第4课时 余弦定理、正弦定理的应用举例
1.D [解析] 如图,设两船在A处相遇,则由题意得∠ACB=120°,∠ABC=30°,则△ABC是等腰三角形,则AC=20 km,AB=20 km,所以海盗船需1 h到A处,故海警船的速度大小至少为20 km/h.故选D.
2.D [解析] 设AB=x米,则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°,可知AC=x米.在Rt△ABD中,因为AD=(x+20-20)米,∠ADB=30°,所以=tan 30°,即=,解得x=20,即塔高为20米.故选D.
3.C [解析] 由题意知,∠ACB=π-α-β.因为=,所以AC==.故选C.
4.C [解析] 作出示意图(如图所示),在△ABC中,AC=15,∠BAC=60°-30°=30°,C=90°-60°=30°,则B=120°.由正弦定理得=,即AB==5,所以A与灯塔B的距离是5 n mile.故选C.
5.A [解析] 如图所示,其中GH为树高,在△ABH中,∠ABH=140°,∠BAH=30°,
则∠AHB=180°-140°-30°=10°,AB=3.4 m.由正弦定理可得=,则BH=≈=10(m).在Rt△BHG中,∠GBH=60°,∠BHG=90°,所以GH=BHtan 60°≈10(m),所以该伯乐树的高度约为10 m.故选A.
6.D [解析] 由题意作出示意图,如图所示,其中AS为电视塔,设AS=h米,甲、乙分别在B,C处,则∠ABS=45°,∠ACS=30°,BC=500米,∠ABC=120°,所以在△ABS中,AB=AS=h米,在△ACS中,AC=h米.在△ABC中,因为AB=h米,AC=h米,BC=500米,∠ABC=120°,所以由余弦定理得(h)2=5002+h2-2×500×h×cos 120°,可得h=500.故选D.
7.A [解析] 设CD=x米,∵∠CAD=45°,∠CBD=30°,∴AD=x米,BD=x米.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,即2662=x2+(x)2-2x×(x)×cos 150°,可得x=,故测量时气球到地面的距离是米.故选A.
8.AC [解析] 由题意可知∠PAQ=α,∠PBC=γ,∠PAB=α-β,∠BAQ=β,则∠APQ=-α,
∠BPQ=-γ,所以∠APB=∠APQ-∠BPQ=γ-α,可知sin∠ABP=sin[π-(∠APB+∠BAP)]=
sin(∠APB+∠BAP)=sin(γ-α+α-β)=sin(γ-β),在△ABP中,由正弦定理可得=,即=,所以AP=.在Rt△APQ中,PQ=APsin α=,故A正确,B错误.在
△ABP中,由正弦定理可得=,即=,所以PB=.在Rt△PBC中,PC=PBsin γ=.又CQ=ABsin β=tsin β,所以PQ=PC+CQ=+tsin β,故C正确,D错误.故选AC.
9.AC [解析] 如图所示,其中AD为甲楼高,CB为乙楼高.在Rt△ABD中,∠ABD=60°,BD=20 m,∴AB==40(m),AD=BDtan 60°=20(m).在△ABC中,∠CAB=∠CBA=30°,则AC=CB,
∠ACB=120°,设AC=CB=x m,由余弦定理得AB2=AC2+CB2-2AC·CBcos∠ACB,即1600=x2+x2+x2,可得x=,则CB= m.故选AC.
10.10 [解析] 如图,由题意得,∠BAC=70°-40°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,AB=40×=20(海里),则∠ACB=45°,在△ABC中,由正弦定理得BC=×sin 30°=10(海里).
11.14 n mile/h [解析] 设甲舰行驶的速度大小为v n mile/h,在C处追上乙舰,则由题意知在
△ABC中,AC=10×2=20(n mile),AB=12 n mile,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC·
cos 120°=784,所以BC=28 n mile,所以v==14(n mile/h).
12.30° [解析] 如图所示,在Rt△ACD中,AC=10 m,∠DAC=45°,∴DC=10 m.在Rt△DCB中,∵∠DBC=30°,∴BC=10 m.在△ABC中,cos∠ACB==,∴∠ACB=30°.
