6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
【课前预习】
知识点一
1.向量的线性运算及数量积
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)哪个角是直角不确定,所以错误.
(2)AB和CD还可能在同一条直线上.
知识点二
1.既有大小又有方向 三角形和平行四边形
诊断分析
(1)√ (2)√
【课中探究】
探究点一
探索 解:所选择基中向量的长度和夹角应该是已知的.
例1 证明:方法一:设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0
方法二:设正方形ABCD的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,设P(x,x)(0∴⊥,即DP⊥EF.
变式 证明:方法一:取{,}为基.
∵D是CB的中点,∴=+=-+.
∵E是AB上的一点,且AE=2EB,∴=+=+=+(-)=+.
∵△ABC是直角三角形,CA=CB,∴·=·=--·+·+=0,∴AD⊥CE.
方法二:以C为原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系.
设AC=a,则A(a,0),D,C(0,0),E,∴=,=,
则·=-a·a+·a=0,∴AD⊥CE.
拓展 解:设=a,=b,则a,b为表示平面向量的一组基,且|a|=3,|b|=2,a⊥b,可知∠PED为向量与的夹角.
由点P在AO上,可设=ta,t∈[0,1],则=-=ta-b,=-=+-=+=a+b.
所以·=·=ta2-b2=9t-1,||==,||==,
所以cos∠PED===,
解得t=或t=-(舍去),
所以当点P为AO上靠近A的三等分点时,∠PED=45°.
探究点二
例2 解:(1)由题意得F1=(-3,5),F2=(2,-3),=(-6,5),∴力F1对质点所做的功W1=F1· =(-3,5)·(-6,5)=18+25=43(J).
力F2对质点所做的功W2=F2· =(2,-3)·(-6,5)=-12-15=-27(J).
(2)由题意得F=F1+F2=(-1,2),由(1)知=(-6,5),∴力F对质点所做的功W=F·=6+10=16(J).
变式 解:如图所示,设为水流的速度,为船在静水中的最大速度,以AC和AD为邻边作 ACED,则当AE与AC垂直时能最快到达彼岸.
∵AC⊥AE,∴在Rt△ADE和 ACED中,
||=||=2 km/h,||=4 km/h,∠AED=90°,∴||==2(km/h),
易知sin∠EAD=,∴∠EAD=30°.
又AB= km,∴最快到达河正对岸所需时间为0.5 h.
答:该船以大小为4 km/h,方向与水流方向成120°角的速度航行能最快到达河正对岸的B码头,用时0.5 h.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
1.D [解析] 由题意知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=(1,2).
2.B [解析] 以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(4,1),C(6,4),所以=(4,1),=(2,3),故==(2,3),所以·=4×2+1×3=11,故选B.
3.C [解析] 如图,表示鹰在地面上的影子的速度,表示鹰的飞行速度,由题意知||=40 m/s,且∠CAB=30°,则||= m/s.故选C.
4.C [解析] 由题意知F3=-(F1+F2),所以|F3|2=(F1+F2)2=++2F1·F2=4+16=20,所以|F3|=2,即F3的大小为2 N.故选C.
5.C [解析] 以,为邻边作平行四边形ABCD,连接AC,BD,则m=+=,n=-=,由m,n的模相等可知平行四边形ABCD的两对角线长相等,因此平行四边形ABCD一定是矩形,所以△ABC必为直角三角形且B为直角.故选C.
6.A [解析] 方法一:设=λ(λ∈[0,1]),因为O为AC的中点,所以=(+)=(-+),所以=(-).又=-=λ-,所以·=(-)·(λ-)= (λ+)=8λ+2,因为λ∈[0,1],所以8λ+2∈[2,10],所以·∈[2,10].
方法二:以A为坐标原点,,的方向分别为x,y轴的正方向,建立平面直角坐标系,则O(2,1),D(0,2),B(4,0),设E(m,0)(0≤m≤4),则=(2,-1),=(m,-2),所以·=2m+2.因为0≤m≤4,所以2m+2∈[2,10],即·∈[2,10].故选A.
7.A [解析] 在平面上任取一点O,作=a,=b,如图所示,则=a-b.因为a与a-b的夹角为120°,所以∠OAB=120°.设m=,因为m=ta+(1-t)b(t∈R),且t+1-t=1,m,a,b的起点相同,所以点M,A,B共线,即点M在直线AB上,所以当m⊥时,|m|最小,最小值为|a|sin 60°=,|m|无最大值,所以|m|的取值范围为[,+∞).故选A.
