )
A. B. C. D.
[解析] 由正弦定理得，即， .
√
2.应注意在已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形.
例2 [2024·广东阳山南阳中学高一月考]在中，内角,, 所对
的边分别为,,，且,,，则 ( )
A. B.或 C. D.或
[解析] 在中，因为,所以 ，
由正弦定理得，
所以，故或 ，经检验均符合题意.故选D.
√
3.判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关
系入手,从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,呈现出边与边的关
系或求出角与角的关系或大小,从而作出准确判断.
例3 若，则 是( )
A.等边三角形
B.直角三角形，且有一个角是
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形，且有一个角是
√
[解析] 在中，由正弦定理得， ，
，其中为 外接圆的半径，
代入得， ，
， ， ，
故 是等腰直角三角形.第2课时 正弦定理
1.A [解析] 因为A=45°,C=75°,所以B=180°-A-C=60°.由正弦定理得=,可得a===.故选A.
2.B [解析] 在△ABC中,由正弦定理得=,所以sin B===.
3.B [解析] 由题意得=b=,则sin B=1,因为B∈(0,π),所以B=,即B为直角,故△ABC是直角三角形.
4.A [解析] 因为A=B,所以a=b,由sin B=2sin C及正弦定理,得b=2c,故a=2c,由余弦定理得cos B==.故选A.
5.C [解析] 由正弦定理得=,可得=,解得sin B=.因为a6.C [解析] 在△ABC中,由正弦定理可得=2R=8,所以sin C=,
所以S△ABC=absin C=ab·===.故选C.
7.A [解析] 在△ABC中,因为A∶B∶C=1∶1∶4,所以A+A+4A=180°,可得A=30°,所以△ABC的三个内角A,B,C分别为30°,30°,120°,则a∶b∶c=sin 30°∶sin 30°∶sin 120°=1∶1∶.故选A.
8.BC [解析] 当满足ABsin Asin 44°>sin 30°=,所以8<16sin 44°<8,因为(8)2=128<142=196,所以结合选项知a的取值可能为14,15.故选BC.
9.ABD [解析] 对于A,若a>b,则根据正弦定理得sin A>sin B,故A正确;对于B,若sin A>sin B,则根据正弦定理得a>b,则A>B,故B正确;对于C,由“sin A>cos B”不能推出“△ABC为锐角三角形”,如A=,B=满足sin A>cos B,但△ABC不是锐角三角形,故C错误;对于D,当△ABC为锐角三角形时,A+B>,∴>A>-B>0,∴sin A>sin=cos B,可得sin A>cos B成立,故D正确.故选ABD.
10.或 [解析] 由正弦定理可得sin A===,∵A∈(0,π),a>b,B=,∴11.直角三角形 [解析] 由已知得sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知a2-b2=c2,故b2+c2=a2,所以△ABC是直角三角形.
12.2 [解析] 由a=2,=,可得=,由正弦定理可得=,所以4sin A-cos A=sin A,即3sin A=cos A,可得tan A=,因为013.解: 因为bcos C=csin B,所以由正弦定理得sin Bcos C=sin Bsin C,因为0所以sin B>0,且易知cos C≠0,所以tan C=.
又014.解:(1)由正弦定理得=,则sin B==,因为b(2)因为A+B+C=180°,所以A=180°-120°-30°=30°,所以S=bcsin A=.
15.18或19 [解析] 在△ABC中,c=20,B=60°,b为整数,∵△ABC有两解,∴c>b>csin B,可得20>b>20sin 60°,即1016.解:(1)由=-及正弦定理得=-,因为B∈(0,π),所以sin B≠0,
所以2cos A=-1,解得cos A=-,因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由正弦定理=,得sin B===,因为B∈,所以B=,则C=π-=,所以S△ABC=absin C=×4×4×=4.第2课时 正弦定理
一、选择题
1.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,b=2,A=45°,C=75°,则a= ( )
A. B.
C.2 D.
2.在△ABC中,若a=3,b=5,sin A=,则sin B= ( )
A. B.
C. D.
3.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,且A=B,sin B=2sin C,则cos B= ( )
A. B. C. D.
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=2,b=6,A=,则此三角形 ( )
A.无解 B.有一解
C.有两解 D.解的个数不确定
6.已知圆的半径R=4,a,b,c分别为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则该三角形的面积为 ( )
A.2 B.8 C. D.
7.已知在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c等于 ( )
A.1∶1∶ B.2∶2∶
C.1∶1∶ D.1∶1∶1
8.(多选题)在△ABC中,AB=16,A=44°,BC=a(a为常数),若满足条件的三角形有且仅有两个,则a的取值可能为 ( )
A.7 B.14 C.15 D.16
9.(多选题)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 ( )
A.若a>b,则sin A>sin B
B.若sin A>sin B,则A>B
C.若sin A>cos B,则△ABC为锐角三角形
D.若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B
二、填空题
10.在△ABC中,若a=,b=,B=,则A= .
11.已知在△ABC中,(sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin2C,则△ABC的形状是 .
12.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,b=4sin A,=,则c= .
三、解答题
13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcos C=csin B,求角C的大小.
14.[2024·河南渑池二中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=,b=1,C=120°.
(1)求角B;
(2)求△ABC的面积S.
15.在解三角形时,往往要判断三角形解的情况,现有△ABC满足条件:c=20,B=60°,如果想让△ABC有两解,那么b的整数值为 .
16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足=-.
(1)求角A的大小;
(2)若a=4,b=4,求△ABC的面积.