13.解:(1)由题意知,在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,AB=(-1)n mile,BC=2 n mile,
根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=(-1)2+4+2×(-1)=6,
所以AC= n mile.
(2)根据正弦定理可得=,
即sin∠CAB=sin∠ABC===,
又BC
14.解:(1)连接BC,由题意得AB=2,AC=-1,∠BAC=120°,则BC===.
在△ABC中,由正弦定理得=,即=,解得sin∠ACB=,因为0°<∠ACB
<180°,且∠BAC=120°,所以∠ACB=45°,所以C在B的正东方向,所以刚发现走私船时,缉私船距离走私船海里,在走私船的正东方向.
(2)设经过t小时,缉私船在D处追上走私船,在△BCD中,BD=10t,CD=10t,∠DBC=120°,
由正弦定理得sin∠BCD===.
因为∠BCD为锐角,所以∠BCD=30°,所以缉私船沿北偏西60°方向能最快追上走私船.
15.30° [解析] 设竹竿的影子长为x m,依据正弦定理可得=,所以x=·sin(120°-α).因为0°≤α≤90°,所以30°≤120°-α≤120°,所以要使x最大,只需120°-α=90°,即α=30°,此时竹竿的影子最长.
16.解:设楼的高度OP为h m,则OC= m,OB=h m,OA=h m.
在△BCO中,OC2=OB2+BC2-2OB·BC·cos∠OBC,
∴=h2+502-2h×50cos∠OBC.在△ABO中,AO2=OB2+AB2-2OB·ABcos∠OBA,
∴3h2=h2+502+2h×50cos∠OBC.
∴h2=2h2+5000,∴=5000,可得h=25,
∴楼的高度OP为25 m.第4课时 余弦定理、正弦定理的应用举例
【学习目标】
能够在实际问题情境中,用余弦定理、正弦定理解决简单的问题.
◆ 知识点一 距离问题
1.基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫作基线.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2.测量距离问题的基本类型及求解方法
类型 图形 方法
两点都可从另一点到达 余弦定理
两点中一点不可到达,另一点可到达 正弦定理
两点都不可到达 先用正弦定理,再用余弦定理
◆ 知识点二 高度问题
类型 图形 方法
底部可达 测量BC和∠BCA,解直角三角形得AB的值
底部不可达 点B与C,D共线 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值
点B与C,D不共线 在△BCD中由正弦定理求得BC,再解直角三角形得AB的值
◆ 知识点三 角度问题
实际测量中的有关名称、术语
仰角 在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时与水平线的夹角
俯角 在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角 从指定方向线到 的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西方向线,方向角小于90°)
方位角 从正北的方向线按 时针到目标方向线所转过的水平角
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个不可到达的点之间的距离无法求得. ( )
(2)方位角和方向角是一样的. ( )
(3)坡面与水平面的夹角称为坡角. ( )
(4)坡面的水平距离与坡面的铅直高度之比称为坡度. ( )
◆ 探究点一 测量有一点可以到达的距离问题
[探索] 测量一个可到达的目标与一个无法到达的目标之间的距离时,利用正弦定理求解需要哪些条件
例1 如图,设A,B两点在河的两岸,要测量A,B两点间的距离,先在岸边取基线AC,测得A,C两点间的距离为150 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B两点间的距离.
变式 某地大力开展“青山绿水”工程,造福于民.现计划对该地某湖泊进行治理,在治理前,需测量该湖泊的相关数据.如图所示,测得A=23°,C=120°,AC=60米,则点A,B间的距离约为(参考数据sin 37°≈0.6) ( )
A.60米 B.120米
C.150米 D.300米
[素养小结]
解实际应用题,通常要把实际问题抽象为数学问题,然后解决.
(1)两点不可直接到达(如图①中A,B两点),但都可从另外一点到达:可取点C,使得点A,B和C之间的距离可直接测量,测出AC=b,BC=a,以及∠ACB=γ,利用余弦定理得AB=.