8.ACD [解析] 根据受力分析,如图所示.对于A,由题意得θ∈[0,π),|F1|=|F2|=≥|G|,故A正确;对于B,当θ=π时,F1与F2的合力方向没有向上,故B错误;对于C,当θ=时,|F1|=|G|,故C正确;对于D,当θ=时,|F1|=|G|,故D正确.故选ACD.
9.ACD [解析] 对于A,设边BC的中点为D,连接AD,因为=+=(+)=×2=,所以点M是△ABC的重心,故A正确;对于B,=2-,则-=-,即=,则点M在CB的延长线上,故B错误;对于C,设=2,因为2=x+y,且x+y=1,所以B,N,C三点共线,且M为线段AN的中点,则
△MBC的面积是△ABC的面积的,故C正确;对于D,因为·=·,所以·(-)=·=0,所以⊥,所以MA⊥CB.因为=λ(λ>0),所以点M在∠BAC的平分线上,所以AB=AC,所以△ABC为等腰三角形,故D正确.故选ACD.
10.1500 [解析] 由题意,设船的位移为s,纤夫对船施加的拉力为F,则|F|=50 N,|s|=60 m,s与F的夹角为30°,所以纤夫对船所做的功W=F·s=|F||s|cos 30°=50×60×=1500(J).
11.4 [解析] 如图,代表水流速度,代表船在静水中的速度,代表船实际的速度,则||=||====4(km/h),所以船在静水中速度的大小为4 km/h.
12.[0,16] [解析] 取CD的中点E,连接PE,如图所示,则易知PE的取值范围是,即[2,2].又·=(+)·(+)=-=PE2-4,所以·∈[0,16].
13.解:(1)证明:连接CQ,∵Q为BD的中点,
∴+=2.
∵P为AC的中点,∴=2,∴2=2-2=(+)-=++=+.
∵向量与共线,∴设=λ,则2=(1+λ),∴=.在梯形ABCD中,||≠||,∴λ≠-1,∴∥,
又A,B,P,Q四点不共线,∴PQ∥AB.
(2)∵向量与反向,且||=3||,∴=-3.
由(1)得==,∴PQ∶AB=1∶3.
14.解:如图所示,物体的重力为,两根绳子的拉力分别为,,拉力之和为+=,且||=||=300 N,∠AOC=30°,∠BOC=60°.
在△OAC中,∠ACO=60°,∠AOC=30°,
则∠OAC=90°,从而||=||·cos 30°=150(N),||=||=||·sin 30°=150(N).
故与铅垂线的夹角为30°的绳子的拉力大小是150 N,与铅垂线的夹角为60°的绳子的拉力大小是150 N.
15.6 [解析] 设AB所在直线与河岸线的夹角为θ,客船在静水中的速度为v,客船实际的速度为v实际,水的流速为v水.如图所示,过B作河对岸的垂线,垂足为C.由题意知, v实际=v+v水,|v实际|==10(km/h),|v水|=2 km/h,sin θ==,所以cos θ===,所以由余弦定理得|v|2=102+22-2×10×2×=72,可得|v|=6 km/h.
16.解:(1)由题设知,P为△ABC的重心,
故S△PAB=S△ABC=××2×=.
(2)因为·=0,所以⊥,则+==4,易知||+||≤=2,当且仅当||=||=时取等号,
故||+||的最大值为2.
(3)设O为BC的中点,连接OA,以O为原点,,的方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,设P(x,y),易知A(0,),B(-1,0),C(1,0),
则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以2·+·=2(-x,-y)·(-1-x,-y)+(-x,-y)·(1-x,-y)=3x2+x+3y2-3y=3+3-,故2·+·的最小值为-,当且仅当时取等号.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
【学习目标】
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学问题和实际问题中的作用.
◆ 知识点一 向量在几何中的应用
1.平面几何图形的许多变化和性质,如平移、全等、长度、夹角等都可以用
表示.
2.向量方法解决平面几何问题的步骤
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若△ABC为直角三角形,则·=0.( )
(2)若∥,则AB∥CD. ( )
◆ 知识点二 向量在物理中的应用
1.向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是 的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加法的 法则与位移的合成、力的合成、速度的合成有着密切的联系.
2.用向量法解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化:把物理问题转化成数学问题.
(2)模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
(3)参数的获取:求出数学模型的相关解.
(4)问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)功是力F与位移s的数量积. ( )
(2)力的合成与分解体现了向量的加减法运算. ( )
◆ 探究点一 向量在几何中的应用
[探索] 用向量解决几何问题时,有时需要选择合适的基,你知道怎样选择合适的基吗
例1 如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任意一点(不包括端点),PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,求证:DP⊥EF.
变式 已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.
[素养小结]
利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基,用基表示涉及的向量,另一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算去求解几何问题.