(2)两点间一点可到达,另一点不可到达(如图②中A,B两点):可选取与点B同侧的点C,测出BC=a以及∠ABC和∠ACB,先利用三角形内角和定理求出∠BAC,再利用正弦定理求出AB.
◆ 探究点二 测量不可到达的两点之间的距离问题
例2 如图,在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处,且∠ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,求蓝方这两支精锐部队之间的距离.
变式 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有目前世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径,即A,B两点间的距离,先在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=40米,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°.
(1)求B,D两点间的距离;
(2)求A,B两点间的距离.
[素养小结]
如图所示,不可到达的A,B是地面上两点,要测量A,B两点之间的距离,一般步骤是:
(1)取基线CD;
(2)测量CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠BDA;
(3)分别在△ACD和△BCD中,利用正弦定理求得AC和BC;
(4)在△ABC中,利用余弦定理得AB=.
◆ 探究点三 测量高度问题
[探索] 测量某一物体的高度时,利用正弦定理求解需要哪些条件
例3 如图所示,为了测量河对岸的塔高,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D,并测得C,D之间的距离是200米,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高.
变式 (1)如图,从山顶望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=100米,点C位于BD上,则山高AB为 ( )
A.100米 B.50米
C.50米 D.50(+1)米
(2)如图,一辆汽车在一条水平的公路上由东向西行驶,在公路北侧有一座高山,汽车行驶到A处测得山底C在北偏西75°方向上,山顶D处的仰角为60°,继续向西行驶300 m到B处,此时测得山底C在北偏西15°方向上,则山高CD为 ( )
A.150(+)m B.100(+)m
C.150(+)m D.100(+)m
[素养小结]
高度也是两点之间的距离,其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中,使用正弦、余弦定理或其他相关知识求出该高度.
◆ 探究点四 测量角度问题
例4 某货船在某海域航行中遭海盗袭击,发出呼叫信号,如图,海军护航舰在A处获悉后,立即测出该货船在东北方向,距离A处10 海里的C处,并测得货船正沿南偏东75°方向,以10 海里/时的速度向前行驶,海军护航舰立即以10海里/时的速度前去营救,假设护航舰与货船在B处相遇,求护航舰最快与货船相遇所需的时间和航向.
变式 在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A处(-1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船,此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船
[素养小结]
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确定目标的方位,观察某一建筑物的视角等.
解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解.第4课时 余弦定理、正弦定理的应用举例
一、选择题
1.一艘海盗船从C处以20 km/h的速度沿着北偏东20°的方向前进,在C点南偏东40°方向,相距20 km的B处有一艘海警船,该海警船沿着北偏西10°的方向快速拦截海盗船,若拦截成功,则海警船的速度大小至少为 ( )
A. 20 km/h B. 40 km/h
C. 50 km/h D. 20 km/h
2.如图,为测量塔AB的高度,某人在与塔底A在同一水平线上的C点测得∠ACB=45°,再沿AC向前行走(20-20)米到达D点,测得∠ADB=30°,则塔高为 ( )
A.40米 B.20米
C.40米 D.20米
3.[2024·海口海南中学高一月考] 如图所示,为测量河对岸一点C与岸边一点A之间的距离,小明在点A所在的岸边选取一点B,并测得A,B两点间的距离为m,∠CAB=α,
∠CBA=β,则C,A间的距离为 ( )
A. B.
C. D.
4.某船在点A处观察到灯塔B在其南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行了15 n mile到达C处,观察到灯塔B在其正西方向,则A与灯塔B的距离是 ( )
A.5 n mile B.10 n mile
C.5 n mile D.5 n mile
5.伯乐树是中国特有树种,被誉为“植物中的龙凤”,常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁.一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况,需测量树的高度.他在与树的底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪(高度忽略不计)进行测量,在点A处测得树的底部在北偏西60°的方向上,沿直线向正西方向前进3.4 m后到达B处,在B处测得树的底部在北偏西50°的方向上,此时树的顶部的仰角为60°,则该伯乐树的高度约为(sin 10°≈0.17) ( )
A.10 m B.10 m
C.8 m D.7 m
6.要测量底部不能到达的某电视塔的高度,在电视塔底部所在水平面上选择甲、乙两观测点,在甲、乙两观测点测得电视塔顶部的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔底部与甲地连线和甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500米,则电视塔的高度是 ( )
A.100米 B.400米
C.200米 D.500米
7.如图,空中有一气球C,气球C在地面上的射影为D,在D正西方向的A点测得C的仰角为45°,同时在D南偏东60°方向的B点,测得C的仰角为30°,且A,B,D在同一水平面上,A,B两点间的距离为266米,那么测量时气球到地面的距离CD为 ( )
A.米 B.米
C.266米 D.266 米
8.(多选题)[2024·河南开封高一期末] 如图,在山脚A处测得山顶P的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走t m到达B处,在B处测得山顶P的仰角为γ,则山高PQ= ( )
A.
B.
C.+tsin β
D.+tsin β
9.(多选题)甲、乙两座楼相距20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则下列说法正确的有 ( )
A.甲楼的高度为20 m
B.甲楼的高度为10 m
C.乙楼的高度为 m
D.乙楼的高度为10 m
二、填空题
10.[2024·河南渑池二中高一月考] 一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,灯塔在A处南偏东70°方向上,在B处观察灯塔,灯塔在B处北偏东65°方向上,那么B,C两点间的距离是 海里.
11.甲舰在岛A南偏西50°方向相距12 n mile的B处发现乙舰正从岛A沿北偏西10°的方向以10 n mile/h的速度航行,若甲舰沿直线行驶用2 h追上乙舰,则甲舰行驶的速度大小为 .
12.学校里有一棵树,甲同学在A地测得树尖D的仰角为45°,乙同学在B地测得树尖D的仰角为30°,若树根部为C,且A,B,C在同一水平面上,AB=AC=10 m,则∠ACB= .
三、解答题
13.如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东70°的方向航行(-1)n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东10°的方向航行2 n mile到达海岛C.
(1)求AC的长;
(2)如果下次航行直接从A出发到达C,应沿什么方向航行
14.[2024·海口海南中学高一月考] 在海岸A处发现北偏西75°方向,与A距离2海里的B处有一艘走私船,在A处北偏东45°方向,与A距离(-1)海里的C处的缉私船奉命以每小时10海里的速度追截走私船.此时,走私船正以每小时10海里的速度从B向北偏西30°方向逃窜.
(1)刚发现走私船时,缉私船距离走私船多远 在走私船的什么方向
(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船
15.当太阳光线与水平面所成的角为60°时,要使一根长为2 m的竹竿的影子最长,则竹竿与地面的夹角α= .
16.如图,在共线的三点A,B,C(A,B,C,O在同一水平面上)处测得楼顶P的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=50 m,PO垂直于水平面,求楼的高度OP.第4课时 余弦定理、正弦定理的应用举例
【课前预习】
知识点三
目标方向线 顺
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)两个不可到达的点之间的距离往往可以借助第三个和第四个点来量出相应的角度和距离求得.
(2)方位角是指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线的水平角;而方向角是以观测者的位置为中心,将正北或正南或正东或正西方向线作为起始方向线旋转到目标方向线所成的小于90°的角.
(3)由坡角的定义可知正确.
(4)坡度是指坡面的铅直高度与坡面的水平距离之比.
【课中探究】
探究点一
探索 解:选取另外一个目标,并测出该目标与可到达的目标之间的距离,再分别测量这两点与不可到达目标的连线与这两点连线的夹角.
例1 解:在△ABC中,AC=150 m,A=75°,C=45°,则B=180°-(A+C)=60°,由正弦定理得AB===50(m),即A,B两点间的距离为50 m.
变式 C [解析] 由题意得B=180°-A-C=37°,在△ABC中,由正弦定理得=,则=,所以AB=≈150(米).
探究点二
例2 解:∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,
且∠DCA=60°,∴∠DAC=60°,
∴AD=CD=AC=a.在△BCD中,∠DBC=45°,
由正弦定理得=,∴BC=a.
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 45°=a2+a2-2×a×a×=a2,
∴AB=a.∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为a.