拓展 如图,在长方形AOCD中,OA=3,OC=2,E为OC的中点,P为AO上一点,利用向量知识判断当点P在什么位置时,∠PED=45°
◆ 探究点二 向量在物理中的应用
例2 一质点在力F1=(-3,5),F2=(2,-3)的共同作用下,由点A(10,-5)移动到B(4,0).
(1)求力F1,F2分别对质点所做的功;
(2)求力F1,F2的合力F对质点所做的功.
变式 一条宽为 km的河,水流速度的大小为2 km/h,在河两岸各有一个码头,分别为A,B,已知AB= km,船在静水中的最大航速为4 km/h,问该船从A码头怎样安排航行速度可使它最快到达河正对岸的B码头 用时多少
[素养小结]
利用向量法解决物理问题有两种思路
(1)几何法:选取适当的基,将题中涉及的向量用基表示,利用向量运算法则、运算律或性质求解.
(2)坐标法:通过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将所求问题转化为代数运算求解.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
一、选择题
1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某质点,为使质点保持平衡,需再加上一个力F4,则F4= ( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
2.[2024·重庆荣昌中学高一月考] 如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住,则·= ( )
A.10 B.11
C.12 D.13
3.一只鹰正沿与水平地面成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上垂直于地面照射下来,若鹰在地面上的影子的速度大小是40 m/s,则鹰的飞行速度的大小为 ( )
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
4.一质点在平面上的三个力F1,F2,F3的作用下处于平衡状态,已知F1与F2成90°角,且F1,F2的大小分别为2 N和4 N,则F3的大小为 ( )
A.6 N B.2 N
C.2 N D.2 N
5.在平面上有不重合的A,B,C三点,设m=+,n=-,若m与n的模恰好相等,则有 ( )
A.A,B,C三点必在一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形且B为顶角
C.△ABC必为直角三角形且B为直角
D.△ABC必为等腰直角三角形
6.如图,在矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为边AB上的任意一点(包含端点),O为AC的中点,则·的取值范围是 ( )
A.[2,10] B.[-2,8]
C.[2,8] D.[4,20]
7.已知平面向量a,b满足|a|=2,a与a-b的夹角为120°,记m=ta+(1-t)b(t∈R),则|m|的取值范围为 ( )
A.[,+∞) B.[,+∞)
C.[1,+∞) D.
8.(多选题)在日常生活中,我们会看到两人共提一个行李包的情景.假设行李包W所受重力为G,两个拉力分别为F1,F2,若|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,则以下结论正确的是 ( )
A.|F1|的最小值为|G|
B.θ的取值范围为[0,π]
C.当θ=时,|F1|=|G|
D.当θ=时,|F1|=|G|
9.(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 ( )
A.若=+,则点M是△ABC的重心
B.若=2-,则点M在BC的延长线上
C.若2=x+y,且x+y=1,则△MBC的面积是△ABC的面积的
D.已知M,A,B,C四点共面,·=·,=λ(λ>0),则△ABC为等腰三角形
二、填空题
10.一纤夫用纤绳拉船沿直线向前行进60 m,若纤绳与行进方向的夹角为30°,纤夫对船施加的拉力大小为50 N,则纤夫对船所做的功为 J.
11.在水流速度大小为4 km/h的河流中,有一艘船正沿与水流垂直的方向航行,实际速度大小为8 km/h,则船在静水中速度的大小为 km/h.
12.[2024·宁夏石嘴山三中高一月考] 如图所示,已知正方形ABCD的边长为4,动点P在以线段AB为直径的半圆上(含点A与点B),则·的取值范围为 .
三、解答题
13.在梯形ABCD中,AB∥CD,P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.
(1)试用向量法证明:PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB.
14.在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图),当物体平衡时,分别求两根绳子拉力的大小.
15.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6 km,一艘客船从码头A出发匀速驶向河对岸的码头B.已知AB=1 km,水的流速大小为2 km/h,若客船从码头A驶向码头B所用的时间为6 min,则客船在静水中的速度大小为 km/h.
16.已知等边三角形ABC的边长为2,P为三角形ABC所在平面上一点.
(1)若=-(+),求△PAB的面积;
(2)若·=0,求||+||的最大值;
(3)求2·+·的最小值.(共33张PPT)
§6 平面向量的应用
6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
探究点一 向量在几何中的应用
探究点二 向量在物理中的应用
【学习目标】
会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实
际问题,体会向量在解决数学问题和实际问题中的作用.
知识点一 向量在几何中的应用
1.平面几何图形的许多变化和性质，如平移、全等、长度、夹角等都
可以用________________________表示.
向量的线性运算及数量积
2.向量方法解决平面几何问题的步骤
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元
素，将平面几何问题转化为向量问题.