变式 解:(1)由题意知,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,
所以∠DCB=135°,∠DBC=30°.
在△BCD中,由正弦定理得=,所以BD== =40(米),即B,D两点间的距离为40米.
(2)因为∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,
所以∠ADC=150°,∠DAC=15°,所以AD=DC=40(米),
在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB=402+(40)2-2×40×40×=8000,所以AB=40米,即A,B两点间的距离为40米.
探究点三
探索 解:选取地面上与物体底部在同一条直线上的两点,测量选取的两点间的距离,再分别测量在这两点处观测物体顶点的仰角.
例3 解:设AB=h米,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,则BC=h米.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=h米.
在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD,即2002=h2+(h)2-2·h·h·,
解得h=200或h=-200(舍去),故塔高为200米.
变式 (1)D (2)C [解析] (1)设AB=h米,则由题意知CB=h米,DB=AB·=h(米),∴h-h=100,可得h=50(+1).故选D.
(2)设AC=x m,则CD=x m,在△ABC中,∠ACB=75°-15°=60°,∠ABC=90°+15°=105°,AB=300 m,由正弦定理,得=,又sin 105°=,所以x=50(3+),所以CD=x=150(+)(m).故选C.
探究点四
例4 解:设护航舰最快与货船相遇所需的时间为t小时,则AB=10t海里,CB=10t海里,
在△ABC中,根据余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°,
可得(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos 120°,
整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-(舍去).
所以护航舰最快与货船相遇所需的时间为1小时.
此时AB=10海里,BC=10海里,
在△ABC中,由正弦定理得=,
所以sin∠CAB===,
所以∠CAB=30°,所以护航舰的航向为北偏东75°.
变式 解:设缉私船t h后在D处追上走私船,如图所示,
则CD=10t n mile,BD=10t n mile.
连接BC,在△ABC中,
∵AB=(-1)n mile,AC=2 n mile,∠BAC=120°,∴由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·
cos∠BAC=(-1)2+22-2×(-1)×2×cos 120°=6,∴BC= n mile,∴sin∠ABC=×
sin∠BAC=×=,由图易知∠ABC=45°,∴BC与正北方向线成90°角.
∴∠CBD=90°+30°=120°,在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD===,由图易知∠BCD=30°,即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.(共47张PPT)
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
第4课时 余弦定理、正弦定理的应用举例
探究点一 测量有一点可以到达的距离问题
探究点二 测量不可到达的两点之间的距离问题
探究点三 测量高度问题
探究点四 测量角度问题
【学习目标】
能够在实际问题情境中,用余弦定理、正弦定理解决简单的问题.
知识点一 距离问题
1.基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫作基线.一般来
说,基线越长,测量的精确度越高.
2.测量距离问题的基本类型及求解方法
类型 图形 方法
两点都可从另一点到达 ______________________________________ 余弦定理
类型 图形 方法
两点中一点不可到达，另一 点可到达 ______________________________________ 正弦定理
两点都不可到达 _____________________________________ 先用正弦定理，再用
余弦定理
续表
知识点二 高度问题
类型 图形 方法
底部可达 ___________________________________________
底部 不可 达 ___________________________________________
类型 图形 方法
底部 不可 达 __________________________________________
续表
知识点三 角度问题
实际测量中的有关名称、术语
仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方 时与水平线的夹角 ________________________________________________
俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方 时与水平线的夹角 __________________________________________________
方向角 _______________________________________________
方位角 从正北的方向线按____时针到目标方向 线所转过的水平角 __________________________________________
目标方向线
顺
续表
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）两个不可到达的点之间的距离无法求得.( )
×
[解析] 两个不可到达的点之间的距离往往可以借助第三个和第四个
点来量出相应的角度和距离求得.
（2）方位角和方向角是一样的.( )
×
[解析] 方位角是指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线的
水平角;而方向角是以观测者的位置为中心,将正北或正南或正东或正
西方向线作为起始方向线旋转到目标方向线所成的小于 的角.
（3）坡面与水平面的夹角称为坡角.( )
√
[解析] 由坡角的定义可知正确.
（4）坡面的水平距离与坡面的铅直高度之比称为坡度.( )
×
[解析] 坡度是指坡面的铅直高度与坡面的水平距离之比.
探究点一 测量有一点可以到达的距离问题
［探索］ 测量一个可到达的目标与一个无法到达的目标之间的距离
时,利用正弦定理求解需要哪些条件
解：选取另外一个目标,并测出该目标与可到达的目标之间的距离,再
分别测量这两点与不可到达目标的连线与这两点连线的夹角.
例1 如图,设,两点在河的两岸,要测量, 两
点间的距离,先在岸边取基线,测得, 两点间
的距离为, , ,求
, 两点间的距离.
解：在中,, , ,
则 ,
由正弦定理得,
即,两点间的距离为 .
变式 某地大力开展“青山绿水”工程，造福于
民.现计划对该地某湖泊进行治理，在治理前，
需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得
， ， 米，则点
A.60米 B.120米 C.150米 D.300米
[解析] 由题意得 ，
在 中，由正弦定理得，则，
所以 （米）.
，间的距离约为(参考数据 ( )
√
［素养小结］
解实际应用题，通常要把实际问题抽象为数学问题，然后解决.
（1）两点不可直接到达（如图①中， 两点），但都可从另外一
点到达：可取点，使得点，和 之间的距离可直接测量，测出
，，以及 ，利用余弦定理得
.
（2）两点间一点可到达，另一点不可到达（如图②中， 两点）：
可选取与点同侧的点，测出以及和 ，先利用三
角形内角和定理求出，再利用正弦定理求出 .
探究点二 测量不可到达的两点之间的距离问题
例2 如图,在某次军事演习中，红方为了准确
分析战场形势，在两个相距的军事基地 和
测得蓝方两支精锐部队分别在处和 处，且
， ，
， ，求蓝方这两支精锐部队之间的距离.
解： ，
且 ， ，
.
在 中， ，
由正弦定理得， .
在 中，由余弦定理得
，
蓝方这两支精锐部队之间的距离为 .
变式 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，
被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗
产”，我国拥有目前世界上最深的海洋蓝洞.
若要测量如图所示的蓝洞的口径，即，
两点间的距离，先在珊瑚群岛上取两点，，测得 米，
， ， .
（1）求， 两点间的距离；
解：由题意知， ，
，
所以 ， .
在中，由正弦定理得 ，
所以 （米），
即，两点间的距离为 米.
（2）求， 两点间的距离.
解：因为 ， ，
所以 ， ，
（米），
在 中，由余弦定理得
，
所以米，即， 两点间的距离为 米.
［素养小结］
如图所示,不可到达的,是地面上两点,要测量 ,
两点之间的距离,一般步骤是:
（1）取基线 ;
（2）测量,,,, ;
（3）分别在和中,利用正弦定理求得和 ;
（4）在 中,利用余弦定理得
.
探究点三 测量高度问题
［探索］ 测量某一物体的高度时,利用正弦定理求解需要哪些条件
解：选取地面上与物体底部在同一条直线上的两点,测量选取的两点
间的距离,再分别测量在这两点处观测物体顶点的仰角.
例3 如图所示,为了测量河对岸的塔高,选取与塔底
在同一水平面内的两个测量点和,并测得, 之间
的距离是200米,在点和点测得塔顶 的仰角分别
是 和 ,且 ,求塔高.
解：设米,在中, ,
则米.
在中, ,则 米.
在 中,由余弦定理可得
,
即 ,
解得或 （舍去）,故塔高为200米.
变式（1） 如图,从山顶望地面上,两点,测得它们的俯角分别为
和 ,已知米,点位于上,则山高 为( )
A.100米 B.米 C.米 D. 米
[解析] 设米,则由题意知米,
（米）,,可得 .故选D.
√
（2）如图，一辆汽车在一条水平的公路上由东向西
行驶，在公路北侧有一座高山，汽车行驶到 处测
得山底在北偏西 方向上，山顶 处的仰角为
，继续向西行驶到处，此时测得山底
在北偏西 方向上，则山高 为
( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 设，则，
在 中， ，
， ，
由正弦定理，得，
，
所以 .故选C.