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若为直角三角形，则 .( )
×
[解析] 哪个角是直角不确定，所以错误.
（2）若，则 .( )
×
[解析] 和 还可能在同一条直线上.
知识点二 向量在物理中的应用
1.向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是
__________________的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加
法的____________________法则与位移的合成、力的合成、速度的
合成有着密切的联系.
既有大小又有方向
三角形和平行四边形
2.用向量法解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化成数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获取:求出数学模型的相关解.
（4）问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理
现象.
【诊断分析】
判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）功是力与位移 的数量积.( )
√
（2）力的合成与分解体现了向量的加减法运算.( )
√
探究点一 向量在几何中的应用
［探索］ 用向量解决几何问题时,有时需要选择合适的基,你知道怎
样选择合适的基吗
________________________________________
所选择基中向量的长度和夹角应该是已知的.
例1 如图所示，在正方形中，为对角线 上任意一点
（不包括端点），，，垂足分别为， ，求证：
.
证明：方法一：设正方形的边长为1， ，
则，，， ，
，即 .
方法二：设正方形 的边长为1，建立如图
所示的平面直角坐标系，设 ，
则，， ，
， ，
则 ，
，即 .
变式 已知是直角三角形,,是的中点,是 上的
一点,且,求证: .
证明：方法一：取， }为基.
是的中点, .
是上的一点,且 ,
.
是直角三角形,,, .
方法二：以为原点,的方向为轴正方向,的方向为 轴正方向，
建立平面直角坐标系.
设,则,,,, ,
,
则, .
［素养小结］
利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.
利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基，
用基表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的
向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算去求解几何问题.
拓展 如图，在长方形中，，， 为
的中点，为上一点，利用向量知识判断当点 在什
么位置时， ？
解：设，，则， 为表示平面向量的一
组基，且，，，可知 为向量
与 的夹角.
由点在上，可设， ，
则 ，
．
所以 ，
，
，
所以 ，
解得或 （舍去），
所以当点为上靠近的三等分点时， ．
探究点二 向量在物理中的应用
例2 一质点在力， 的共同作用下，由点
移动到 .
（1）求力, 分别对质点所做的功；
解：由题意得 ，，，
力 对质点所做的功
．
力 对质点所做的功
.
（2）求力,的合力对质点所做的功.
解：由题意得，由（1）知，
力对质点所做的功 .
变式 一条宽为 的河,水流速度的大小为
,在河两岸各有一个码头,分别为, ,已知
,船在静水中的最大航速为 ,问
该船从 码头怎样安排航行速度可使它最快到达河
正对岸的 码头 用时多少
解：如图所示,设为水流的速度, 为船在静水
中的最大速度,以和为邻边作 ,则当
与 垂直时能最快到达彼岸.
, 在和 中,
, ,
,
,
易知 , .
又,
最快到达河正对岸所需时间为 .
答:该船以大小为,方向与水流方向成
角的速度航行能最快到达河正对岸的 码头,用时
.
［素养小结］
利用向量法解决物理问题有两种思路
（1）几何法:选取适当的基,将题中涉及的向量用基表示,利用向量运
算法则、运算律或性质求解.
（2）坐标法:通过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将所求问
题转化为代数运算求解.
1.用向量研究平面几何问题的思想
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，
用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运
算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作．
2.向量在平面几何中的应用
（1）证明线段平行问题，常用向量共线（平行）的等价条件：
.
（2）证明垂直问题,常用向量垂直的等价条件：
.
（3）求夹角问题，常利用向量的夹角公式
.
（4）求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量
模的公式 .
3.向量法解决平面几何问题的“三步曲”也是用向量法解决其他问题的
思路，即从条件出发，选取基，把条件翻译成向量关系式
（用基表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向
量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论．
4.向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有位移、力等.
（2）向量的加减法运算体现在合力与分力.
（3）功是力与位移的数量积.
用向量法解决向量与物理交汇问题
1.平面向量与物理的结合在数学看来是一种学科间知识的交汇,是一
种综合,是一种实际应用.一般涉及力或速度的合成与分解,充分借助向
量的平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题,同时正确作图,
才能使问题更为直观.
向量的数量积在物理中的应用的注意点
（1）物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．
（2）用向量的数量积解决物理中的问题时，要根据题意把物理问题
转化为向量的数量积问题，计算数量积时要注意两个向量的大小和
夹角．
例 设作用于同一点的三个力，， 处于平衡状
态，，，且与的夹角为 ，如
图所示.
（1）求 的大小；
解：由题意得 ，
，，且与的夹角为 ，
.
（2）求与 的夹角.
解：由题意得 ，
，
，
可得 ,
.
2.用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题；
（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；
（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；
（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.