［素养小结］
高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法
是类似的，基本思想是把要求解的高度（某线段的长度）纳入到一个
可解的三角形中，使用正弦、余弦定理或其他相关知识求出该高度.
探究点四 测量角度问题
例4 某货船在某海域航行中遭海盗袭击，
发出呼叫信号，如图，海军护航舰在
处获悉后，立即测出该货船在东北方向，
距离处10 海里的 处，并测得货船正
沿南偏东 方向，以10 海里/时的速度向前行驶，海军护航舰立即以
海里/时的速度前去营救，假设护航舰与货船在 处相遇，求护航
舰最快与货船相遇所需的时间和航向.
解：设护航舰最快与货船相遇所需的时
间为小时，则 海里，
海里，
在 中，根据余弦定理，得
，
可得 ，
整理得，解得或 （舍去）.
所以护航舰最快与货船相遇所需的时间为1小时.
此时海里， 海里，
在 中，由正弦定理得
，
所以 ，
所以 ，所以护航舰的航向为北偏东 .
变式 在海岸处，发现北偏东 方向，距离处 的
处有一艘走私船，在处北偏西 方向，距离处的 处
的缉私船奉命以 的速度追截走私船，此时，走私船正
以的速度从处向北偏东 方向逃窜，问缉私船沿什么
方向能最快追上走私船？
解：设缉私船后在 处追上走私船，
如图所示，
则 ，
.
连接,在 中，
，， ，
由余弦定理，得 ，
， ，
由图易知 ，
与正北方向线成 角.
，
在 中，由正弦定理，得
，
由图易知 ，即缉私船沿北偏东 方向能最快追上走私船.
［素养小结］
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标
的方位，观察某一建筑物的视角等.
解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪
个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题
意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角
形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.
1.关于基线的问题
（1）测量时一定要选用基线,因为无论应用正弦定理还是余弦定理解
三角形,至少应已知一边的长度;
（2）基线越长,测量的精确度越高.
2.解三角形的应用问题一般有以下题型:
（1）距离问题,如求一个可到达点与一个不可到达点之间的距离,或
两个不可到达点之间的距离;
（2）高度问题,如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题,一般的
解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形.
3.余弦、正弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中
在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学
模型的解.
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问
题的解.
4.解三角形应用题常见的几种情况
（1）实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形
中,可用正弦定理或余弦定理解之.
（2）实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个三角形或多个
三角形,这时需按顺序逐步在几个三角形中求出问题的解.
（3）实际问题经抽象概括后,涉及的三角形只有一个,但由题目已知
条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.
1.解决求一个可到达点与一个不可到达点之间的距离问题,转化为应
用正弦定理求三角形的边长问题即可.
例1 如图所示,设, 两点在河的两岸,一个测量者在
的同侧,在所在的河岸边选定一点,测出， 之
间的距离为, , ,则 ,
两点之间的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意知 ,由正弦定理得 ,
.
√
2.在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时,通常都根据题意从实
际问题中抽象出一个或几个三角形,然后通过解这些三角形得出实际
问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.
例2 如图所示,在山顶铁塔上处测得地面上一点 的
俯角为 ,在塔底处测得处的俯角为 .已知铁塔
部分的高为,求山高 .
解：在中， ,
,
, .
根据正弦定理得 ,
即 ,
可得 .
在 中,
.
3.测量角度问题:测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理
求角的正弦值或余弦值,再根据需要求出所求的角.
例3 如图所示，渔船甲位于岛屿 的南偏西
方向的处，且与岛屿 相距12海里，渔
船乙以10海里/时的速度从岛屿 出发沿正北方
向航行，若渔船甲同时从 处出发，且沿北偏
东 的方向追赶渔船乙，刚好用2小时在处追上，则 _ ___.
[解析] 依题意， ， 海
里，（海里），．
在中，由余弦定理得
，所以 海里.
在中，由正弦定理得 ，
即 .